KBAT：为线性定律选择变量

Q: 我怎么知道该取对数还是只需整理？

看未知常数在哪里。如果它们以幂或指数出现，y=axny=ax^ny=axn 或 y=abxy=ab^xy=abx，就取对数把它们降下来。如果它们是普通系数，如 y=ax+bxy=ax+\tfrac{b}{x}y=ax+xb，普通整理就够了：乘开清掉分数，再与 Y=mX+cY=mX+cY=mX+c 对应。让方法去配合方程，正是这道题的用意。

Q: 为什么以 xy 对 x^2 作图，而不是别的？

因为把 y=ax+bxy=ax+\tfrac{b}{x}y=ax+xb 乘以 xxx 得到 xy=ax2+bxy=ax^2+bxy=ax2+b，当 Y=xyY=xyY=xy、X=x2X=x^2X=x2 时它恰好对应 Y=mX+cY=mX+cY=mX+c。这一对应使斜率等于 aaa、截距等于 bbb。任何别的选择都会留下一个仍然弯曲的项，图象就不是直线了。

Q: 在 x=5 处估计 y 可靠吗？

数据覆盖 x=1x=1x=1 到 x=4x=4x=4，所以 x=5x=5x=5 是超出它们的一小步，属于外推，不如读范围内的值稳妥。若模型在 x=5x=5x=5 附近成立，估计 y≈15.8y\approx15.8y≈15.8 是合理的。Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，采用分步给分，指出这是外推能拿到评论分。

为什么这是 KBAT 题

常规的线性定律题会告诉你画什么：'以 $\lg y$ 对 $x$ 作图'，你照做即可。KBAT 版本给你一个关系如 $y=ax+\tfrac{b}{x}$ ，要你自己决定哪组变量能把它拉直，而这里 $y$ 对 $x$ 不行，简单取对数也不行。

这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：整理成 $Y=mX+c$ 、读斜率，都是熟悉的中四技能，但看出两边乘以 $x$ 会把关系变成 $xy=ax^2+b$ ，所以你必须以 $xy$ 对 $x^2$ 作图，是题目没有替你做的选择。把重塑后的方程与 $Y=mX+c$ 对应，再判断斜率与截距各代表什么，才是真正的考点。

一旦选对了变量，拟合的代数就很容易了。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。

Q1[8 marks]

两个正的量 $x$ 与 $y$ 被认为满足 $y=ax+\dfrac{b}{x}$ ，其中 $a$ 与 $b$ 是常数。一次实验记录了值 $(x,y)=(1,7),\,(2,8),\,(4,13)$ 。

(a) 说明为什么直接以 $y$ 对 $x$ 作图得不到直线，并把关系化为线性形式，写出要作图的变量以及斜率和截距各代表什么。(b) 用记录的值求出直线方程，并求 $a$ 与 $b$ 。

Show worked solution

理解。 关系 $y=ax+\tfrac{b}{x}$ 把一个含 $x$ 的项与一个含 $\tfrac{1}{x}$ 的项混在一起，所以 $y$ 不是 $x$ 的线性函数，它的图象是弯的。

我们必须通过选择新变量，把它重塑成直线模板 $Y=mX+c$ 。

计划。 障碍是 $\tfrac{b}{x}$ 项。

把整个方程乘以 $x$ 能清掉分数，并产生可以归类的 $x$ 的幂。然后把结果与 $Y=mX+c$ 比较，列表，求斜率与截距，读出 $a$ 与 $b$ 。

执行。 (a) 把 $y=ax+\tfrac{b}{x}$ 乘以 $x$ ：

xy = ax^2 + b

与 $Y=mX+c$ 比较：令 $Y=xy$ 、 $X=x^2$ 。则斜率 $m=a$ 、纵截距 $c=b$ 。

所以我们以 $xy$ 对 $x^2$ 作图；直线的斜率给出 $a$ ，截距给出 $b$ 。

(b) 由数据建立作图变量的表：

x	y	X = x²	Y = xy
1	7	1	7
2	8	4	16
4	13	16	52

用首尾两点 $(X,Y)=(1,7)$ 与 $(16,52)$ ，斜率为

m = \frac{52-7}{16-1} = \frac{45}{15} = 3

所以 $a=3$ 。用 $(1,7)$ 由 $Y=3X+c$ 求截距： $7=3(1)+c$ ，得 $c=4$ ，所以 $b=4$ 。

直线方程为

xy = 3x^2 + 4, \quad\text{即}\quad y = 3x + \frac{4}{x}

y = 3(5) + \frac{4}{5} = 15 + 0.8 = 15.8

记录的数据从 $x=1$ 到 $x=4$ ，所以 $x=5$ 恰好落在范围之外，一次短程外推。只要关系 $y=ax+\tfrac{b}{x}$ 在 $x=5$ 附近仍然成立，估计 $y\approx15.8$ 就是合理的；越是远离数据，就越不能依赖它。

检验。 检验没用于求斜率的中间点 $(2,8)$ ： $X=4$ ， $Y=xy=16$ ，而 $3(4)+4=16$ 。

它恰好落在直线上，验证了 $a=3$ 与 $b=4$ 。

如何找到合理的第一步

当一个关系拒绝成为线性时，可靠的第一步是看清哪一项在挡着直线，并动手去掉它，而不是去猜对数。在 $y=ax+\tfrac{b}{x}$ 里，挡路的是分数 $\tfrac{b}{x}$ ，所以自然的一步是每一项都乘以 $x$ ，得到 $xy=ax^2+b$ 。

现在把它摆在模板 $Y=mX+c$ 旁边，一部分一部分地对应：常数 $b$ 落在 $c$ 的位置，系数 $a$ 乘着 $x^2$ ，正如 $m$ 乘着 $X$ 。这样一读，就逼出了选择 $Y=xy$ 与 $X=x^2$ 。

靠与 $Y=mX+c$ 对应来选变量，而不是凭习惯，正是被考的技能。只有当未知常数处在幂或指数里时才取对数；这里并没有，所以普通的整理才是对的工具。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于选择变量的线性定律题，阅卷老师会找：

清楚说明 $y$ 对 $x$ 不是线性的，一个含 $x$ 的项加一个含 $\tfrac{1}{x}$ 的项。
正确的整理，乘以 $x$ 得到 $xy=ax^2+b$ 。
正确选择作图变量 $Y=xy$ 与 $X=x^2$ ，并与 $Y=mX+c$ 对应。
由数据算出正确的 $X$ 与 $Y$ 值表。
正确求出斜率与截距，得 $a=3$ 与 $b=4$ 。
在 $x=5$ 处的估计，并评论内插与外推。

老师如何帮助你

选择变量的题目奖励那些有意识地把方程对应到 $Y=mX+c$ 的学生，而这种习惯在有反馈时长得最快。在一对一课堂上，我们的老师会请你先说出哪一项挡着直线，先试整理而不是反射性地去取对数，并在作图之前明确写下对应关系 $Y=xy$ 、 $X=x^2$ 、 $m=a$ 、 $c=b$ 。

我们会一列一列检查你的表，并用两个清楚的点检查你的斜率。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

欢迎通过 WhatsApp 联系我们，安排一堂一小时的付费课，收费从每小时 RM50 起，按老师的收费而定。

获取一对一辅导。

预约试课

常见问题

我怎么知道该取对数还是只需整理？

看未知常数在哪里。如果它们以幂或指数出现， $y=ax^n$ 或 $y=ab^x$ ，就取对数把它们降下来。

如果它们是普通系数，如 $y=ax+\tfrac{b}{x}$ ，普通整理就够了：乘开清掉分数，再与 $Y=mX+c$ 对应。让方法去配合方程，正是这道题的用意。

为什么以

xy

对

x^2

作图，而不是别的？

因为把 $y=ax+\tfrac{b}{x}$ 乘以 $x$ 得到 $xy=ax^2+b$ ，当 $Y=xy$ 、 $X=x^2$ 时它恰好对应 $Y=mX+c$ 。这一对应使斜率等于 $a$ 、截距等于 $b$ 。

任何别的选择都会留下一个仍然弯曲的项，图象就不是直线了。

在

x=5

处估计

y

可靠吗？

数据覆盖 $x=1$ 到 $x=4$ ，所以 $x=5$ 是超出它们的一小步，属于外推，不如读范围内的值稳妥。若模型在 $x=5$ 附近成立，估计 $y\approx15.8$ 是合理的。

Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，采用分步给分，指出这是外推能拿到评论分。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026