KBAT：线性规划建模

Q: 怎么把'A 至少和 B 一样多'转成不等式？

把它读成一个比较：AAA 的数量大于或等于 BBB 的数量，所以 A≥BA\ge BA≥B。一个好用的检验是举例，如果你可以有 666 个 AAA 和 666 个 BBB，却不能有 333 个 AAA 和 666 个 BBB，那么边界是 A=BA=BA=B，且 AAA 在较大的一侧，这就确认了 A≥BA\ge BA≥B。

Q: 我一定要检验顶点吗？

对于多边形上的线性目标，最大值和最小值总在某个顶点处取得（也可能沿着一整条边）。逐个检验顶点是可靠的方法。或者你可以把目标线滑过可行域，直到它最后触到某个顶点，两种都被接受，用你更有把握的那种。

Q: 为什么要先带单位定义变量？

因为每个不等式和目标函数都要回指它们。写'设 xxx 为每周贺卡的张数'就固定了 xxx 的含义，避免你把两种产品弄混，并赢得第一个步骤分。变量不定义，即使代数正确也会丢分。

Q: 这类题在 Add Math 试卷二里怎么评分？

试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。定义变量、写出每个不等式、给区域画阴影、求出顶点、结合情境写出最优解，各自都能得分，所以每一步都要写出来，而不是只给最后的数字。

为什么这是 KBAT 题

常规的线性规划题已经把不等式和要画阴影的区域给了你。建模 KBAT 题只给你故事，「最多十二张卡」「一种至少和另一种一样多」「一个要最大化的利润」，要你自己把整个模型搭起来。

这就是高层次思维，Kemahiran Berfikir Aras Tinggi：画图和顶点检验你都熟悉，但你必须自己判定变量是什么，把每一句话翻译成方向正确、带对 $\ge$ 或 $\le$ 的不等式，并写出目标函数。没有人标出哪条线是哪条。

在 Add Math 里，这奖励的是能把文字转成正确方程组、再从可行域读出真实答案的学生，而不只是会给别人递来的图画阴影的学生。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做，再看解答。

Q1[10 marks]

某学校手工社每周制作两种卡： $x$ 张贺卡和 $y$ 张礼品卡。社团在三个条件下运作：每周最多制作 $12$ 张卡；制作的贺卡至少和礼品卡一样多；且至少制作 $3$ 张礼品卡。

每张贺卡获利 RM2，每张礼品卡获利 RM5。(a) 写出除 $x\ge 0$ 和 $y\ge 0$ 之外、能刻画这些条件的三个不等式。

(b) 求社团应各制作多少张卡以使每周利润最大，并写出该利润。

Show worked solution

理解。 我们要决定两个数，贺卡 $x$ 和礼品卡 $y$ ，在三个限制之下，使利润 $P=2x+5y$ 尽可能大。

这是线性规划问题，所以最大利润在满足每个不等式的可行域的顶点处取得。

计划。 把每一句话翻译成一个不等式，列出两条边界线相交的顶点，在每个顶点处检验 $P=2x+5y$ 。

最大值就是答案。

执行并检验。 (a) '最多 $12$ 张卡「给出对总数的限制；」贺卡至少和礼品卡一样多「比较两者；」至少 $3$ 张礼品卡'给出 $y$ 的下限：

x+y\le 12, \qquad x\ge y, \qquad y\ge 3

(b) 目标是利润 $P=2x+5y$ 。可行域的顶点是边界线的交点。

成对求解：

x=y \text{ 且 } y=3 \Rightarrow (3,3); \quad y=3 \text{ 且 } x+y=12 \Rightarrow (9,3)

x=y \text{ 且 } x+y=12 \Rightarrow 2x=12 \Rightarrow (6,6)

现在在每个顶点处检验利润：

顶点 $(x,y)$	利润 $P=2x+5y$ （RM）
$(3,3)$	$2(3)+5(3)=21$
$(9,3)$	$2(9)+5(3)=33$
$(6,6)$	$2(6)+5(6)=42$

最大利润为 RM42，在 $(6,6)$ 处。所以社团每周应制作 6 张贺卡和 6 张礼品卡。

检验。 点 $(6,6)$ 满足每个条件： $6+6=12\le 12$ 、 $6\ge 6$ 、 $6\ge 3$ 。

礼品卡比贺卡获利多，所以社团想要尽量多的礼品卡，但规则 $x\ge y$ 使它无法超过相等的数量，而 $x+y\le 12$ 又限制了总数。在总数上限处取相等的数量，正是允许范围内的最佳组合，这与表格一致。

如何找到合理的第一步

当一道建模题看起来像一堵文字墙时，第一步是用一行字定义两个变量，并带上单位，'设 $x$ 为每周贺卡的张数， $y$ 为礼品卡的张数'。其余一切都挂在这两个字母上。

然后一句一句地读题，把每句转成一个不等式，注意方向：「最多」「不超过」给 $\le$ ；「至少」「最少」给 $\ge$ ；' $A$ 至少和 $B$ 一样多'变成 $A\ge B$ 。把讲利润或成本的那句先放一边，那是目标函数，不是约束。

方程组一旦写好，画图和顶点检验都是例行公事，所以把细心放在翻译上。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于线性规划建模题，阅卷老师会找：

清楚定义两个变量并带上单位，'设 $x$ 为贺卡的张数'。
每个条件写成方向正确的不等式，如 $x+y\le 12$ 和 $x\ge y$ 。
目标函数单独写出，例如 $P=2x+5y$ 。
正确画出并给可行域上阴影，边界线有标注。
顶点通过成对求解直线得到，而不是近似读出。
在每个顶点处检验目标（或滑动目标线），然后结合情境写出最优解及其数值。

老师如何帮助你

建模题的分数在翻译这一步上得失，所以这正是我们的老师操练最多的。在一对一课堂上，我们把题目一句一句拆开，一起判定哪句是约束、哪句是目标，并钉住每个 $\ge$ 和 $\le$ 的方向。

我们反复练那句最容易绊倒学生的话，' $A$ 至少和 $B$ 一样多'，直到 $A\ge B$ 成为本能。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

欢迎通过 WhatsApp 联系我们，安排一堂一小时的付费课，收费从每小时 RM50 起，按老师的收费而定。

获取一对一辅导。

预约试课

常见问题

怎么把'A 至少和 B 一样多'转成不等式？

把它读成一个比较： $A$ 的数量大于或等于 $B$ 的数量，所以 $A\ge B$ 。一个好用的检验是举例，如果你可以有 $6$ 个 $A$ 和 $6$ 个 $B$ ，却不能有 $3$ 个 $A$ 和 $6$ 个 $B$ ，那么边界是 $A=B$ ，且 $A$ 在较大的一侧，这就确认了 $A\ge B$ 。

我一定要检验顶点吗？

对于多边形上的线性目标，最大值和最小值总在某个顶点处取得（也可能沿着一整条边）。逐个检验顶点是可靠的方法。

或者你可以把目标线滑过可行域，直到它最后触到某个顶点，两种都被接受，用你更有把握的那种。

为什么要先带单位定义变量？

因为每个不等式和目标函数都要回指它们。写'设 $x$ 为每周贺卡的张数'就固定了 $x$ 的含义，避免你把两种产品弄混，并赢得第一个步骤分。

变量不定义，即使代数正确也会丢分。

这类题在 Add Math 试卷二里怎么评分？

试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。定义变量、写出每个不等式、给区域画阴影、求出顶点、结合情境写出最优解，各自都能得分，所以每一步都要写出来，而不是只给最后的数字。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026