KBAT: Janjang Konteks Sebenar

Q: Bila saya guna formula sebutan dan bila formula jumlah?

Guna formula sebutan TnT_nTn apabila soalan meminta nilai pada satu langkah tertentu, satu minggu, satu bulan, satu baris. Guna formula jumlah SnS_nSn apabila ia meminta jumlah berjalan sehingga satu titik. Membaca 'amaun pada minggu 5' berbanding 'jumlah selepas 6 minggu' menentukannya.

Q: Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk soalan begini?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Mengenal pasti janjang, memilih formula yang betul dan menggantikan dengan betul masing-masing memperoleh markah, jadi tunjukkan setiap peringkat.

Q: Apakah kesilapan paling lazim dengan janjang dalam konteks?

Mengelirukan satu sebutan dengan jumlah, menjawab dengan TnT_nTn sedangkan soalan mahukan SnS_nSn, atau sebaliknya. Kesilapan lazim kedua ialah tersalah label janjang dan menggunakan formula aritmetik pada situasi geometri.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan janjang rutin memberitahu anda sebutan pertama dan beza sepunya atau nisbah sepunya. Soalan KBAT konteks sebenar memberitahu anda sebuah cerita dan mengharapkan anda memutuskan, pertama, janjang yang mana tersembunyi di dalamnya, aritmetik apabila amaun tetap ditambah pada setiap langkah, geometri apabila faktor tetap didarab pada setiap langkah, kemudian formula mana yang menjawab soalan itu: satu sebutan $T_n$ , atau jumlah $S_n$ .

Itulah pemikiran aras tinggi, Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: formulanya biasa, tetapi tiada apa-apa melabel janjang itu untuk anda, dan perbandingan dua pelan memaksa anda menaakul, bukan sekadar mengira. Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang membaca struktur situasi sebelum mencapai formula.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cubalah sebelum membaca penyelesaian.

Q1[8 marks]

Sebuah sekolah menjalankan kempen menanam pokok selama enam minggu dan mempertimbangkan dua pelan. Di bawah Pelan A, pelajar menanam $20$ pokok pada minggu 1 dan $12$ pokok lebih banyak setiap minggu berbanding minggu sebelumnya.

Di bawah Pelan B, mereka menanam $5$ pokok pada minggu 1 dan menggandakan bilangan pokok setiap minggu. (a) Cari jumlah bilangan pokok yang ditanam di bawah Pelan A dalam enam minggu.

(b) Tentukan minggu pertama apabila bilangan pokok mingguan di bawah Pelan B melebihi bilangan mingguan di bawah Pelan A. (c) Putuskan pelan mana yang menanam lebih banyak pokok secara keseluruhan dalam enam minggu.

Show worked solution

Faham. Pelan A menambah $12$ pokok tetap setiap minggu, jadi ia janjang aritmetik dengan sebutan pertama $a=20$ dan beza sepunya $d=12$ .

Pelan B mendarab dengan faktor tetap $2$ setiap minggu, jadi ia janjang geometri dengan sebutan pertama $a=5$ dan nisbah sepunya $r=2$ . Bahagian (b) membandingkan sebutan mingguan tunggal; bahagian (a) dan (c) membandingkan jumlah.

Rancang. Guna $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ untuk jumlah Pelan A, sebutan ke- $n$ iaitu $T_n$ bagi setiap janjang untuk perbandingan minggu demi minggu, dan $S_n=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ untuk jumlah Pelan B.

Laksana dan semak. (a) Jumlah Pelan A dalam $6$ minggu:

S_6 = \frac{6}{2}\,[\,2(20)+(6-1)(12)\,] = 3\,[\,40+60\,] = 3(100) = 300

Jadi Pelan A menanam $300$ pokok. (b) Sebutan mingguan ialah $T_n(\text{A})=20+(n-1)(12)=12n+8$ dan $T_n(\text{B})=5(2)^{\,n-1}$ .

Bandingkan minggu demi minggu:

Minggu n	Pelan A: $12n+8$	Pelan B: $5\cdot 2^{n-1}$
1	20	5
2	32	10
3	44	20
4	56	40
5	68	80
6	80	160

Pelan B mula-mula melebihi Pelan A pada minggu 5 ( $80>68$ ), setelah lebih kecil pada minggu 1 hingga 4.

S_6 = \frac{5(2^{6}-1)}{2-1} = 5(64-1) = 5(63) = 315

Pelan B menanam $315$ pokok berbanding $300$ pokok Pelan A. Oleh sebab $315>300$ , Pelan B menanam lebih banyak secara keseluruhan dalam enam minggu.

Semak. Menambah bilangan mingguan Pelan B terus memberi $5+10+20+40+80+160=315$ , dan Pelan A memberi $20+32+44+56+68+80=300$ , mengesahkan kedua-dua jumlah.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila soalan janjang dibungkus sebagai cerita, langkah pertama bukan sekali-kali formula, ia mengenal pasti janjang itu. Tuliskan tiga atau empat sebutan pertama daripada perkataan dan perhatikan bagaimana setiap sebutan dibina daripada sebutan sebelumnya.

Jika amaun tetap ditambah, ia aritmetik, maka cari $a$ dan $d$ . Jika faktor tetap didarab, ia geometri, maka cari $a$ dan $r$ .

Keputusan seterusnya sama pentingnya: adakah soalan meminta satu sebutan (amaun dalam satu minggu, satu bulan, satu baris) atau jumlah berjalan (semuanya sehingga titik itu)? Satu sebutan memerlukan $T_n$ ; jumlah memerlukan $S_n$ .

Menamakan janjang dan memilih antara $T_n$ dan $S_n$ menukar hampir mana-mana soalan konteks sebenar kepada Add Math biasa.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan janjang konteks sebenar, pemeriksa mencari:

Janjang dikenal pasti dengan betul, aritmetik atau geometri, dengan $a$ dan sama ada $d$ atau $r$ dinyatakan.
Pilihan yang tepat antara formula sebutan $T_n$ dan formula jumlah $S_n$ mengikut kehendak soalan.
Penggantian yang betul ke dalam $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ atau $S_n=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ , dengan kerja ditunjukkan.
Bagi ketaksamaan seperti 'minggu pertama yang melebihi', perbandingan yang jelas dan jawapan nombor bulat yang berjustifikasi.
Keputusan dinyatakan dengan perkataan bagi bahagian 'pelan mana', disokong oleh jumlah.
Jawapan dikekalkan sebagai nilai tepat jika boleh dan ditafsir kembali ke dalam konteks.

Bagaimana seorang guru membantu

Langkah yang pelajar terlepas ialah yang pertama, memutuskan sama ada sebuah cerita itu aritmetik atau geometri, jadi di situlah guru kami menumpukan masa. Dalam kelas satu-dengan-satu, kami menulis sebutan pembuka bersama dan bertanya 'ditambah atau didarab?'

dengan kuat, kemudian memilih antara $T_n$ dan $S_n$ sebelum sebarang penggantian, supaya tabiat itu kekal di bawah tekanan peperiksaan. Kami juga berlatih menyatakan keputusan dengan perkataan, kerana soalan perbandingan membawa markah penaakulan.

Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris. Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya membezakan janjang aritmetik daripada geometri dalam soalan berayat?

Tulis beberapa sebutan pertama dan lihat bagaimana setiap satu dibuat daripada sebutan sebelumnya. Jika anda menambah amaun yang sama setiap kali, ia aritmetik (cari $a$ dan $d$ ).

Jika anda mendarab dengan faktor yang sama setiap kali, ia geometri (cari $a$ dan $r$ ).

Bila saya guna formula sebutan dan bila formula jumlah?

Guna formula sebutan $T_n$ apabila soalan meminta nilai pada satu langkah tertentu, satu minggu, satu bulan, satu baris. Guna formula jumlah $S_n$ apabila ia meminta jumlah berjalan sehingga satu titik.

Membaca 'amaun pada minggu 5' berbanding 'jumlah selepas 6 minggu' menentukannya.

Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk soalan begini?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Mengenal pasti janjang, memilih formula yang betul dan menggantikan dengan betul masing-masing memperoleh markah, jadi tunjukkan setiap peringkat.

Apakah kesilapan paling lazim dengan janjang dalam konteks?

Mengelirukan satu sebutan dengan jumlah, menjawab dengan $T_n$ sedangkan soalan mahukan $S_n$ , atau sebaliknya. Kesilapan lazim kedua ialah tersalah label janjang dan menggunakan formula aritmetik pada situasi geometri.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

KBAT: Janjang dalam Konteks Sebenar