KBAT: Penaakulan Taburan Normal

Q: Mengapa 'dalam lingkungan 6 cm daripada min' cepat dinilai?

Kerana 666 cm tepat satu sisihan piawai, jadi selang itu μ±σ\mu\pm\sigmaμ±σ, yang diseragamkan menjadi −1<Z<1-1<Z<1−1<Z<1. Dengan simetri P(−1<Z<1)=1−2P(Z>1)=1−2(0.1587)=0.6826P(-1<Z<1)=1-2P(Z>1)=1-2(0.1587)=0.6826P(−1<Z<1)=1−2P(Z>1)=1−2(0.1587)=0.6826, iaitu 'kira-kira 68% dalam satu sisihan piawai' yang biasa.

Q: Bolehkah saya dapat markah jika perkadaran akhir saya salah?

Boleh. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Skor-z yang betul, persamaan penyeragaman yang sah dan penyelesaian serentak yang kukuh boleh memperoleh markah baik walaupun kesilapan aritmetik mengubah angka akhir.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan taburan normal rutin memberi anda min dan sisihan piawai lalu meminta kebarangkalian: seragamkan, baca jadual, selesai. Soalan KBAT membalikkannya, ia memberi anda kebarangkalian dan menyembunyikan min atau sisihan piawai, dan menjangka anda memperolehnya semula.

Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: penyeragaman dengan $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ dan pembacaan jadual taburan normal piawai ialah kemahiran Tingkatan 5 biasa, tetapi membaca jadual secara songsang, menukar kebarangkalian hujung semula menjadi skor-z, kemudian menulis satu persamaan bagi setiap syarat untuk menyelesaikan dua anu ialah langkah yang tiada siapa senaraikan untuk anda. Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang nampak bahawa setiap pernyataan kebarangkalian sebenarnya persamaan dalam $\mu$ dan $\sigma$ , dan yang boleh mengenali bila satu julat simetri terhadap min supaya satu nilai jadual boleh diguna semula.

Tafsiran dan pembentukan, bukan aritmetik, yang membawa kesukaran.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Nilai taburan normal piawai yang digunakan: $P(Z>1)=0.1587$ dan $P(Z>2)=0.0228$ .

Q1[8 marks]

Panjang rod logam yang dihasilkan oleh sebuah mesin bertaburan normal dengan min $\mu$ cm dan sisihan piawai $\sigma$ cm. Didapati $15.87\%$ rod lebih panjang daripada $82$ cm, dan $2.28\%$ lebih panjang daripada $88$ cm.

(a) Cari nilai $\mu$ dan $\sigma$ . (b) Sebatang rod digredkan 'A' jika panjangnya dalam lingkungan $6$ cm daripada min.

Cari perkadaran rod yang digredkan 'A'.

Show worked solution

Faham. Kita tidak tahu $\mu$ atau $\sigma$ , tetapi diberitahu dua kebarangkalian hujung.

Setiap satu, apabila ditukar menjadi skor-z, menjadi persamaan penyeragaman. Dua persamaan dengan dua anu boleh diselesaikan bersama.

Bahagian (b) kemudian menggunakan $\mu$ dan $\sigma$ yang diperoleh.

Rancang. Baca setiap peratusan semula menjadi skor-z menggunakan jadual taburan normal piawai secara songsang.

Tulis $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ bagi setiap satu. Selesaikan pasangan itu untuk $\mu$ dan $\sigma$ .

Untuk (b), tukar 'dalam lingkungan 6 cm daripada min' menjadi selang simetri dan guna simetri.

Laksana dan semak. (a) Hujung $15.87\%=0.1587$ di atas $82$ bermaksud $P(Z>z_{1})=0.1587$ , jadi $z_{1}=1$ .

Hujung $2.28\%=0.0228$ di atas $88$ bermaksud $P(Z>z_{2})=0.0228$ , jadi $z_{2}=2$ . Seragamkan setiap panjang:

\frac{82-\mu}{\sigma}=1 \quad\text{dan}\quad \frac{88-\mu}{\sigma}=2

Buang penyebut untuk mendapat dua persamaan linear:

82-\mu=\sigma \quad(1)\qquad 88-\mu=2\sigma \quad(2)

Tolak (1) daripada (2): $(88-\mu)-(82-\mu)=2\sigma-\sigma$ , memberi $6=\sigma$ . Kemudian daripada (1), $\mu=82-\sigma=82-6=76$ .

\mu=76\ \text{cm},\qquad \sigma=6\ \text{cm}

(b) 'Dalam lingkungan 6 cm daripada min' bermaksud $76-6<X<76+6$ , iaitu $70<X<82$ . Seragamkan hujung dengan $\sigma=6$ :

z=\frac{70-76}{6}=-1 \qquad\text{dan}\qquad z=\frac{82-76}{6}=1

Jadi kita perlukan $P(-1<Z<1)$ . Dengan simetri, ini ialah $1$ tolak dua hujung yang sama:

P(-1<Z<1)=1-2P(Z>1)=1-2(0.1587)=0.6826

Kira-kira $68.26\%$ rod digredkan 'A'.

Semak. Oleh sebab $6$ cm tepat satu sisihan piawai, selang Gred A ialah $\mu\pm\sigma$ , dan sebutan lazim 'kira-kira $68\%$ dalam satu sisihan piawai' sepadan dengan $0.6826$ .

Menggantikan semula, $(82-76)/6=1$ dan $(88-76)/6=2$ menghasilkan semula dua hujung yang diberi, jadi $\mu$ dan $\sigma$ konsisten dengan data.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila soalan normal menyembunyikan min atau sisihan piawai, langkah pertama yang boleh dipercayai ialah menukar setiap kebarangkalian menjadi skor-z sebelum anda menulis apa-apa lagi. Baca jadual taburan normal piawai secara songsang: luas hujung $0.1587$ sepadan dengan $z=1$ , dan $0.0228$ dengan $z=2$ .

Setiap skor-z kemudian memberi anda satu persamaan penyeragaman, $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ , yang menghubungkan panjang yang diketahui dengan parameter yang tidak diketahui. Dengan dua syarat anda mempunyai dua persamaan, dan membuang penyebut menjadikannya linear serta mudah diselesaikan serentak.

Menepati skor-z lebih bernilai daripada algebra kemudian, kerana tanda yang salah atau hujung yang tersalah baca meracuni kedua-dua persamaan. Hanya selepas parameter ditemui barulah anda beralih ke bahagian seterusnya, dan di situ, sentiasa semak sama ada satu julat simetri terhadap min, kerana simetri membolehkan anda mengguna semula satu nilai jadual.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan penaakulan taburan normal, pemeriksa mencari:

Setiap peratusan ditukar kepada skor-z melalui pembacaan jadual songsang: $0.1587\to z=1$ , $0.0228\to z=2$ .
Satu persamaan penyeragaman ditulis bagi setiap syarat: $\frac{82-\mu}{\sigma}=1$ dan $\frac{88-\mu}{\sigma}=2$ .
Penyebut dibuang untuk memberi pasangan linear $82-\mu=\sigma$ dan $88-\mu=2\sigma$ .
Penyelesaian serentak $\sigma=6$ , $\mu=76$ , dengan kerja ditunjukkan.
Kesedaran bahawa 'dalam lingkungan 6 cm' ialah selang simetri $70<X<82$ , iaitu $\mu\pm\sigma$ .
Penggunaan simetri, $P(-1<Z<1)=1-2P(Z>1)=0.6826$ , dengan perkadaran akhir yang jelas.

Bagaimana seorang guru membantu

Taburan normal bertambah baik paling cepat apabila pelajar berhenti menganggap jadual itu satu arah sahaja. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami melatih tubi pembacaan songsang, kebarangkalian kepada skor-z, sehingga ia automatik, kemudian menunjukkan bagaimana setiap syarat menjadi persamaan yang boleh anda selesaikan untuk parameter yang tersembunyi.

Kami meluangkan masa untuk melakar lengkung dan melorek rantau dahulu, kerana rajah pantas menetapkan tanda $z$ dan mendedahkan bila simetri membolehkan anda mengguna semula satu nilai jadual. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya mendapat skor-z daripada peratusan?

Baca jadual taburan normal piawai secara songsang. Jika soalan mengatakan $15.87\%$ berada di atas satu nilai, maka $P(Z>z)=0.1587$ , dan jadual memberi $z=1$ .

Begitu juga $P(Z>z)=0.0228$ memberi $z=2$ . Melakar lengkung dahulu memberitahu anda sama ada skor-z itu positif atau negatif.

Mengapa dua syarat membolehkan saya mencari

\mu

dan

\sigma

Setiap pernyataan kebarangkalian menjadi satu persamaan penyeragaman, $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ , dengan dua anu yang sama $\mu$ dan $\sigma$ . Dua persamaan tak bersandar dengan dua anu boleh diselesaikan bersama, di sini membuang penyebut memberi $82-\mu=\sigma$ dan $88-\mu=2\sigma$ , jadi $\sigma=6$ dan $\mu=76$ .

Mengapa 'dalam lingkungan 6 cm daripada min' cepat dinilai?

Kerana $6$ cm tepat satu sisihan piawai, jadi selang itu $\mu\pm\sigma$ , yang diseragamkan menjadi $-1<Z<1$ . Dengan simetri $P(-1<Z<1)=1-2P(Z>1)=1-2(0.1587)=0.6826$ , iaitu 'kira-kira 68% dalam satu sisihan piawai' yang biasa.

Bolehkah saya dapat markah jika perkadaran akhir saya salah?

Boleh. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris.

Skor-z yang betul, persamaan penyeragaman yang sah dan penyelesaian serentak yang kukuh boleh memperoleh markah baik walaupun kesilapan aritmetik mengubah angka akhir.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026