KBAT：现实情境中的数列

Q: 在应用题里，我怎么区分等差数列和等比数列？

写出前几项，看每一项是怎么由前一项得来的。如果每次加上相同的量，就是等差（求 aaa 和 ddd）。如果每次乘上相同的倍数，就是等比（求 aaa 和 rrr）。

Q: 什么时候用项公式，什么时候用和公式？

当题目问某一特定步骤的值，某一周、某一个月、某一行，用项公式 TnT_nTn。当它问到某处为止的累计总和时，用和公式 SnS_nSn。读清楚是「第 5 周的量」还是'6 周后的总和'就能决定。

Q: 这类题在 Add Math 试卷二里怎么评分？

试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。判定数列、选对公式、正确代入各自都能得分，所以每一步都要写出来。

Q: 情境数列最常见的错误是什么？

把单项和总和弄混，题目要 SnS_nSn 却用 TnT_nTn 作答，或者反过来。第二个常见失误是把数列判错，在等比情境上套用等差公式。

为什么这是 KBAT 题

常规的数列题会告诉你首项和公差或公比。现实情境的 KBAT 题给你一个故事，期望你先判断里面藏的是哪一种数列，每步加上一个固定的量是等差，每步乘上一个固定的倍数是等比，再判断用哪个公式来回答：单项 $T_n$ ，还是总和 $S_n$ 。

这就是高层次思维，Kemahiran Berfikir Aras Tinggi：公式你都熟悉，但没有人替你标出这是哪种数列，而两个方案的比较又逼你去推理，而不只是计算。在 Add Math 里，这奖励的是先读懂情境结构、再去取公式的学生。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做，再看解答。

Q1[8 marks]

某校开展为期六周的种树活动，考虑两个方案。方案 A：学生在第 1 周种 $20$ 棵，之后每周比前一周多种 $12$ 棵。

方案 B：第 1 周种 $5$ 棵，之后每周把棵数翻一倍。(a) 求方案 A 六周内所种的总棵数。

(b) 判断方案 B 每周的棵数第一次超过方案 A 每周棵数是在第几周。(c) 判断六周内哪个方案种得更多。

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理解。 方案 A 每周固定多加 $12$ 棵，所以是等差数列，首项 $a=20$ ，公差 $d=12$ 。

方案 B 每周乘上固定倍数 $2$ ，所以是等比数列，首项 $a=5$ ，公比 $r=2$ 。(b) 比较的是单周的项；(a) 和 (c) 比较的是总和。

计划。 用 $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ 求方案 A 的总和，用两个数列的第 $n$ 项 $T_n$ 逐周比较，用 $S_n=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ 求方案 B 的总和。

执行并检验。 (a) 方案 A 六周的总和：

S_6 = \frac{6}{2}\,[\,2(20)+(6-1)(12)\,] = 3\,[\,40+60\,] = 3(100) = 300

所以方案 A 种 $300$ 棵。(b) 每周的项为 $T_n(\text{A})=20+(n-1)(12)=12n+8$ 与 $T_n(\text{B})=5(2)^{\,n-1}$ 。

逐周比较：

第 n 周	方案 A： $12n+8$	方案 B： $5\cdot 2^{n-1}$
1	20	5
2	32	10
3	44	20
4	56	40
5	68	80
6	80	160

方案 B 第一次超过方案 A 是在第 5 周（ $80>68$ ），在第 1 至 4 周它都更小。

S_6 = \frac{5(2^{6}-1)}{2-1} = 5(64-1) = 5(63) = 315

方案 B 种 $315$ 棵，方案 A 种 $300$ 棵。因为 $315>300$ ，六周内方案 B 种得更多。

检验。 直接把方案 B 每周的棵数相加得 $5+10+20+40+80+160=315$ ，方案 A 得 $20+32+44+56+68+80=300$ ，两个总和都得到确认。

如何找到合理的第一步

当数列题被包装成故事时，第一步从来不是公式，而是判断这是哪种数列。根据文字写出前三四项，看每一项是怎么由前一项得到的。

如果每次加上一个固定的量，就是等差，去求 $a$ 和 $d$ 。如果每次乘上一个固定的倍数，就是等比，去求 $a$ 和 $r$ 。

接下来的判断同样重要：题目问的是单独一项（某一周、某一个月、某一行的量），还是到某处为止的累计总和？单项用 $T_n$ ；总和用 $S_n$ 。

把数列命名清楚、再在 $T_n$ 与 $S_n$ 之间选定，几乎任何现实情境题都会变成普通的 Add Math。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于现实情境的数列题，阅卷老师会找：

正确判定数列，等差还是等比，并写出 $a$ 以及 $d$ 或 $r$ 。
按题目要求，在项公式 $T_n$ 与和公式 $S_n$ 之间作出正确选择。
正确代入 $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ 或 $S_n=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ ，并展示过程。
对于「第一次超过」这类不等式，作出清楚的比较，并给出有理据的整数答案。
对「哪个方案」的部分，用文字写出判断，并以总和为依据。
尽量保留精确值，并把答案读回情境。

老师如何帮助你

学生漏掉的正是第一步，判断一个故事是等差还是等比，所以我们的老师把时间花在这里。在一对一课堂上，我们一起写出开头几项，出声问「是加还是乘？」

，再在任何代入之前先在 $T_n$ 与 $S_n$ 之间选定，好让这个习惯在考试压力下也稳得住。我们还会练习用文字写出判断，因为比较题带有推理分。

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常见问题

在应用题里，我怎么区分等差数列和等比数列？

写出前几项，看每一项是怎么由前一项得来的。如果每次加上相同的量，就是等差（求 $a$ 和 $d$ ）。

如果每次乘上相同的倍数，就是等比（求 $a$ 和 $r$ ）。

什么时候用项公式，什么时候用和公式？

当题目问某一特定步骤的值，某一周、某一个月、某一行，用项公式 $T_n$ 。当它问到某处为止的累计总和时，用和公式 $S_n$ 。

读清楚是「第 5 周的量」还是'6 周后的总和'就能决定。

这类题在 Add Math 试卷二里怎么评分？

试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。判定数列、选对公式、正确代入各自都能得分，所以每一步都要写出来。

情境数列最常见的错误是什么？

把单项和总和弄混，题目要 $S_n$ 却用 $T_n$ 作答，或者反过来。第二个常见失误是把数列判错，在等比情境上套用等差公式。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026