KBAT：轨迹与区域的推理

Q: 为什么要把条件平方，而不是直接处理平方根？

距离含有平方根，而根号展开起来很麻烦。把 PA=2 POPA=2\,POPA=2PO 平方为 PA2=4 PO2PA^2=4\,PO^2PA2=4PO2 能一步去掉它们，留下可以展开化简的多项式。这里平方是安全的，因为两边都是距离，都是非负的，不会引入增根。

Q: 怎么判断轨迹是圆而不是直线？

展开后看 x2x^2x2 与 y2y^2y2 项。若两者都保留且系数相等、非零，轨迹就是圆；配方求出圆心与半径。若平方项相消，只剩 xxx、yyy 和常数，轨迹就是直线，这正是「等距」条件 PA=PBPA=PBPA=PB 得到的结果。

Q: 点「在圆内」对原来的距离意味着什么？

代入内部一点得到 (x+2)2+y2<16(x+2)^2+y^2<16(x+2)2+y2<16，即 x2+y2+4x−12<0x^2+y^2+4x-12<0x2+y2+4x−12<0。因为 PA2−4 PO2=−3(x2+y2+4x−12)PA^2-4\,PO^2=-3\left(x^2+y^2+4x-12\right)PA2−4PO2=−3(x2+y2+4x−12)，内部点使它为正，所以 PA>2 POPA>2\,POPA>2PO。Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，采用分步给分，写出这个不等式解读，而不只是「在内部」，才能拿稳推理分。

为什么这是 KBAT 题

常规轨迹题会说「一个点移动使它到 A 的距离等于到 B 的距离，求轨迹」，你写出垂直平分线。KBAT 版本把规则裹进一个情境里，无人机、信号、移动的船，用一个不那么熟悉的条件如「远两倍」，再要你对轨迹所围的区域作推理，而不只是它的方程。

这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：建立距离方程、配方，都是熟悉的中四技能，但把「到 A 的距离是到 O 的两倍」化成 $PA^2=4\,PO^2$ 、认出结果是一个圆、再判断圆内部的点意味着什么不等式，这些步骤题目都留给了你。对区域的解读，才把它拔高到常规之上。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。

Q1[8 marks]

在一个以千米为距离单位的坐标平面上，一座控制塔位于 $O(0,0)$ ，一个信标位于 $A(6,0)$ 。一架无人机 $P(x,y)$ 必须飞行，使它到 $A$ 的距离始终是它到 $O$ 的距离的两倍。

(a) 证明 $P$ 的轨迹方程为 $x^2+y^2+4x-12=0$ 。(b) 证明该轨迹是一个圆，并写出它的圆心与半径。

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理解。 点 $P$ 遵守一条距离规则：它到 $A$ 的距离是到 $O$ 的两倍，即 $PA = 2\,PO$ 。

我们要把它化成方程、认出曲线，再把一个定点相对它分类。

计划。 距离含有平方根，所以把条件平方为 $PA^2 = 4\,PO^2$ ，并用 $PA^2=(x-6)^2+y^2$ 与 $PO^2=x^2+y^2$ 。

化简到给定形式，配方读出圆心与半径，再代入 $C$ 检验内部还是外部。

执行。 (a) 写出每个距离的平方并建立 $PA^2=4\,PO^2$ ：

(x-6)^2+y^2 = 4\left(x^2+y^2\right)

x^2-12x+36+y^2 = 4x^2+4y^2

0 = 3x^2+3y^2+12x-36

每一项都除以 3：

x^2+y^2+4x-12=0

(b) 对 $x$ 配方：

(x+2)^2-4+y^2-12=0 \;\Rightarrow\; (x+2)^2+y^2=16

这是一个圆的方程，圆心 $(-2,0)$ ，半径 $\sqrt{16}=4$ 千米。

(1+2)^2+2^2 = 9+4 = 13

由于 $13<16$ ，点 $C$ 位于圆的内部。要解读它，注意内部的点满足 $x^2+y^2+4x-12<0$ ，而把原来的运算重排得到 $PA^2-4\,PO^2 = -3\left(x^2+y^2+4x-12\right)$ 。

在圆内这一式为正，所以 $PA^2>4\,PO^2$ ，即 $PA>2\,PO$ 。因此圆内的点是这样的点：它到信标 $A$ 的距离超过它到控制塔 $O$ 距离的两倍，一个相对靠近 $O$ 的点。

无人机的精确航线就是这条边界； $C$ 严格落在它内部。

检验。 在 $C(1,2)$ 直接算距离： $PA=\sqrt{(1-6)^2+2^2}=\sqrt{29}\approx5.39$ ， $PO=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\approx2.24$ ，所以 $2\,PO\approx4.47$ 。

的确 $5.39>4.47$ ，验证了 $PA>2\,PO$ 以及 $C$ 在内部。

如何找到合理的第一步

当动点带着一条距离规则时，可靠的第一步是把该规则写成两个距离平方之间的方程，因为平方能一下子清掉平方根。把'到 $A$ 的距离是到 $O$ 的两倍'读作 $PA = 2\,PO$ ，再把两边平方为 $PA^2 = 4\,PO^2$ ，先平方再展开能让代数保持整洁。

现在代入坐标形式 $PA^2=(x-6)^2+y^2$ 与 $PO^2=x^2+y^2$ 并展开。如果 $x^2$ 与 $y^2$ 项都保留下来且系数相等，你就得到一个圆，于是配方求出它的圆心与半径。

决定先平方，而不是纠缠于根号，正是把冗长的文字条件化成一条你认得的曲线的关键一步。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于轨迹与区域题，阅卷老师会找：

把文字条件写成距离方程， $PA=2\,PO$ ，再平方为 $PA^2=4\,PO^2$ 。
正确代入并展开距离平方形式 $(x-6)^2+y^2$ 与 $x^2+y^2$ 。
正确化简到 $x^2+y^2+4x-12=0$ ，包括除以公因子 3。
配方到 $(x+2)^2+y^2=16$ ，并写出圆心 $(-2,0)$ 与半径 4。
正确的内/外检验，代入 $C$ 并与半径的平方比较。
把区域解读成不等式 $PA>2\,PO$ ，而不只是数值结论。

老师如何帮助你

轨迹题奖励那些干净地翻译距离规则、再解读区域的学生，而这两种习惯在有反馈时长得最快。在一对一课堂上，我们的老师会请你把条件写成 $PA=2\,PO$ 并在动坐标之前先平方，仔细配方，并出声说出「在圆内」作为不等式意味着什么。

我们会在最后的解读处多停留，内部意味着 $PA>2\,PO$ ，因为这句推理能拿到最后几分。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

为什么要把条件平方，而不是直接处理平方根？

距离含有平方根，而根号展开起来很麻烦。把 $PA=2\,PO$ 平方为 $PA^2=4\,PO^2$ 能一步去掉它们，留下可以展开化简的多项式。

这里平方是安全的，因为两边都是距离，都是非负的，不会引入增根。

怎么判断轨迹是圆而不是直线？

展开后看 $x^2$ 与 $y^2$ 项。若两者都保留且系数相等、非零，轨迹就是圆；配方求出圆心与半径。

若平方项相消，只剩 $x$ 、 $y$ 和常数，轨迹就是直线，这正是「等距」条件 $PA=PB$ 得到的结果。

点「在圆内」对原来的距离意味着什么？

代入内部一点得到 $(x+2)^2+y^2<16$ ，即 $x^2+y^2+4x-12<0$ 。因为 $PA^2-4\,PO^2=-3\left(x^2+y^2+4x-12\right)$ ，内部点使它为正，所以 $PA>2\,PO$ 。

Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，采用分步给分，写出这个不等式解读，而不只是「在内部」，才能拿稳推理分。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026