KBAT: Pengoptimuman Dalam Konteks

Q: Bagaimana saya memulakan soalan pengoptimuman dengan dua pemboleh ubah?

Cari kekangan, kuantiti yang tetap. Di sini isi padu 500500500 cm3^33 memberi x2h=500x^2h=500x2h=500, jadi h=500x2h=\frac{500}{x^2}h=x2500. Gantikan ini ke dalam kuantiti yang anda optimumkan supaya ia bergantung pada satu pemboleh ubah sahaja; barulah anda membeza.

Q: Mengapa gantikan kekangan sebelum membeza?

Pembezaan memerlukan fungsi satu pemboleh ubah. Dengan xxx dan hhh kedua-duanya hadir, anda tidak boleh mengenakan dSdx\frac{dS}{dx}dxdS dengan kemas. Menggunakan h=500x2h=\frac{500}{x^2}h=x2500 untuk menghapuskan hhh meninggalkan S=x2+2000xS=x^2+\frac{2000}{x}S=x2+x2000, yang sedia untuk dibeza.

Q: Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk soalan begini?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Model yang betul, pembezaan yang teratur dan pengesahan terbitan kedua yang betul boleh memperoleh markah baik walaupun langkah aritmetik akhir tersasar.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan pembezaan rutin memberi anda fungsi dan meminta titik pegunnya. Soalan KBAT pengoptimuman melakukan sebaliknya: ia memerihalkan objek sebenar, kotak terbuka, padang berpagar, kos pengeluaran, dan mengharapkan anda membina sendiri fungsi itu, menggunakan kekangan untuk menurunkannya kepada satu pemboleh ubah, kemudian membeza, menyelesaikan dan mengesahkan.

Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: membeza, menyelesaikan $\frac{dS}{dx}=0$ dan menguji dengan terbitan kedua semuanya biasa, tetapi anda mengenakannya dalam latar yang asing dan memilih keseluruhan rancangan. Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang memahami bahawa kalkulus ialah alat untuk mencari nilai terbaik dalam dunia sebenar, bukan sekadar himpunan peraturan untuk mengendalikan ungkapan yang diberi.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[8 marks]

Seorang pengeluar mereka bentuk kotak terbuka (tanpa penutup) dengan tapak persegi bersisi $x$ cm dan tinggi $h$ cm. Kotak itu mesti memuatkan isi padu $500$ cm $^3$ .

Bahan yang digunakan diukur oleh jumlah luas permukaan luar $S$ cm $^2$ . (a) Tunjukkan bahawa $S=x^2+\dfrac{2000}{x}$ .

(b) Cari nilai $x$ yang menjadikan $S$ minimum, dan sahkan bahawa ia memberi minimum. (c) Seterusnya cari luas permukaan minimum dan tinggi $h$ yang sepadan.

Show worked solution

Faham. Kotak itu mempunyai tapak persegi dan empat sisi tetapi tiada penutup.

Dua kuantiti boleh berubah, sisi tapak $x$ dan tinggi $h$ , tetapi keduanya diikat bersama oleh isi padu tetap $500$ cm $^3$ . Kita mahukan luas permukaan sebagai fungsi $x$ sahaja, kemudian minimumnya.

Rancang. Gunakan kekangan isi padu untuk menulis $h$ dalam sebutan $x$ , gantikan ke dalam ungkapan luas permukaan untuk menghapuskan $h$ , kemudian bezakan, tetapkan $\frac{dS}{dx}=0$ , dan sahkan minimum dengan terbitan kedua.

Laksana dan semak. (a) Isi padu memberi $x^2h=500$ , maka $h=\frac{500}{x^2}$ .

Kotak terbuka mempunyai satu tapak persegi dan empat sisi segi empat tepat, jadi luas permukaannya ialah $S=x^2+4xh$ . Gantikan $h$ :

S=x^2+4x\left(\frac{500}{x^2}\right)=x^2+\frac{2000}{x}

iaitu ungkapan yang dikehendaki. (b) Bezakan terhadap $x$ :

\frac{dS}{dx}=2x-\frac{2000}{x^2}

Tetapkan $\frac{dS}{dx}=0$ : $2x=\dfrac{2000}{x^2}$ , jadi $2x^3=2000$ , memberi $x^3=1000$ dan $x=10$ . Untuk mengesahkan minimum, gunakan terbitan kedua:

\frac{d^2S}{dx^2}=2+\frac{4000}{x^3}

Pada $x=10$ , $\frac{d^2S}{dx^2}=2+\frac{4000}{1000}=6>0$ , jadi $S$ ialah minimum pada $x=10$ cm.

(c) Luas permukaan minimum ialah $S=10^2+\frac{2000}{10}=100+200=300$ cm $^2$ , dan tingginya ialah $h=\frac{500}{10^2}=5$ cm.

Semak. Isi padu ialah $10\times10\times5=500$ cm $^3$ , seperti dikehendaki.

Nilai berhampiran mengesahkan minimum: pada $x=8$ , $S=314$ cm $^2$ ; pada $x=12$ , $S\approx310.7$ cm $^2$ , kedua-duanya lebih besar daripada $300$ .

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila soalan pengoptimuman kelihatan asing, jangan terus mencari terbitan, anda tidak boleh membeza fungsi yang belum anda tulis. Langkah pertama yang boleh dipercayai ialah menamakan setiap kuantiti dan mengasingkan yang tetap daripada yang boleh berubah.

Di sini isi padu tetap pada $500$ cm $^3$ , manakala $x$ dan $h$ boleh berubah. Kuantiti tetap itu ialah kekangan anda: gunakannya untuk mengungkapkan satu pemboleh ubah dalam sebutan yang lain, supaya perkara yang anda optimumkan bergantung pada satu pemboleh ubah sahaja.

Barulah anda membeza. Satu lakaran ringkas dengan $x$ dan $h$ dilabel hampir selalu menjadikan kekangan itu jelas.

Sebaik anda memperoleh $S$ sebagai fungsi $x$ sahaja, soalan menjadi kalkulus Tingkatan 5 biasa.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan pengoptimuman dalam konteks, pemeriksa mencari:

Kekangan ditulis secara jelas, di sini $x^2h=500$ , dan digunakan untuk menghapuskan satu pemboleh ubah.
Kuantiti yang hendak dioptimumkan dibina dengan betul, seperti $S=x^2+4xh$ sebelum penggantian.
Fungsi satu pemboleh ubah yang kemas, $S=x^2+\frac{2000}{x}$ , sedia untuk dibeza.
Pembezaan yang betul dan persamaan $\frac{dS}{dx}=0$ diselesaikan, dengan kerja ditunjukkan.
Pengesahan bahawa titik pegun itu minimum, terbitan kedua positif, atau ujian tanda.
Jawapan ditafsir kembali ke dalam konteks, dengan unit dan tinggi sepadan: $300$ cm $^2$ pada $h=5$ cm.

Bagaimana seorang guru membantu

Pengoptimuman bertambah baik paling cepat dengan maklum balas pada pemodelan, langkah di mana pelajar terhenti kerana ada dua pemboleh ubah dan tiada fungsi yang jelas. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memperlahankan langkah itu: kami melabel gambar rajah, menulis kekangan, dan menggunakannya untuk menurun kepada satu pemboleh ubah sebelum sebarang kalkulus bermula, supaya tabiat itu berpindah ke konteks baharu.

Kami juga menegaskan pengesahan dan tafsiran, kerana pemeriksa memberi markah untuk ujian terbitan kedua dan jawapan dalam konteks, bukan nilai $x$ kosong. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya memulakan soalan pengoptimuman dengan dua pemboleh ubah?

Cari kekangan, kuantiti yang tetap. Di sini isi padu $500$ cm $^3$ memberi $x^2h=500$ , jadi $h=\frac{500}{x^2}$ .

Gantikan ini ke dalam kuantiti yang anda optimumkan supaya ia bergantung pada satu pemboleh ubah sahaja; barulah anda membeza.

Perlukah saya guna terbitan kedua untuk mengesahkan minimum?

Anda mesti mengesahkannya dengan cara tertentu. Terbitan kedua paling kemas: $\frac{d^2S}{dx^2}=2+\frac{4000}{x^3}=6>0$ pada $x=10$ mengesahkan minimum.

Ujian tanda $\frac{dS}{dx}$ di kiri dan kanan $x=10$ juga diterima, pemeriksa memberi markah untuk pengesahan yang jelas dan sah.

Mengapa gantikan kekangan sebelum membeza?

Pembezaan memerlukan fungsi satu pemboleh ubah. Dengan $x$ dan $h$ kedua-duanya hadir, anda tidak boleh mengenakan $\frac{dS}{dx}$ dengan kemas.

Menggunakan $h=\frac{500}{x^2}$ untuk menghapuskan $h$ meninggalkan $S=x^2+\frac{2000}{x}$ , yang sedia untuk dibeza.

Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk soalan begini?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Model yang betul, pembezaan yang teratur dan pengesahan terbitan kedua yang betul boleh memperoleh markah baik walaupun langkah aritmetik akhir tersasar.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

KBAT: Masalah Pengoptimuman Dalam Konteks