KBAT: Keputusan dengan Kebarangkalian

Q: Bilakah soalan kebarangkalian itu binomial dan bukan normal?

Guna model binomial apabila anda mengira kejayaan dalam bilangan percubaan tak bersandar yang tetap, setiap satu dengan kebarangkalian yang sama, cacat atau tidak, lulus atau gagal, kena atau tersasar. Guna model normal apabila kuantiti itu ialah ukuran selanjar yang berkumpul di sekitar satu min, seperti jisim, panjang atau masa. Menamakan model yang betul ialah markah pertama pada halaman, dan ia menentukan setiap langkah seterusnya.

Q: Mengapa gunakan pelengkap dan bukan menambah sebutan?

Bagi 'sekurang-kurangnya dua daripada lima', menambah P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) ialah empat sebutan; pelengkap 1−P(X=0)−P(X=1)1-P(X=0)-P(X=1)1−P(X=0)−P(X=1) ialah dua. Kedua-duanya betul, tetapi pelengkap lebih pendek dan kurang ralat, jadi pemeriksa kerap melihatnya. Pilih yang memerlukan kurang sebutan, dan tulis pernyataan pelengkap dengan jelas supaya kaedah itu kelihatan.

Q: Bagaimana saya menukar had keputusan kepada perbandingan?

Baca had itu sebagai kebarangkalian. 'Paling banyak satu kotak dalam sepuluh' bermakna kebarangkalian yang layak mestilah ≤0.1\le 0.1≤0.1. Kira kebarangkalian peristiwa itu, kemudian bandingkan: jika ia melebihi had, peraturan itu terlalu murah hati; jika ia di bawah had, peraturan itu sesuai. Akhiri dengan ayat yang menamakan pilihan anda, kerana keputusan itulah yang memperoleh markah terakhir.

Q: Apakah yang diberitahu oleh min np?

Bagi X∼B(n,p)X\sim B(n,p)X∼B(n,p), min ialah npnpnp, iaitu bilangan kejayaan yang anda jangka secara purata. Di sini np=5×0.2=1np=5\times 0.2=1np=5×0.2=1, jadi kotak biasa mempunyai kira-kira satu cacat. Min ialah semakan waras yang pantas: jika kebarangkalian yang anda kira bercanggah dengan bilangan jangkaan itu, katakan 'tiga atau lebih' anda dapati sangat berkemungkinan, kemungkinan besar ada tersilap dan anda patut menyemak semula.

Q: Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk soalan begini?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Menamakan model, menulis peristiwa yang betul, menggantikan ke dalam formula binomial dan menyatakan keputusan berjustifikasi masing-masing memperoleh markah, jadi tunjukkan setiap langkah dan akhiri dengan pilihan yang jelas.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan kebarangkalian rutin memberitahu anda model dan peristiwanya: 'cari $P(X=2)$ bagi $X\sim B(5,0.2)$ '. Soalan KBAT membuat keputusan menyembunyikan kedua-duanya di dalam satu situasi dan menambah pertimbangan pada akhirnya, patutkah bengkel itu menerima pakai peraturan ini, berbaloikah permainan itu, lulus atau tidak lot itu?

Itulah pemikiran aras tinggi, Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: alat binomial dan normal sudah biasa, tetapi anda mesti memutuskan peristiwa mana yang penting ('sekurang-kurangnya dua', 'kurang daripada tiga'), mengira kebarangkaliannya, kemudian membandingkannya dengan had yang dinyatakan dan menyatakan kesimpulan.

Situasinya berubah dari tahun ke tahun, waranti, ujian penerimaan, permainan gerai, keputusan saringan, tetapi bentuknya kekal sama: namakan model, pilih peristiwa, kira kebarangkalian, bandingkan dengan had, dan simpulkan. Tiada apa-apa pada halaman itu memberitahu ketaksamaan mana untuk dibentuk atau di mana untuk berhenti.

Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang boleh menghubungkan nombor dengan pilihan sebenar, bukan sekadar pelajar yang boleh menggantikan ke dalam formula dan membaca satu nilai.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Ia kelihatan seperti cerita, tetapi setiap ayat sebenarnya memberitahu anda satu model, satu peristiwa, atau satu had.

Cubalah sebelum membaca penyelesaian.

Q1[8 marks]

Sebuah bengkel kecil membuat lilin buatan tangan. Berdasarkan pengalaman lama, setiap lilin secara tak bersandar mempunyai kebarangkalian $0.2$ untuk mempunyai kecacatan kecil.

Lilin dibungkus dalam kotak berisi $5$ , dan $X$ ialah bilangan lilin cacat dalam sebuah kotak. (a) Nyatakan taburan bagi $X$ dan cari kebarangkalian sebuah kotak mengandungi tepat satu lilin cacat.

(b) Bengkel itu sedang memilih peraturan penggantian percuma dan mampu mengganti, secara purata, paling banyak $1$ kotak dalam setiap $10$ . Peraturan A mengganti mana-mana kotak yang mempunyai sekurang-kurangnya $2$ lilin cacat; Peraturan B mengganti mana-mana kotak yang mempunyai sekurang-kurangnya $3$ lilin cacat.

Tentukan peraturan yang mana boleh diterima pakai oleh bengkel itu.

Show worked solution

Faham. Setiap lilin sama ada cacat atau tidak, secara tak bersandar, dengan kebarangkalian tetap $0.2$ , dan terdapat $5$ lilin dalam sebuah kotak, jadi $X$ mengikut taburan binomial.

'Paling banyak $1$ kotak dalam setiap $10$ ' ialah had yang ditulis sebagai pecahan; dibaca sebagai kebarangkalian, ia bermakna peluang sebuah kotak layak untuk penggantian mestilah tidak melebihi $0.1$ . Jadi bagi setiap peraturan kita cari kebarangkalian peristiwa penggantiannya dan bandingkan dengan $0.1$ .

Rancang. Tulis $X\sim B(5,\,0.2)$ dan guna $P(X=r)=\binom{5}{r}(0.2)^{r}(0.8)^{5-r}$ .

Bagi Peraturan A cari $P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$ ; bagi Peraturan B cari $P(X\ge 3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)$ . Menggunakan pelengkap lebih pendek daripada menambah beberapa sebutan berasingan.

Kemudian bandingkan setiap keputusan dengan $0.1$ dan namakan peraturan yang sesuai.

Laksana dan semak. (a) Taburannya ialah $X\sim B(5,\,0.2)$ .

Bagi tepat satu cacat, satu lilin cacat dan empat yang lain elok:

P(X=1)=\binom{5}{1}(0.2)^{1}(0.8)^{4}=5\times 0.2\times 0.4096=0.4096

(b) Dahulu, dua kebarangkalian yang diperlukan oleh kedua-dua peraturan. Kotak tanpa sebarang cacat bermakna setiap satu daripada lima lilin itu elok:

P(X=0)=(0.8)^{5}=0.32768

P(X=2)=\binom{5}{2}(0.2)^{2}(0.8)^{3}=10\times 0.04\times 0.512=0.2048

Bagi Peraturan A, sebuah kotak diganti apabila ia mempunyai sekurang-kurangnya dua cacat, jadi kita ambil pelengkap 'sifar atau satu cacat':

P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.32768-0.4096=0.26272

Oleh sebab $0.26272>0.1$ , Peraturan A akan mengganti kira-kira $26\%$ kotak, lebih daripada satu perempat, jauh lebih banyak daripada yang mampu ditanggung bengkel.

Bagi Peraturan B, sebuah kotak diganti apabila ia mempunyai sekurang-kurangnya tiga cacat:

P(X\ge 3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1-0.32768-0.4096-0.2048=0.05792

Oleh sebab $0.05792<0.1$ , Peraturan B mengganti kurang daripada $6\%$ kotak, selesa dalam had. Maka bengkel itu boleh menerima pakai Peraturan B.

Semak. Kebarangkalian $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X\ge 3)=0.32768+0.4096+0.2048+0.05792=1$ , jadi tiada yang tersalah kira.

Min bilangan cacat setiap kotak ialah $np=5\times 0.2=1$ , jadi kebanyakan kotak mempunyai sifar atau satu cacat dan tiga-atau-lebih memang jarang, selaras dengan nilai kecil $0.058$ yang kita peroleh.

Baca kedua-dua jawapan itu sebagaimana pemilik bengkel membacanya. Peraturan A kedengaran murah hati kepada pelanggan, tetapi ia akan memulangkan kira-kira satu kotak dalam empat, iaitu mahal; Peraturan B hanya bertindak apabila sesebuah kotak luar biasa teruk, kira-kira satu dalam tujuh belas, dan kekal dalam bajet.

Matematik tidak membuat keputusan itu, ia memberitahu pemilik dengan tepat berapa kos setiap pilihan, dan itulah yang sebenarnya diuji oleh soalan keputusan dalam Add Math.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila soalan kebarangkalian dibalut dalam cerita, langkah pertama sentiasa sama: namakan model dan takrifkan pemboleh ubah dalam satu baris. Tanya sama ada setiap 'percubaan' hanya mempunyai dua hasil (cacat atau tidak, lulus atau gagal) dengan kebarangkalian tetap, diulang sebanyak bilangan tetap, itulah model binomial, $X\sim B(n,p)$ .

Jika sebaliknya kuantiti itu ialah ukuran yang berkumpul di sekitar satu min (jisim, panjang, masa), itu model normal. Setelah model dinamakan, terjemahkan frasa keputusan kepada satu ketaksamaan pada $X$ : 'sekurang-kurangnya dua' ialah $X\ge 2$ , 'kurang daripada tiga' ialah $X\le 2$ , 'lebih daripada satu' ialah $X\ge 2$ .

Tuliskan peristiwa itu sebelum anda mengira apa-apa.

Inilah kes normal dalam bentuk kecil: jika beg gula mempunyai jisim yang bertaburan normal dengan min dan sisihan piawai yang diketahui, 'sebuah beg kurang berat' menjadi $P(X<\text{had})$ , dicari dengan mempiawaikan menggunakan $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ . Alatnya berubah, tetapi tabiatnya tidak, namakan model, tulis peristiwa, kemudian kira.

Banyak markah pada soalan begini menang atau hilang pada langkah terjemahan ini, jadi perlahankan dan tetapkan peristiwa itu dahulu.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan kebarangkalian membuat keputusan, pemeriksa mencari:

Model dinamakan dan pemboleh ubah ditakrif, contohnya $X\sim B(5,0.2)$ , dengan $X$ ialah bilangan lilin cacat.
Frasa keputusan ditukar kepada peristiwa yang betul, seperti 'sekurang-kurangnya dua' menjadi $P(X\ge 2)$ .
Formula binomial ditulis dengan $\binom{n}{r}$ , kuasa dan pelengkap yang betul, bukan sekadar nombor akhir.
Penggunaan pelengkap $1-P(X=0)-P(X=1)$ apabila ia lebih pendek daripada menambah banyak sebutan.
Perbandingan jelas dengan had yang dinyatakan, $0.263>0.1$ , atau $0.058<0.1$ .
Ayat akhir yang menjawab soalan sebenar, seperti 'terima pakai Peraturan B', bukan sekadar kebarangkalian.

Bagaimana seorang guru membantu

Tempat pelajar hilang markah di sini bukan aritmetiknya, kalkulator menguruskannya, tetapi memilih peristiwa dan membaca jawapan sebagai keputusan. Jadi itulah yang guru kami latih.

Dalam kelas satu-dengan-satu, kami berlatih membaca situasi dengan kuat dan menulis model serta peristiwa sebelum menyentuh kalkulator, kemudian menyebut kesimpulan dalam satu ayat penuh. Kami menyimpan senarai frasa yang menukar arah ketaksamaan,'sekurang-kurangnya', 'kurang daripada', 'tidak lebih daripada', 'lebih daripada', kerana satu pertukaran cuai menjadikan kaedah yang betul sebagai jawapan yang salah.

Kami juga membina tabiat menyemak bahawa kebarangkalian berjumlah satu. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bilakah soalan kebarangkalian itu binomial dan bukan normal?

Guna model binomial apabila anda mengira kejayaan dalam bilangan percubaan tak bersandar yang tetap, setiap satu dengan kebarangkalian yang sama, cacat atau tidak, lulus atau gagal, kena atau tersasar. Guna model normal apabila kuantiti itu ialah ukuran selanjar yang berkumpul di sekitar satu min, seperti jisim, panjang atau masa.

Menamakan model yang betul ialah markah pertama pada halaman, dan ia menentukan setiap langkah seterusnya.

Mengapa gunakan pelengkap dan bukan menambah sebutan?

Bagi 'sekurang-kurangnya dua daripada lima', menambah $P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)$ ialah empat sebutan; pelengkap $1-P(X=0)-P(X=1)$ ialah dua. Kedua-duanya betul, tetapi pelengkap lebih pendek dan kurang ralat, jadi pemeriksa kerap melihatnya.

Pilih yang memerlukan kurang sebutan, dan tulis pernyataan pelengkap dengan jelas supaya kaedah itu kelihatan.

Bagaimana saya menukar had keputusan kepada perbandingan?

Baca had itu sebagai kebarangkalian. 'Paling banyak satu kotak dalam sepuluh' bermakna kebarangkalian yang layak mestilah $\le 0.1$ .

Kira kebarangkalian peristiwa itu, kemudian bandingkan: jika ia melebihi had, peraturan itu terlalu murah hati; jika ia di bawah had, peraturan itu sesuai. Akhiri dengan ayat yang menamakan pilihan anda, kerana keputusan itulah yang memperoleh markah terakhir.

Apakah yang diberitahu oleh min

np

Bagi $X\sim B(n,p)$ , min ialah $np$ , iaitu bilangan kejayaan yang anda jangka secara purata. Di sini $np=5\times 0.2=1$ , jadi kotak biasa mempunyai kira-kira satu cacat.

Min ialah semakan waras yang pantas: jika kebarangkalian yang anda kira bercanggah dengan bilangan jangkaan itu, katakan 'tiga atau lebih' anda dapati sangat berkemungkinan, kemungkinan besar ada tersilap dan anda patut menyemak semula.

Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk soalan begini?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Menamakan model, menulis peristiwa yang betul, menggantikan ke dalam formula binomial dan menyatakan keputusan berjustifikasi masing-masing memperoleh markah, jadi tunjukkan setiap langkah dan akhiri dengan pilihan yang jelas.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

KBAT: Membuat Keputusan dengan Kebarangkalian