KBAT：线性定律与实验数据

Q: 线性定律题里我怎么决定作什么图？

把关系整理到某一组项呈线性，对上 Y=mX+cY=mX+cY=mX+c。对 y=ax+bxy=ax+\frac{b}{x}y=ax+xb，两边乘 xxx 得 xy=ax2+bxy=ax^2+bxy=ax2+b，所以把 xyxyxy 对 x2x^2x2 作图。选哪种变形（除、乘还是取对数），取决于那个碍事的项在哪里。

Q: 这里的斜率和截距各代表什么？

写出 xy=ax2+bxy=ax^2+bxy=ax2+b 后，xyxyxy 对 x2x^2x2 的图斜率为 aaa、YYY 轴截距为 bbb。所以斜率给一个常数、截距给另一个常数，两者不能互换，混淆它们是常犯的错误。

Q: 为什么斜率不等于某个 y 值？

斜率只等于常数 aaa。像 y(1)=a+by(1)=a+by(1)=a+b 这样的值把两个常数合在一起。本题中斜率是 222，而 y(1)=5y(1)=5y(1)=5，所以两者不可能相等，这提醒我们要按坐标轴真正代表的东西去读图。

Q: 这类题在 Add Math 试卷二里怎么评分？

试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。正确的直线形式、可见的斜率计算和代入求得的截距，即使最终数值略有偏差也能拿到不错的分数。

为什么这是 KBAT 题

常规的线性定律题会明确告诉你作什么图，'把 $xy$ 对 $x^2$ 作图'，你照做就行。KBAT 题则把一个非线性关系和一些实验数据交给你，期望你自己决定直线形式、弄清斜率和截距各代表什么，再从图上把真正的常数读出来。

这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：整理成 $Y=mX+c$ 、求斜率、读截距，这些都熟悉，但你要在陌生的顺序里把它们组装起来，并自己选定计划。在 Add Math 里，这奖励的是真正理解我们为什么要把数据线性化的学生，为了检验一个关系并提取它的常数，而不只是会画最佳拟合直线的人。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。

Q1[8 marks]

在一次实验中，记录了两个变量 $x$ 与 $y$ 的对应值。已知 $x$ 与 $y$ 满足 $y=ax+\dfrac{b}{x}$ ，其中 $a$ 与 $b$ 为常数。

当把 $xy$ 对 $x^2$ 作图时，得到一条通过点 $(2,\,7)$ 与 $(5,\,13)$ 的直线。(a) 求 $a$ 与 $b$ 的值。

(b) 由此求当 $x=2$ 时 $y$ 的值。(c) 一名同学声称：这条直线的斜率等于当 $x=1$ 时 $y$ 的值。

判断该说法是否正确，并给出理由。

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理解。 两个变量以非线性方式相关。

把关系化成直线形式，就能从图上读出常数 $a$ 与 $b$ 。题目告诉我们 $xy$ 对 $x^2$ 的图是一条直线，并给了它上面的两个点；我们要求 $a$ 与 $b$ ，再求 $x=2$ 时的 $y$ ，最后对那个说法作判断。

计划。 把 $y=ax+\frac{b}{x}$ 两边同乘 $x$ ，化成 $Y=mX+c$ 的形式。

把所作图的坐标轴与 $X$ 、 $Y$ 对应起来，于是斜率给出 $a$ ，纵轴截距给出 $b$ 。用给定的两个点求斜率，再代入一个点求截距。

执行并检验。 (a) 两边同乘 $x$ ：

xy = ax^2 + b

与 $Y=mX+c$ 对照，我们把 $Y=xy$ 对 $X=x^2$ 作图；斜率是 $a$ ， $Y$ 轴截距是 $b$ 。用点 $(2,7)$ 与 $(5,13)$ ：

a=\frac{13-7}{5-2}=\frac{6}{3}=2

把 $(2,7)$ 代入 $Y=aX+b$ 求 $b$ ： $7=2(2)+b$ ，所以 $b=3$ 。于是 $a=2$ ， $b=3$ ，关系为 $y=2x+\frac{3}{x}$ 。

(b) 当 $x=2$ 时：

y=2(2)+\frac{3}{2}=4+1.5=5.5

因为 $2\neq 5$ ，该说法不正确。斜率只等于常数 $a$ ，即 $x$ 的系数；而 $y(1)=a+b$ 还包含了截距 $b$ 。

把斜率和某个 $y$ 值混为一谈，是读线性定律图时常见的错误。

检验。 用关系检验第二个点：当 $x^2=5$ 时， $xy=ax^2+b=2(5)+3=13$ ，与给定点 $(5,13)$ 相符。

截距也一致：当 $X=x^2=0$ 时， $Y=b=3$ 。

如何找到合理的第一步

当线性定律题不告诉你作什么图时，第一步永远是把关系逼成 $Y=mX+c$ 的样子。看着方程问一句：什么样的代数变形能让一边对某一组项呈线性？

除以 $x$ 、乘以 $x$ 、取对数，都是常见做法。这里两边同乘 $x$ ，就把 $y=ax+\frac{b}{x}$ 变成 $xy=ax^2+b$ ；只要把 $xy$ 和 $x^2$ 看成单个量，它就是线性的。

形式定下来后，清清楚楚地标注： $Y=xy$ 、 $X=x^2$ 、斜率 $=a$ 、截距 $=b$ 。在动数字之前把这层对应写下来，能让斜率和截距各自扣在正确的常数上，也保住了后面的每一分。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于线性定律题，阅卷老师会找：

正确地化成直线形式，并明确写出，例如 $xy=ax^2+b$ 。
清楚说明每条坐标轴上作的是什么： $Y=xy$ 对 $X=x^2$ 。
斜率由两点算出，写出计算 $\frac{13-7}{5-2}$ ，而不是只写答案 $2$ 。
斜率和截距扣在正确的常数上，斜率 $=a$ ，截距 $=b$ 。
截距用代入一个点求得，而不是从坐标轴上猜。
最终常数用回情境，任何解读用文字写出，而不是留成孤零零的数字。

老师如何帮助你

线性定律进步最快，靠的是把对应那一步大声练出来，'那么 $Y$ 是 $xy$ ， $X$ 是 $x^2$ ，斜率是 $a$ '，直到它变成自动反应。在一对一课堂上，我们的老师会正好在这里、在算术之前停下，因为分数就是在这里得失的。

我们也会练习诚实地读图：斜率代表什么、截距代表什么、以及它们为什么是不同的常数。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

线性定律题里我怎么决定作什么图？

把关系整理到某一组项呈线性，对上 $Y=mX+c$ 。对 $y=ax+\frac{b}{x}$ ，两边乘 $x$ 得 $xy=ax^2+b$ ，所以把 $xy$ 对 $x^2$ 作图。

选哪种变形（除、乘还是取对数），取决于那个碍事的项在哪里。

这里的斜率和截距各代表什么？

写出 $xy=ax^2+b$ 后， $xy$ 对 $x^2$ 的图斜率为 $a$ 、 $Y$ 轴截距为 $b$ 。所以斜率给一个常数、截距给另一个常数，两者不能互换，混淆它们是常犯的错误。

为什么斜率不等于某个

y

值？

斜率只等于常数 $a$ 。像 $y(1)=a+b$ 这样的值把两个常数合在一起。

本题中斜率是 $2$ ，而 $y(1)=5$ ，所以两者不可能相等，这提醒我们要按坐标轴真正代表的东西去读图。

这类题在 Add Math 试卷二里怎么评分？

试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。正确的直线形式、可见的斜率计算和代入求得的截距，即使最终数值略有偏差也能拿到不错的分数。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026