KBAT：相关变化率

Q: 如果进气速率恒定，半径为什么会变慢？

因为变化率算出来是 drdt=3r2\frac{dr}{dt}=\frac{3}{r^{2}}dtdr=r23，它与 r2r^{2}r2 成反比。越大的球每多一厘米半径就需要多得多的体积，这正是 dVdr=4πr2\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}drdV=4πr2 所说的，所以同样恒定的进气把半径抬得越来越少。半径从 333 厘米翻倍到 666 厘米，增长就慢了四倍，从 13\frac{1}{3}31 降到 112\frac{1}{12}121 cm s−1^{-1}−1。

Q: 相关变化率题该怎么建立？

写出把已知变化率和所求变化率连起来的连锁律，找出连接它们的变量，并对该变量给连接公式求导。这里 dVdt=dVdr⋅drdt\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}dtdV=drdV⋅dtdr，桥梁是 dVdr=4πr2\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}drdV=4πr2，变形后就得到你要的变化率。把变量保持为符号，只在最后才代入它的值。

Q: 最常见的错误是什么？

在求导之前就代入 rrr 的值，于是导数变成一个常数、关系就没了，或者把 ddt\frac{d}{dt}dtd 和 ddr\frac{d}{dr}drd 弄混。丢掉 π\piπ 是另一个。Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，采用分步给分，所以即使后面算术出了差错，一个写对的连锁律也能拿到步骤分。

Q: 你怎么不重新算 \frac{dr}{dt} 就求出了 \frac{dA}{dt}？

再连锁一次：dAdt=dAdr⋅drdt=8πr⋅3r2=24πr\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=8\pi r\cdot\frac{3}{r^{2}}=\frac{24\pi}{r}dtdA=drdA⋅dtdr=8πr⋅r23=r24π。因为 drdt\frac{dr}{dt}dtdr 已经以一般式求出，面积变化率一次代入就得到，在 r=3r=3r=3 得 8π8\pi8π cm2^{2}2 s−1^{-1}−1。复用一般式更快，也让过程更整洁。

为什么这是 KBAT 题

常规的微分题给你用 $x$ 表示的 $y$ ，问 $\frac{dy}{dx}$ 。相关变化率 KBAT 题给你一个能测量的变化率，往气球里打气，却要你求一个无法直接测量的变化率，比如半径增长得多快，然后要你解释这个结果。

这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：连锁律本身是普通的中五内容，但要判断哪些量相关联、在它们之间搭起桥梁 $\frac{dV}{dr}$ 、并读懂为什么气球越大半径越慢，都留给你。在 Add Math 里，这奖励的是把微分看作连接现实中变化量的一种方式的学生，而不只是把 $r^{3}$ 变成 $3r^{2}$ 的一条规则。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。

Q1[9 marks]

一个球形气球被充气，空气以恒定速率 $12\pi$ cm $^3$ s $^{-1}$ 打入。气球保持球形，体积 $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ ，表面积 $A=4\pi r^{2}$ ，其中 $r$ 为半径（厘米）。

(a) 求当 $r = 3$ 厘米时半径增长的速率。(b) 求此刻表面积增长的速率。

Show worked solution

理解。 体积 $V$ 依赖于半径 $r$ ，而 $r$ 随时间 $t$ 变化。

连锁律把它们的变化率连起来： $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ 。已知 $\frac{dV}{dt}=12\pi$ ，要求 $\frac{dr}{dt}$ 和 $\frac{dA}{dt}$ 。

计划。 把 $V$ 对 $r$ 求导，搭出桥梁 $\frac{dV}{dr}$ ；把连锁律变形求 $\frac{dr}{dt}$ 。

对面积用 $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ 。在每一部分的最后一行之前，把 $r$ 保持为符号。

执行并检验。 (a) 对体积求导：

V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}\;\Rightarrow\;\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}

把连锁律变形，求我们要的变化率：

\frac{dr}{dt}=\frac{dV}{dt}\div\frac{dV}{dr}=\frac{12\pi}{4\pi r^{2}}=\frac{3}{r^{2}}

当 $r = 3$ ：

\frac{dr}{dt}=\frac{3}{3^{2}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\ \text{cm s}^{-1}

(b) 对表面积， $A=4\pi r^{2}$ 给出 $\frac{dA}{dr}=8\pi r$ ，于是：

\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=8\pi r\cdot\frac{3}{r^{2}}=\frac{24\pi}{r}

\text{当 }r=3:\quad\frac{dA}{dt}=\frac{24\pi}{3}=8\pi\ \text{cm}^{2}\,\text{s}^{-1}\;(\approx 25.13\ \text{cm}^{2}\,\text{s}^{-1})

当 $r = 6$ ：

\frac{dr}{dt}=\frac{3}{6^{2}}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\ \text{cm s}^{-1}

这是 $r = 3$ 时 $\frac{1}{3}$ cm s $^{-1}$ 的四分之一：半径翻倍，增长就慢了四倍。原因是 $\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$ 随 $r^{2}$ 增大，所以越大的气球每多一厘米半径就要吞掉多得多的体积；同样恒定的进气量于是只能把半径抬高一点点。

检验。 单位对： $\frac{dr}{dt}$ 是 cm s $^{-1}$ ， $\frac{dA}{dt}$ 是 cm $^{2}$ s $^{-1}$ ，都为正，因为气球在变大。

作一个有力的核对：把一般变化率代回连锁律， $\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\cdot\frac{3}{r^{2}}=12\pi$ ，在任何半径处都还原出给定的进气量。

如何找到合理的第一步

任何相关变化率题里可靠的第一步，是在求导之前先写出连接各变化率的连锁式： $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ 。注意给了什么， $\frac{dV}{dt}=12\pi$ ，要什么， $\frac{dr}{dt}$ ；两者只通过 $r$ 、经由桥梁 $\frac{dV}{dr}$ 相连。

所以真正的第一步是写下体积公式并对 $r$ 求导，得到 $\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$ 。忍住别太早代入 $r = 3$ ：把 $r$ 保持为符号，好让关系 $\frac{dr}{dt}=\frac{3}{r^{2}}$ 一直看得见，这正是 (c) 需要的。

只在每部分末尾才代入 $r$ 的值。先把连锁式写出来，能挡住最常见的错误，本想对 $r$ 求导却对 $t$ 求导。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于相关变化率题，阅卷老师会找：

写出连锁律： $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ 。
连接公式求导正确：由 $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ 得 $\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$ 。
变化率变形为 $\frac{dr}{dt}=\frac{12\pi}{4\pi r^{2}}=\frac{3}{r^{2}}$ ，再在 $r=3$ 得 $\frac{1}{3}$ cm s $^{-1}$ 。
表面积连锁 $\frac{dA}{dt}=8\pi r\cdot\frac{dr}{dt}=\frac{24\pi}{r}$ ，得 $8\pi$ cm $^{2}$ s $^{-1}$ 。
答案用 $\pi$ 保留精确，每个变化率都带单位。
用一般式 $\frac{dr}{dt}=\frac{3}{r^{2}}$ 在 $r=6$ 得 $\frac{1}{12}$ cm s $^{-1}$ 。
一句推理，把 $\frac{dV}{dr}$ 的 $r^{2}$ 增长与半径变慢联系起来。

老师如何帮助你

相关变化率题奖励那些把连锁式搭得干净、再用文字解释的学生，而这两种习惯在有反馈时长得最快。在一对一课堂上，我们的老师会请你在求导之前先写出连锁律、点名哪个变量是桥梁，并把半径保持为符号，好让一般变化率一直在视野里。

我们把 (c) 里的解释当作答案的一部分，因为那句关于 $r^{2}$ 项的话能拿到推理分。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

如果进气速率恒定，半径为什么会变慢？

因为变化率算出来是 $\frac{dr}{dt}=\frac{3}{r^{2}}$ ，它与 $r^{2}$ 成反比。越大的球每多一厘米半径就需要多得多的体积，这正是 $\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$ 所说的，所以同样恒定的进气把半径抬得越来越少。

半径从 $3$ 厘米翻倍到 $6$ 厘米，增长就慢了四倍，从 $\frac{1}{3}$ 降到 $\frac{1}{12}$ cm s $^{-1}$ 。