KBAT：用概率做决策

常规的概率题会直接告诉你模型和事件：'求 $X\sim B(5,0.2)$ 时的 $P(X=2)$'。决策型 KBAT 题把这两样都藏进一个情境里，并在结尾加上一个判断，这家工坊该不该采用这条规则，这个游戏值不值得玩，这批货过不过关？

这就是高层次思维，Kemahiran Berfikir Aras Tinggi：二项分布和正态分布这些工具你都熟悉，但你必须自己判定哪个事件才重要（「至少两个」「少于三个」），算出它的概率，再拿它去和题目给的上限比较，并写出结论。

情境年年不同，保修、验收测试、摊位游戏、筛查决定，但骨架始终一样：命名模型、选定事件、算出概率、和上限比较、下结论。题面上没有任何东西告诉你该列哪个不等式、该在哪里停下。

在 Add Math 里，这奖励的是能把一个数字连到真实选择的学生，而不只是会往公式里代入、再读出一个数值的学生。

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。它看起来像个故事，但每一句其实都在告诉你一个模型、一个事件，或一个上限。

请先自己做，再看解答。

把这两个答案按工坊老板的角度来读。规则 A 对顾客听起来很大方，但它会退回大约每四盒中的一盒，代价高昂；规则 B 只在一盒异常糟糕时才触发，约每十七盒一次，稳稳在预算之内。

数学并没有替老板做决定，它只是准确地告诉老板每种选择要付出多少代价，而这正是 Add Math 里一道决策题真正在考的东西。

当一道概率题被包在故事里时，第一步永远一样：用一行字命名模型并定义变量。问自己：每次「试验」是不是只有两个结果（有瑕疵或没有、通过或不通过），概率固定，且重复固定次数，这就是二项模型，$X\sim B(n,p)$。

如果这个量是一个围绕某个平均数聚集的连续测量（质量、长度、时间），那就是正态模型。模型一旦命名，就把决策的措辞翻译成对 $X$ 的不等式：「至少两个」是 $X\ge 2$，「少于三个」是 $X\le 2$，「多于一个」是 $X\ge 2$。

在动手算任何东西之前，先把事件写下来。

这里给出正态情形的一个缩影：如果一袋袋糖的质量服从正态分布，且平均数和标准差已知，「一袋不够重」就成了 $P(X<\text{上限})$，通过标准化 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ 求出。工具变了，但习惯没变，命名模型、写出事件，再计算。

这类题很多分数就在这一步翻译上得失，所以放慢速度，先把事件钉死。

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于决策型概率题，阅卷老师会找：

• 命名模型并定义变量，例如 $X\sim B(5,0.2)$，其中 $X$ 为瑕疵蜡烛的数目。
• 把决策措辞转成正确的事件，例如「至少两个」写成 $P(X\ge 2)$。
• 二项公式写出正确的 $\binom{n}{r}$、幂次和余概率，而不只是最后一个数字。
• 在比累加多项更短时，使用余概率 $1-P(X=0)-P(X=1)$。
• 与题给上限的明确比较，$0.263>0.1$，或 $0.058<0.1$。
• 用一句话回答真正的问题，例如“采用规则 B”，而不只是给一个概率。

学生在这里丢分的地方不是算术，计算器能搞定，而是选事件、把答案读成决策。这正是我们的老师反复操练的。

在一对一课堂上，我们练习把情境读出声，在碰计算器之前先写下模型和事件，再用一句完整的话说出结论。我们会列一张会让不等式方向翻转的措辞清单，「至少」「少于」「不超过」「多于」，因为一次粗心的翻转，就会把正确的方法变成错误的答案。

我们也养成检查概率之和是否为一的习惯。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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