KBAT: Maksimum & Minimum Kuadratik

Q: Mengapa kekangan menukar harga terbaik?

Untung tanpa kekangan memuncak pada p=5p=5p=5, tetapi harga itu menjual hanya 75 bungkus. Menuntut sekurang-kurangnya 100 bungkus memaksa p≤4p\le 4p≤4. Kerana untung meningkat menghampiri p=5p=5p=5, harga terbaik yang dibenarkan pada p≤4p\le 4p≤4 ialah sempadan p=4p=4p=4, memberi RM200, RM25 kurang daripada maksimum tanpa kekangan.

Q: Bolehkah saya dapat markah jika untung akhir saya salah?

Boleh. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Model untung yang betul, langkah menyempurnakan kuasa dua yang sah dan kekangan yang kukuh boleh memperoleh markah baik walaupun kesilapan aritmetik mengubah angka akhir.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan kuadratik rutin memberi anda $y=ax^2+bx+c$ dan meminta minimum. Soalan KBAT memberi anda situasi, harga, permintaan, kos, dan menjangka anda membina kuadratik itu dahulu, kemudian mengoptimumkannya, kemudian memutuskan sama ada jawapan itu dibenarkan.

Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: menyempurnakan kuasa dua ialah kerja Tingkatan 4 biasa, tetapi membentuk 'untung = (harga − kos) × kuantiti', membaca bucu sebagai harga terbaik, dan mengujinya terhadap had dunia sebenar ialah langkah yang tiada siapa senaraikan untuk anda. Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang faham bahawa bucu kuadratik ialah maksimum atau minimum, dan yang boleh bergerak antara cerita, persamaan dan graf.

Pemodelan dan tafsiran, bukan algebra, yang membawa kesukaran.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[8 marks]

Sebuah gerai menjual bungkusan nasi lemak. Satu tinjauan pasaran menunjukkan bahawa pada harga jualan RM $p$ sebungkus, bilangan terjual setiap hari ialah $n=200-25p$ .

Setiap bungkus berkos RM2 untuk disediakan. (a) Tunjukkan bahawa untung harian, dalam ringgit, ialah $P=-25p^{2}+250p-400$ , dan dengan menyempurnakan kuasa dua cari harga yang memaksimumkan untung dan untung harian maksimum.

(b) Pemilik juga mahu menjual sekurang-kurangnya 100 bungkus sehari. Cari untung harian tertinggi yang mungkin di bawah syarat ini, dan ulaskan pertukaran nilai (trade-off) itu.

Show worked solution

Faham. Untung sebungkus ialah (harga − kos) = $p-2$ .

Bilangan terjual ialah $n=200-25p$ . Untung harian ialah untung sebungkus didarab bilangan terjual.

Kita perlu membina $P$ , menyempurnakan kuasa dua, kemudian mengoptimum semula di bawah kekangan jualan.

Rancang. Tulis $P=(p-2)(200-25p)$ , kembangkan, sempurnakan kuasa dua untuk membaca bucu.

Untuk bahagian (b), tukarkan 'sekurang-kurangnya 100 bungkus' kepada ketaksamaan dalam $p$ dan cari harga terbaik yang dibenarkan.

Laksana dan semak. (a) Bentukkan untung:

P=(p-2)(200-25p)=200p-25p^{2}-400+50p=-25p^{2}+250p-400

Sempurnakan kuasa dua. Faktorkan $-25$ daripada dua sebutan pertama:

P=-25\left(p^{2}-10p\right)-400=-25\left[(p-5)^{2}-25\right]-400

P=-25(p-5)^{2}+625-400=-25(p-5)^{2}+225

Oleh sebab $-25(p-5)^{2}\le 0$ , maksimum berlaku apabila $(p-5)^{2}=0$ , iaitu $p=5$ . Untung harian maksimum ialah RM225, pada harga RM5 sebungkus.

(Pada $p=5$ , $n=200-25(5)=75$ bungkus, nombor positif yang munasabah.)

(b) 'Sekurang-kurangnya 100 bungkus' bermaksud $n\ge 100$ :

200-25p\ge 100 \;\Rightarrow\; 25p\le 100 \;\Rightarrow\; p\le 4

Daripada bentuk bucu, $P$ meningkat apabila $p$ menghampiri $5$ . Pada julat yang dibenarkan $p\le 4$ , untung oleh itu paling besar pada $p=4$ :

P(4)=-25(4-5)^{2}+225=-25(1)+225=200

Jadi di bawah syarat itu harga terbaik ialah RM4, memberi untung harian RM200 dengan tepat $200-25(4)=100$ bungkus terjual. Pertukaran nilainya: berkeras menjual sekurang-kurangnya 100 bungkus berkos RM25 sehari kepada gerai (RM225 − RM200) berbanding optimum tanpa kekangan, sebagai pertukaran untuk jumlah dan capaian yang lebih tinggi.

Semak. Uji bucu secara berbeza: $P(5)=(5-2)(200-125)=3\times 75=225$ ✓, dan $P(4)=(4-2)(200-100)=2\times 100=200$ ✓.

Kedua-duanya sepadan dengan bentuk kuasa dua sempurna, jadi bacaan itu konsisten.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila soalan pengoptimuman dibalut sebagai cerita, langkah pertama yang boleh dipercayai ialah menamakan kuantiti yang anda mahu jadikan sebesar atau sekecil mungkin, di sini, untung, dan menulisnya sebagai hasil darab bahagian yang lebih mudah sebelum mengembangkan. Untung ialah 'wang sebungkus didarab bungkus terjual', jadi $P=(p-2)(200-25p)$ .

Menepati baris tunggal itu lebih bernilai daripada algebra kemudian, kerana semua yang lain bergantung padanya. Hanya selepas model terbentuk barulah anda mengembang dan menyempurnakan kuasa dua; bucu kemudian menyerahkan kedua-dua harga terbaik dan nilai terbaik sekali gus.

Tahan keinginan untuk menggantikan nombor terlalu awal, kekalkan $p$ sebagai pemboleh ubah supaya bentuk kuasa dua sempurna dapat mendedahkan titik pusingan. Menamakan kuantiti sasaran dan menulisnya sebagai hasil darab menukar masalah berayat menjadi kuadratik biasa.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk aplikasi maksimum/minimum, pemeriksa mencari:

Untung dimodelkan dengan betul sebagai $(p-2)(200-25p)$ , harga tolak kos, didarab kuantiti.
Pengembangan bersih kepada $-25p^{2}+250p-400$ .
Menyempurnakan kuasa dua dengan $-25$ difaktorkan dahulu, mencapai $-25(p-5)^{2}+225$ .
Maksimum dibaca daripada bucu, nilai RM225 pada $p=5$ , bukan daripada cuba jaya.
Kekangan diterjemahkan kepada ketaksamaan, $200-25p\ge 100\Rightarrow p\le 4$ .
Pemilihan $p=4$ yang berjustifikasi pada julat dibenarkan dan pernyataan jelas pertukaran nilai RM25.

Bagaimana seorang guru membantu

Pengoptimuman bertambah baik paling cepat apabila pelajar boleh menerangkan mengapa bucu ialah jawapannya, bukan sekadar mengiranya. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami meminta anda membina baris untung dalam perkataan dahulu, menyempurnakan kuasa dua dengan teliti, $-25$ yang difaktorkan itu tempat markah kerap hilang, dan menyebut maksud maksimum itu kepada gerai.

Kami memberi perhatian khusus kepada kekangan, kerana soalan KBAT biasanya bergantung pada sama ada jawapan ideal itu sebenarnya dibenarkan. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa menyempurnakan kuasa dua dan bukan kalkulus untuk kuadratik Tingkatan 4?

Kerana maksimum atau minimum kuadratik ialah tepat bucunya, dan menyempurnakan kuasa dua memberi bucu terus: $-25(p-5)^{2}+225$ menunjukkan nilai maksimum 225 pada $p=5$ dalam satu baris. Ia kaedah Tingkatan 4 yang dimaksudkan untuk bab ini dan tidak memerlukan pembezaan.

Bagaimana saya tahu titik pusingan itu maksimum atau minimum?

Lihat tanda sebutan kuasa dua selepas menyempurnakan kuasa dua. Di sini pekalinya $-25$ , iaitu negatif, jadi $-25(p-5)^{2}$ paling banyak sifar, lengkung membuka ke bawah dan bucu ialah maksimum.

Pekali positif akan memberi minimum.

Mengapa kekangan menukar harga terbaik?

Untung tanpa kekangan memuncak pada $p=5$ , tetapi harga itu menjual hanya 75 bungkus. Menuntut sekurang-kurangnya 100 bungkus memaksa $p\le 4$ .

Kerana untung meningkat menghampiri $p=5$ , harga terbaik yang dibenarkan pada $p\le 4$ ialah sempadan $p=4$ , memberi RM200, RM25 kurang daripada maksimum tanpa kekangan.

Bolehkah saya dapat markah jika untung akhir saya salah?

Boleh. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris.

Model untung yang betul, langkah menyempurnakan kuasa dua yang sah dan kekangan yang kukuh boleh memperoleh markah baik walaupun kesilapan aritmetik mengubah angka akhir.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

KBAT: Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadratik