KBAT：情境中的最优化问题

Q: 有两个变量的最优化题该怎么开始？

先找约束，那个固定的量。这里体积 500500500 厘米3^33 给出 x2h=500x^2h=500x2h=500，所以 h=500x2h=\frac{500}{x^2}h=x2500。把它代入你要优化的量，使它只依赖单个变量；到这时、也只有到这时才求导。

Q: 一定要用二阶导数来证明最小值吗？

你必须以某种方式证明。二阶导数最干净：x=10x=10x=10 时 d2Sdx2=2+4000x3=6>0\frac{d^2S}{dx^2}=2+\frac{4000}{x^3}=6>0dx2d2S=2+x34000=6>0，确认是最小值。在 x=10x=10x=10 两侧对 dSdx\frac{dS}{dx}dxdS 作符号检验也可以，阅卷老师给的是清楚、有效的证明的分。

Q: 为什么要先代入约束再求导？

求导需要单变量函数。当 xxx 和 hhh 同时在式中时，你无法干净地用 dSdx\frac{dS}{dx}dxdS。用 h=500x2h=\frac{500}{x^2}h=x2500 消去 hhh，剩下 S=x2+2000xS=x^2+\frac{2000}{x}S=x2+x2000，就可以求导了。

Q: 这类题在 Add Math 试卷二里怎么评分？

试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。正确的模型、稳妥的求导和恰当的二阶导数证明，即使最后一步算术出错也能拿到不错的分数。

为什么这是 KBAT 题

常规的微分题直接给你函数，问它的驻点。最优化的 KBAT 题正好相反：它描述一个真实物体，一个无盖盒子、一块围起的田、一笔生产成本，期望你自己建立函数、用一个约束把它化到单个变量，再求导、求解并加以证明。

这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：求导、解 $\frac{dS}{dx}=0$ 、用二阶导数检验，这些都熟悉，但你要在陌生的情境里运用它们，并自己定下整个计划。在 Add Math 里，这奖励的是理解微积分是用来在现实世界中寻找最优值的工具的学生，而不只是把它当成一套处理现成表达式的规则。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。

Q1[8 marks]

一名厂商设计一个无盖盒子，底面为边长 $x$ 厘米的正方形，高为 $h$ 厘米。盒子必须能装 $500$ 厘米 $^3$ 的体积。

所用材料以外表面积总和 $S$ 厘米 $^2$ 来衡量。(a) 证明 $S=x^2+\dfrac{2000}{x}$ 。

(b) 求使 $S$ 最小的 $x$ 值，并证明它给出最小值。(c) 由此求最小表面积及相应的高 $h$ 。

Show worked solution

理解。 盒子有一个正方形底面和四个侧面，但没有顶盖。

两个量可以变，底边 $x$ 和高 $h$ ，但它们被固定体积 $500$ 厘米 $^3$ 绑在一起。我们要把表面积写成只关于 $x$ 的函数，再求它的最小值。

计划。 用体积约束把 $h$ 用 $x$ 表示，代入表面积表达式消去 $h$ ，再求导、令 $\frac{dS}{dx}=0$ ，并用二阶导数确认最小值。

执行并检验。 (a) 体积给出 $x^2h=500$ ，所以 $h=\frac{500}{x^2}$ 。

无盖盒子有一个正方形底面和四个长方形侧面，所以表面积为 $S=x^2+4xh$ 。代入 $h$ ：

S=x^2+4x\left(\frac{500}{x^2}\right)=x^2+\frac{2000}{x}

这就是所要的表达式。(b) 对 $x$ 求导：

\frac{dS}{dx}=2x-\frac{2000}{x^2}

令 $\frac{dS}{dx}=0$ ： $2x=\dfrac{2000}{x^2}$ ，即 $2x^3=2000$ ，得 $x^3=1000$ ， $x=10$ 。为证明是最小值，用二阶导数：

\frac{d^2S}{dx^2}=2+\frac{4000}{x^3}

当 $x=10$ 时， $\frac{d^2S}{dx^2}=2+\frac{4000}{1000}=6>0$ ，所以 $S$ 在 $x=10$ 厘米处取得最小值。

检验。 体积为 $10\times10\times5=500$ 厘米 $^3$ ，符合要求。

附近的值确认这是最小值： $x=8$ 时 $S=314$ 厘米 $^2$ ； $x=12$ 时 $S\approx310.7$ 厘米 $^2$ ，都比 $300$ 大。

如何找到合理的第一步

当最优化题看起来陌生时，别急着去求导，你还没写出函数，就无从求导。可靠的第一步是给每个量命名，把固定的那个和可变的那些分开。

这里体积固定为 $500$ 厘米 $^3$ ，而 $x$ 和 $h$ 可以变。那个固定量就是你的约束：用它把一个变量用另一个表示出来，好让你要优化的东西只依赖单个变量。

到这时才求导。画一张标上 $x$ 和 $h$ 的简图，几乎总能让约束显现出来。

一旦你得到只关于 $x$ 的函数 $S$ ，题目就变成了普通的中五微积分。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于情境中的最优化题，阅卷老师会找：

明确写出约束，这里是 $x^2h=500$ ，并用它消去一个变量。
正确建立要优化的量，如代入前的 $S=x^2+4xh$ 。
得到一个干净的单变量函数 $S=x^2+\frac{2000}{x}$ ，可以求导。
求导正确，并解出方程 $\frac{dS}{dx}=0$ ，过程可见。
证明驻点是最小值，二阶导数为正，或用符号检验。
把答案读回情境，带单位并给出相应的高： $300$ 厘米 $^2$ ， $h=5$ 厘米。

老师如何帮助你

最优化进步最快，靠的是在建模这一步上给出反馈，学生常常在这里卡住，因为有两个变量、又没有现成的函数。在一对一课堂上，我们的老师把这一步放慢：标注图形、写出约束、在动任何微积分之前先用它化到单个变量，好让这个习惯迁移到新情境。

我们也坚持要写证明和解读，因为阅卷老师给的是二阶导数检验和情境中答案的分，而不是一个孤零零的 $x$ 值。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

有两个变量的最优化题该怎么开始？

先找约束，那个固定的量。这里体积 $500$ 厘米 $^3$ 给出 $x^2h=500$ ，所以 $h=\frac{500}{x^2}$ 。

把它代入你要优化的量，使它只依赖单个变量；到这时、也只有到这时才求导。

一定要用二阶导数来证明最小值吗？

你必须以某种方式证明。二阶导数最干净： $x=10$ 时 $\frac{d^2S}{dx^2}=2+\frac{4000}{x^3}=6>0$ ，确认是最小值。

在 $x=10$ 两侧对 $\frac{dS}{dx}$ 作符号检验也可以，阅卷老师给的是清楚、有效的证明的分。

为什么要先代入约束再求导？

求导需要单变量函数。当 $x$ 和 $h$ 同时在式中时，你无法干净地用 $\frac{dS}{dx}$ 。

用 $h=\frac{500}{x^2}$ 消去 $h$ ，剩下 $S=x^2+\frac{2000}{x}$ ，就可以求导了。

这类题在 Add Math 试卷二里怎么评分？

试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。正确的模型、稳妥的求导和恰当的二阶导数证明，即使最后一步算术出错也能拿到不错的分数。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026