KBAT: Penaakulan Lokus dan Rantau

Q: Bagaimana saya tahu lokus itu bulatan dan bukan garis?

Selepas mengembang, lihat sebutan x2x^2x2 dan y2y^2y2. Jika kedua-duanya kekal dengan pekali sama yang bukan sifar, lokus itu bulatan; sempurnakan kuasa dua untuk mencari pusat dan jejari. Jika sebutan kuasa dua terhapus, meninggalkan hanya xxx, yyy dan pemalar, lokus itu garis lurus, itulah yang dihasilkan oleh syarat 'sama jarak' PA=PBPA=PBPA=PB.

Q: Apakah maksud titik 'dalam' bulatan bagi jarak asal?

Menggantikan titik dalam memberi (x+2)2+y2<16(x+2)^2+y^2<16(x+2)2+y2<16, iaitu x2+y2+4x−12<0x^2+y^2+4x-12<0x2+y2+4x−12<0. Kerana PA2−4 PO2=−3(x2+y2+4x−12)PA^2-4\,PO^2=-3\left(x^2+y^2+4x-12\right)PA2−4PO2=−3(x2+y2+4x−12), titik dalam menjadikan ini positif, jadi PA>2 POPA>2\,POPA>2PO. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah dengan pemarkahan analitik, dan menyatakan tafsiran ketaksamaan ini, bukan hanya 'dalam', yang menjamin markah penaakulan.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan lokus rutin berkata 'satu titik bergerak supaya jaraknya dari A sama dengan jaraknya dari B, cari lokus', dan anda menulis pembahagi dua sama serenjang. Versi KBAT membalut peraturan itu dalam situasi, dron, isyarat, bot bergerak, menggunakan syarat kurang biasa seperti 'dua kali lebih jauh', kemudian meminta anda menaakul tentang rantau yang dikurung lokus, bukan hanya persamaannya.

Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: membentuk persamaan jarak dan menyempurnakan kuasa dua ialah kemahiran Tingkatan 4 yang biasa, tetapi menukar 'jarak dari A dua kali jarak dari O' kepada $PA^2=4\,PO^2$ , mengenali hasilnya sebagai bulatan, dan kemudian menentukan maksud titik dalam bulatan sebagai ketaksamaan ialah langkah yang diserahkan kepada anda. Tafsiran rantau itulah yang mengangkatnya melebihi kerja rutin.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[8 marks]

Pada satah koordinat dengan jarak dalam kilometer, sebuah menara kawalan terletak di $O(0,0)$ dan sebuah suar di $A(6,0)$ . Sebuah dron $P(x,y)$ mesti terbang supaya jaraknya dari $A$ sentiasa dua kali jaraknya dari $O$ .

(a) Tunjukkan bahawa persamaan lokus $P$ ialah $x^2+y^2+4x-12=0$ . (b) Tunjukkan bahawa lokus ini ialah bulatan, dan nyatakan pusat serta jejarinya.

(c) Satu penanda larangan terbang diletakkan di $C(1,2)$ . Dengan membandingkan $C$ dengan bulatan, tentukan sama ada $C$ terletak di dalam laluan bulatan dron itu, dan tafsirkan maksud 'dalam' dari segi kedua-dua jarak.

Show worked solution

Faham. Titik $P$ mematuhi peraturan jarak: jaraknya dari $A$ dua kali jaraknya dari $O$ , iaitu $PA = 2\,PO$ .

Kita mesti menukar ini kepada persamaan, mengenal pasti lengkung, kemudian mengklasifikasikan satu titik tetap terhadapnya.

Rancang. Jarak mengandungi punca kuasa dua, jadi kuasa duakan syarat kepada $PA^2 = 4\,PO^2$ dan guna $PA^2=(x-6)^2+y^2$ serta $PO^2=x^2+y^2$ .

Permudahkan kepada bentuk yang diberi, sempurnakan kuasa dua untuk membaca pusat dan jejari, kemudian gantikan $C$ untuk menguji dalam lawan luar.

Laksana. (a) Tulis setiap jarak kuasa dua dan bina $PA^2=4\,PO^2$ :

(x-6)^2+y^2 = 4\left(x^2+y^2\right)

x^2-12x+36+y^2 = 4x^2+4y^2

0 = 3x^2+3y^2+12x-36

Bahagikan setiap sebutan dengan 3:

x^2+y^2+4x-12=0

(b) Sempurnakan kuasa dua dalam $x$ :

(x+2)^2-4+y^2-12=0 \;\Rightarrow\; (x+2)^2+y^2=16

Ini persamaan bulatan dengan pusat $(-2,0)$ dan jejari $\sqrt{16}=4$ km.

(1+2)^2+2^2 = 9+4 = 13

Oleh sebab $13<16$ , titik $C$ terletak di dalam bulatan. Untuk mentafsirnya, perhatikan bahawa titik dalam memenuhi $x^2+y^2+4x-12<0$ , dan menyusun semula kerja asal memberi $PA^2-4\,PO^2 = -3\left(x^2+y^2+4x-12\right)$ .

Di dalam bulatan ini positif, jadi $PA^2>4\,PO^2$ , iaitu $PA>2\,PO$ . Titik di dalam bulatan ialah titik yang jaraknya dari suar $A$ lebih daripada dua kali jaraknya dari menara $O$ , titik yang agak hampir dengan $O$ .

Laluan tepat dron ialah sempadan; $C$ berada betul-betul di dalamnya.

Semak. Kira jarak secara terus di $C(1,2)$ : $PA=\sqrt{(1-6)^2+2^2}=\sqrt{29}\approx5.39$ dan $PO=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\approx2.24$ , jadi $2\,PO\approx4.47$ .

Memang $5.39>4.47$ , mengesahkan $PA>2\,PO$ dan bahawa $C$ terletak di dalam.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila titik bergerak membawa peraturan jarak, langkah pertama yang boleh dipercayai ialah menulis peraturan itu sebagai persamaan antara jarak kuasa dua, kerana mengkuasaduakan menghapuskan punca kuasa dua serta-merta. Baca 'jarak dari $A$ dua kali jarak dari $O$ ' sebagai $PA = 2\,PO$ , kemudian kuasa duakan kedua-dua belah kepada $PA^2 = 4\,PO^2$ , mengkuasaduakan sebelum mengembang mengekalkan algebra kemas.

Sekarang gantikan bentuk koordinat $PA^2=(x-6)^2+y^2$ dan $PO^2=x^2+y^2$ lalu kembangkan. Jika sebutan $x^2$ dan $y^2$ kekal dengan pekali sama, anda ada bulatan, jadi sempurnakan kuasa dua untuk mencari pusat dan jejarinya.

Memutuskan untuk mengkuasaduakan dahulu, bukannya bergelut dengan punca, ialah langkah yang menukar syarat berperkataan kepada lengkung yang anda kenali.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan lokus dan rantau, pemeriksa mencari:

Syarat lisan ditulis sebagai persamaan jarak, $PA=2\,PO$ , kemudian dikuasaduakan kepada $PA^2=4\,PO^2$ .
Bentuk jarak kuasa dua yang betul $(x-6)^2+y^2$ dan $x^2+y^2$ digantikan dan dikembangkan.
Pemudahan betul kepada $x^2+y^2+4x-12=0$ , termasuk membahagi dengan faktor sepunya 3.
Menyempurnakan kuasa dua kepada $(x+2)^2+y^2=16$ , dengan pusat $(-2,0)$ dan jejari 4 dinyatakan.
Ujian dalam/luar yang betul, menggantikan $C$ dan membandingkan dengan jejari kuasa dua.
Tafsiran rantau sebagai ketaksamaan $PA>2\,PO$ , bukan hanya keputusan berangka.

Bagaimana seorang guru membantu

Soalan lokus memberi ganjaran kepada pelajar yang menterjemah peraturan jarak dengan kemas kemudian mentafsir rantau, dan kedua-dua tabiat tumbuh dengan maklum balas. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami meminta anda menulis syarat sebagai $PA=2\,PO$ dan mengkuasaduakannya sebelum menyentuh koordinat, menyempurnakan kuasa dua dengan teliti, dan menyebut dengan lantang maksud 'dalam bulatan' sebagai ketaksamaan.

Kami berlama-lama pada tafsiran akhir itu, bahawa dalam bermaksud $PA>2\,PO$ , kerana ayat penaakulan itu memperoleh markah terakhir. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa saya mengkuasaduakan syarat dan bukan bekerja dengan punca kuasa dua?

Jarak melibatkan punca kuasa dua, dan punca janggal untuk dikembangkan. Mengkuasaduakan $PA=2\,PO$ kepada $PA^2=4\,PO^2$ menghapuskannya dalam satu langkah, meninggalkan polinomial yang boleh dikembang dan dipermudah.

Mengkuasaduakan selamat di sini kerana kedua-dua belah ialah jarak, jadi kedua-duanya tak negatif, tiada penyelesaian palsu diperkenalkan.

Bagaimana saya tahu lokus itu bulatan dan bukan garis?

Selepas mengembang, lihat sebutan $x^2$ dan $y^2$ . Jika kedua-duanya kekal dengan pekali sama yang bukan sifar, lokus itu bulatan; sempurnakan kuasa dua untuk mencari pusat dan jejari.

Jika sebutan kuasa dua terhapus, meninggalkan hanya $x$ , $y$ dan pemalar, lokus itu garis lurus, itulah yang dihasilkan oleh syarat 'sama jarak' $PA=PB$ .

Apakah maksud titik 'dalam' bulatan bagi jarak asal?

Menggantikan titik dalam memberi $(x+2)^2+y^2<16$ , iaitu $x^2+y^2+4x-12<0$ . Kerana $PA^2-4\,PO^2=-3\left(x^2+y^2+4x-12\right)$ , titik dalam menjadikan ini positif, jadi $PA>2\,PO$ .

Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah dengan pemarkahan analitik, dan menyatakan tafsiran ketaksamaan ini, bukan hanya 'dalam', yang menjamin markah penaakulan.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026