KBAT：正态分布的推理

常规的正态分布题给你平均数与标准差，问一个概率：标准化、查表、完事。KBAT 题把它反过来，给你概率，把平均数或标准差藏起来，要你把它们反求出来。

这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：用 $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ 标准化、查标准正态表都是熟悉的中五技能，但反查表，把一个尾部概率反查成 Z 值，再为每个条件写一条方程去解两个未知数，这些步骤没有人替你列出。在 Add Math 里，这奖励的是看得出每一句概率陈述其实都是一条关于 $\mu$ 与 $\sigma$ 的方程的学生，也奖励能认出某个区间关于平均数对称、从而可以重复使用一个表值的学生。

带来难度的是解读与建立方程，而不是算术。

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。

所用的标准正态值：$P(Z>1)=0.1587$ 与 $P(Z>2)=0.0228$。

当正态题把平均数或标准差藏起来时，可靠的第一步是在写别的之前先把每个概率化成 Z 值。反查标准正态表：尾部面积 $0.1587$ 对应 $z=1$，$0.0228$ 对应 $z=2$。

每个 Z 值随即给你一条标准化方程 $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$，把已知的长度与未知的参数联系起来。有两个条件就有两条方程，去掉分母后它们是线性的，很容易联立求解。

把 Z 值定对，比后面的代数更值钱，因为一个错号或读错尾部会同时毒害两条方程。只有在求出参数之后，才进入下一部分，而在那里，永远要检查某个区间是否关于平均数对称，因为对称性能让你重复使用一个表值。

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于正态分布的推理题，阅卷老师会找：

• 每个百分比通过反查表化成 Z 值：$0.1587\to z=1$，$0.0228\to z=2$。
• 为每个条件写出一条标准化方程：$\frac{82-\mu}{\sigma}=1$ 与 $\frac{88-\mu}{\sigma}=2$。
• 去掉分母得到线性方程组 $82-\mu=\sigma$ 与 $88-\mu=2\sigma$。
• 联立解出 $\sigma=6$、$\mu=76$，并写出过程。
• 认识到「相差不超过 6 cm」是对称区间 $70<X<82$，即 $\mu\pm\sigma$。
• 利用对称性 $P(-1<Z<1)=1-2P(Z>1)=0.6826$，并写出清楚的最终比例。

正态分布进步最快，是在学生不再把表当成只能单向查的时候。在一对一课堂上，我们的老师会反复训练反向查表，从概率到 Z 值，直到形成本能，再演示每个条件如何变成一条能解出隐藏参数的方程。

我们会花时间先画曲线、把区域涂上阴影，因为一张快图能定下 $z$ 的符号，也能显出何时可借对称性重复使用一个表值。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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