KBAT: Kadar Perubahan Berkaitan

Q: Mengapa jejari melambat jika udara masuk pada kadar tetap?

Kerana kadarnya terhasil sebagai drdt=3r2\frac{dr}{dt}=\frac{3}{r^{2}}dtdr=r23, iaitu berkadar songsang dengan r2r^{2}r2. Sfera yang lebih besar memerlukan lebih banyak isi padu bagi setiap sentimeter tambahan jejari, itulah maksud dVdr=4πr2\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}drdV=4πr2, jadi aliran masuk tetap yang sama menaikkan jejari semakin sedikit. Menggandakan jejari dari 333 ke 666 cm menjadikannya bertambah empat kali lebih perlahan, dari 13\frac{1}{3}31 ke 112\frac{1}{12}121 cm s−1^{-1}−1.

Q: Apa kesilapan paling biasa?

Menggantikan nilai rrr sebelum membeza, jadi terbitan menjadi pemalar dan hubungan hilang, atau mengelirukan ddt\frac{d}{dt}dtd dengan ddr\frac{d}{dr}drd. Menggugurkan π\piπ satu lagi. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah dengan pemarkahan analitik, jadi petua rantai yang dinyatakan dengan betul memperoleh markah kaedah walaupun aritmetik kemudian tergelincir.

Q: Bagaimana anda mencari \frac{dA}{dt} tanpa kiraan baharu bagi \frac{dr}{dt}?

Dengan merantai sekali lagi: dAdt=dAdr⋅drdt=8πr⋅3r2=24πr\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=8\pi r\cdot\frac{3}{r^{2}}=\frac{24\pi}{r}dtdA=drdA⋅dtdr=8πr⋅r23=r24π. Oleh sebab drdt\frac{dr}{dt}dtdr sudah ditemui dalam bentuk am, kadar luas menyusul dalam satu penggantian, memberi 8π8\pi8π cm2^{2}2 s−1^{-1}−1 di r=3r=3r=3. Mengguna semula kadar am lebih pantas dan mengekalkan kerja kemas.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan pembezaan rutin memberi anda $y$ dari segi $x$ lalu meminta $\frac{dy}{dx}$ . Soalan KBAT kadar berkaitan memberi anda kadar yang boleh diukur, udara dipam ke dalam belon, dan meminta kadar yang tidak boleh diukur terus, seperti betapa cepat jejari bertambah, kemudian mahu anda menerangkan hasilnya.

Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: petua rantai itu sendiri ialah kerja Tingkatan 5 biasa, tetapi menentukan kuantiti mana yang berkaitan, membina jambatan $\frac{dV}{dr}$ antaranya, dan membaca mengapa jejari melambat apabila belon membesar, diserahkan kepada anda. Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang melihat pembezaan sebagai cara menghubungkan kuantiti yang berubah dalam dunia sebenar, bukan sekadar petua menukar $r^{3}$ kepada $3r^{2}$ .

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[9 marks]

Sebuah belon sfera dipam supaya udara dimasukkan pada kadar tetap $12\pi$ cm $^3$ s $^{-1}$ . Belon mengekalkan bentuk sferanya, dengan isi padu $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ dan luas permukaan $A=4\pi r^{2}$ , dengan $r$ ialah jejari dalam cm.

(a) Cari kadar jejari bertambah apabila $r = 3$ cm. (b) Cari kadar luas permukaan bertambah pada ketika itu.

(c) Tunjukkan bahawa $\frac{dr}{dt}=\frac{3}{r^{2}}$ , dan guna ini untuk menerangkan mengapa jejari bertambah semakin perlahan apabila belon membesar. Cari $\frac{dr}{dt}$ apabila $r = 6$ cm dan bandingkan dengan jawapan anda di (a).

Show worked solution

Faham. Isi padu $V$ bergantung pada jejari $r$ , dan $r$ berubah dengan masa $t$ .

Petua rantai mengaitkan kadarnya: $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ . Kita diberi $\frac{dV}{dt}=12\pi$ dan mahu $\frac{dr}{dt}$ serta $\frac{dA}{dt}$ .

Rancang. Bezakan $V$ terhadap $r$ untuk membina jambatan $\frac{dV}{dr}$ ; susun semula petua rantai untuk $\frac{dr}{dt}$ .

Untuk luas, guna $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ . Kekalkan $r$ sebagai simbol sehingga baris terakhir setiap bahagian.

Laksana dan semak. (a) Bezakan isi padu:

V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}\;\Rightarrow\;\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}

Susun semula petua rantai untuk kadar yang kita mahu:

\frac{dr}{dt}=\frac{dV}{dt}\div\frac{dV}{dr}=\frac{12\pi}{4\pi r^{2}}=\frac{3}{r^{2}}

Apabila $r = 3$ :

\frac{dr}{dt}=\frac{3}{3^{2}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\ \text{cm s}^{-1}

(b) Untuk luas permukaan, $A=4\pi r^{2}$ memberi $\frac{dA}{dr}=8\pi r$ , jadi:

\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=8\pi r\cdot\frac{3}{r^{2}}=\frac{24\pi}{r}

\text{Apabila }r=3:\quad\frac{dA}{dt}=\frac{24\pi}{3}=8\pi\ \text{cm}^{2}\,\text{s}^{-1}\;(\approx 25.13\ \text{cm}^{2}\,\text{s}^{-1})

(c) Daripada bahagian (a), kadar am ialah $\frac{dr}{dt}=\frac{3}{r^{2}}$ , iaitu berkadar songsang dengan $r^{2}$ . Jadi apabila $r$ membesar, $\frac{dr}{dt}$ menurun dengan cepat.

Apabila $r = 6$ :

\frac{dr}{dt}=\frac{3}{6^{2}}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\ \text{cm s}^{-1}

Itu satu suku daripada $\frac{1}{3}$ cm s $^{-1}$ yang ditemui di $r = 3$ : menggandakan jejari menjadikannya bertambah empat kali lebih perlahan. Sebabnya ialah $\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$ bertambah dengan $r^{2}$ , jadi belon yang lebih besar menelan lebih banyak isi padu bagi setiap sentimeter tambahan jejari; aliran masuk tetap yang sama kemudian menaikkan jejari hanya sedikit.

Semak. Unitnya betul: $\frac{dr}{dt}$ dalam cm s $^{-1}$ dan $\frac{dA}{dt}$ dalam cm $^{2}$ s $^{-1}$ , kedua-duanya positif kerana belon sedang membesar.

Sebagai semakan kukuh, masukkan semula kadar am ke dalam petua rantai: $\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\cdot\frac{3}{r^{2}}=12\pi$ , memulihkan aliran masuk yang diberi pada setiap jejari.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Langkah pertama yang boleh dipercayai bagi mana-mana soalan kadar berkaitan ialah menulis rantai yang mengaitkan kadar sebelum membeza: $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ . Perhatikan apa yang diberi, $\frac{dV}{dt}=12\pi$ , dan apa yang dimahu, $\frac{dr}{dt}$ ; kedua-duanya dihubungkan hanya melalui $r$ oleh jambatan $\frac{dV}{dr}$ .

Jadi langkah pertama yang sebenar ialah menulis rumus isi padu dan membezakannya terhadap $r$ , memberi $\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$ . Tahan diri daripada menggantikan $r = 3$ terlalu awal: kekalkan $r$ sebagai simbol supaya hubungan $\frac{dr}{dt}=\frac{3}{r^{2}}$ kekal kelihatan, iaitu tepat apa yang diperlukan bahagian (c).

Gantikan nilai $r$ hanya pada akhir setiap bahagian. Menamakan rantai dahulu menghentikan kesilapan paling biasa, membeza terhadap $t$ sedangkan maksud anda $r$ .

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan kadar perubahan berkaitan, pemeriksa mencari:

Petua rantai ditulis: $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ .
Pembezaan betul rumus penghubung: $\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$ daripada $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ .
Kadar disusun semula sebagai $\frac{dr}{dt}=\frac{12\pi}{4\pi r^{2}}=\frac{3}{r^{2}}$ , kemudian $\frac{1}{3}$ cm s $^{-1}$ di $r=3$ .
Rantai luas permukaan $\frac{dA}{dt}=8\pi r\cdot\frac{dr}{dt}=\frac{24\pi}{r}$ , memberi $8\pi$ cm $^{2}$ s $^{-1}$ .
Jawapan tepat dikekalkan dari segi $\pi$ , dengan unit pada setiap kadar.
Kadar am $\frac{dr}{dt}=\frac{3}{r^{2}}$ digunakan untuk mencapai $\frac{1}{12}$ cm s $^{-1}$ di $r=6$ .
Satu ayat penaakulan mengaitkan pertumbuhan $r^{2}$ bagi $\frac{dV}{dr}$ dengan jejari yang melambat.

Bagaimana seorang guru membantu

Soalan kadar berkaitan memberi ganjaran kepada pelajar yang membina rantai dengan kemas kemudian menerangkan dalam perkataan, dan kedua-dua tabiat tumbuh paling cepat dengan maklum balas. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami meminta anda menulis petua rantai sebelum membeza apa-apa, menamakan pemboleh ubah mana yang menjadi jambatan, dan mengekalkan jejari sebagai simbol supaya kadar am kekal kelihatan.

Kami menganggap penerangan dalam bahagian (c) sebahagian daripada jawapan, kerana ayat tentang sebutan $r^{2}$ itu memperoleh markah penaakulan. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa jejari melambat jika udara masuk pada kadar tetap?

Kerana kadarnya terhasil sebagai $\frac{dr}{dt}=\frac{3}{r^{2}}$ , iaitu berkadar songsang dengan $r^{2}$ . Sfera yang lebih besar memerlukan lebih banyak isi padu bagi setiap sentimeter tambahan jejari, itulah maksud $\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$ , jadi aliran masuk tetap yang sama menaikkan jejari semakin sedikit.

Menggandakan jejari dari $3$ ke $6$ cm menjadikannya bertambah empat kali lebih perlahan, dari $\frac{1}{3}$ ke $\frac{1}{12}$ cm s $^{-1}$ .

Bagaimana saya membina soalan kadar berkaitan?

Tulis petua rantai yang mengaitkan kadar diberi dengan kadar dimahu, kenal pasti pemboleh ubah yang menjambatani, dan bezakan rumus penghubung terhadap pemboleh ubah itu. Di sini $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ , jambatannya $\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$ , dan menyusun semula memberi kadar yang anda mahu.

Kekalkan pemboleh ubah sebagai simbol dan gantikan nilainya hanya pada akhir.

Apa kesilapan paling biasa?

Menggantikan nilai $r$ sebelum membeza, jadi terbitan menjadi pemalar dan hubungan hilang, atau mengelirukan $\frac{d}{dt}$ dengan $\frac{d}{dr}$ . Menggugurkan $\pi$ satu lagi.

Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah dengan pemarkahan analitik, jadi petua rantai yang dinyatakan dengan betul memperoleh markah kaedah walaupun aritmetik kemudian tergelincir.

Bagaimana anda mencari

\frac{dA}{dt}

tanpa kiraan baharu bagi

\frac{dr}{dt}

Dengan merantai sekali lagi: $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=8\pi r\cdot\frac{3}{r^{2}}=\frac{24\pi}{r}$ . Oleh sebab $\frac{dr}{dt}$ sudah ditemui dalam bentuk am, kadar luas menyusul dalam satu penggantian, memberi $8\pi$ cm $^{2}$ s $^{-1}$ di $r=3$ .

Mengguna semula kadar am lebih pantas dan mengekalkan kerja kemas.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026