KBAT：二次函数的最值应用

Q: 中四的二次函数，为什么用配方而不用微积分？

因为二次函数的最大或最小值就是它的顶点，而配方直接给出顶点：−25(p−5)2+225-25(p-5)^{2}+225−25(p−5)2+225 一行就显示在 p=5p=5p=5 处最大值为 225。这是本章预期使用的中四方法，无需求导。

Q: 怎么判断顶点是最大值还是最小值？

看配方后平方项的符号。这里系数是 −25-25−25，为负，所以 −25(p−5)2-25(p-5)^{2}−25(p−5)2 至多为零，曲线开口向下，顶点是最大值。系数为正则给出最小值。

Q: 为什么约束会改变最佳价格？

无约束时利润在 p=5p=5p=5 达到峰值，但那个价格只卖出 75 包。要求至少 100 包会迫使 p≤4p\le 4p≤4。由于利润在向 p=5p=5p=5 靠近时递增，在 p≤4p\le 4p≤4 上被允许的最佳价格是边界 p=4p=4p=4，给出 RM200，比无约束的最大值少 RM25。

Q: 如果我最后算出的利润错了，还能得分吗？

能。Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。正确的利润模型、有效的配方步骤和站得住的约束，即使一处算术失误改变了最终数字，也能拿到不错的分数。

为什么这是 KBAT 题

常规的二次题直接给你 $y=ax^2+bx+c$ ，问最小值。KBAT 题给你一个情境，价格、需求、成本，要你先把二次函数建立起来，再求最值，再判断答案是否被允许。

这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：配方本身是熟悉的中四内容，但把「利润 =（价格 − 成本）× 数量」搭出来、把顶点读作最佳价格、再拿现实中的限制去检验它，这些步骤没有人替你列出。在 Add Math 里，这奖励的是懂得二次函数的顶点就是最大或最小值、并能在文字、方程与图像之间自由切换的学生。

带来难度的是建模与解读，而不是代数。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。

Q1[8 marks]

一个摊位卖椰浆饭（nasi lemak）包。市场调查显示，当售价为每包 RM $p$ 时，每天卖出的数量为 $n=200-25p$ 。

每包的成本为 RM2。(a) 证明每天的利润（以令吉计）为 $P=-25p^{2}+250p-400$ ，并用配方法求出使利润最大的价格与每天的最大利润。

(b) 摊主还希望每天至少卖出 100 包。求在此条件下每天可能的最高利润，并评论这一取舍。

Show worked solution

理解。 每包利润为（价格 − 成本）= $p-2$ 。

卖出数量为 $n=200-25p$ 。每天利润是每包利润乘以卖出数量。

我们要建立 $P$ 、配方，再在销量约束下重新求最值。

计划。 写出 $P=(p-2)(200-25p)$ ，展开，配方以读出顶点。

对于 (b)，把「至少 100 包」化成关于 $p$ 的不等式，求出被允许的最佳价格。

执行并检验。 (a) 建立利润：

P=(p-2)(200-25p)=200p-25p^{2}-400+50p=-25p^{2}+250p-400

配方。先从前两项提出 $-25$ ：

P=-25\left(p^{2}-10p\right)-400=-25\left[(p-5)^{2}-25\right]-400

P=-25(p-5)^{2}+625-400=-25(p-5)^{2}+225

由于 $-25(p-5)^{2}\le 0$ ，当 $(p-5)^{2}=0$ 即 $p=5$ 时取得最大值。每天最大利润为 RM225，此时价格为每包 RM5。

（当 $p=5$ ， $n=200-25(5)=75$ 包，一个合理的正数。）

(b) 「至少 100 包」表示 $n\ge 100$ ：

200-25p\ge 100 \;\Rightarrow\; 25p\le 100 \;\Rightarrow\; p\le 4

由顶点式可知，当 $p$ 向 $5$ 靠近时 $P$ 递增。在被允许的范围 $p\le 4$ 上，利润因此在 $p=4$ 处最大：

P(4)=-25(4-5)^{2}+225=-25(1)+225=200

所以在此条件下最佳价格为 RM4，每天利润 RM200，恰好卖出 $200-25(4)=100$ 包。取舍在于：坚持每天至少卖 100 包，比起无约束的最优会让摊位每天少赚 RM25（RM225 − RM200），换来的是更高的销量与覆盖面。

检验。 用另一种方式验证顶点： $P(5)=(5-2)(200-125)=3\times 75=225$ ✓，且 $P(4)=(4-2)(200-100)=2\times 100=200$ ✓。

两者都与配方后的式子一致，读数吻合。

如何找到合理的第一步

当求最值的题被包装成故事时，可靠的第一步是给你想要变得最大或最小的量命名，这里是利润，并在展开之前把它写成几个更简单部分的乘积。利润是「每包赚的钱乘以卖出的包数」，所以 $P=(p-2)(200-25p)$ 。

把这一行写对，比后面的代数更值钱，因为其余一切都依赖它。只有在模型建立之后，才展开并配方；顶点随即一次性交给你最佳价格与最佳数值。

忍住过早代入数字的冲动，把 $p$ 保持为变量，配方后的式子才能显出顶点。给目标量命名、并把它写成乘积，就把一道啰嗦的题变成了标准的二次函数。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于最值应用题，阅卷老师会找：

利润正确建模为 $(p-2)(200-25p)$ ，价格减成本，乘以数量。
干净地展开为 $-25p^{2}+250p-400$ 。
配方时先提出 $-25$ ，得到 $-25(p-5)^{2}+225$ 。
最大值由顶点读出，在 $p=5$ 处为 RM225，而非靠试凑。
把约束化成不等式 $200-25p\ge 100\Rightarrow p\le 4$ 。
在被允许的范围上有理由地选 $p=4$ ，并清楚说明 RM25 的取舍。

老师如何帮助你

求最值进步最快，靠的是学生能解释为什么顶点就是答案，而不只是把它算出来。在一对一课堂上，我们的老师会请你先用文字搭出利润这一行，仔细配方，提出来的 $-25$ 正是常丢分的地方，并说出最大值对摊位意味着什么。

我们会特别关注约束，因为一道 KBAT 题往往就取决于那个理想答案到底能不能用。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

中四的二次函数，为什么用配方而不用微积分？

因为二次函数的最大或最小值就是它的顶点，而配方直接给出顶点： $-25(p-5)^{2}+225$ 一行就显示在 $p=5$ 处最大值为 225。这是本章预期使用的中四方法，无需求导。

怎么判断顶点是最大值还是最小值？

看配方后平方项的符号。这里系数是 $-25$ ，为负，所以 $-25(p-5)^{2}$ 至多为零，曲线开口向下，顶点是最大值。

系数为正则给出最小值。

为什么约束会改变最佳价格？

无约束时利润在 $p=5$ 达到峰值，但那个价格只卖出 75 包。要求至少 100 包会迫使 $p\le 4$ 。

由于利润在向 $p=5$ 靠近时递增，在 $p\le 4$ 上被允许的最佳价格是边界 $p=4$ ，给出 RM200，比无约束的最大值少 RM25。

如果我最后算出的利润错了，还能得分吗？

能。Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。

正确的利润模型、有效的配方步骤和站得住的约束，即使一处算术失误改变了最终数字，也能拿到不错的分数。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

KBAT：二次函数的最大值与最小值