KBAT: Pemboleh Ubah Hukum Linear

Q: Mengapa memplot xy melawan x^2 dan bukan sesuatu yang lain?

Kerana mendarab y=ax+bxy=ax+\tfrac{b}{x}y=ax+xb dengan xxx memberi xy=ax2+bxy=ax^2+bxy=ax2+b, yang sepadan dengan Y=mX+cY=mX+cY=mX+c tepat apabila Y=xyY=xyY=xy dan X=x2X=x^2X=x2. Pemadanan itu menjadikan kecerunan sama dengan aaa dan pintasan sama dengan bbb. Sebarang pilihan lain akan meninggalkan sebutan yang masih melengkung, jadi grafnya tidak lurus.

Q: Adakah menganggarkan y pada x=5 boleh dipercayai?

Data meliputi x=1x=1x=1 hingga x=4x=4x=4, jadi x=5x=5x=5 ialah langkah pendek di luarnya, ekstrapolasi, yang kurang selamat daripada membaca nilai dalam julat. Anggaran y≈15.8y\approx15.8y≈15.8 munasabah jika model berlaku berhampiran x=5x=5x=5. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah dengan pemarkahan analitik, dan menyatakan ekstrapolasi itu memperoleh markah komen.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan hukum linear rutin memberitahu anda apa untuk diplot: 'plot $\lg y$ melawan $x$ ', dan anda mematuhinya. Versi KBAT memberi anda hubungan seperti $y=ax+\tfrac{b}{x}$ dan meminta anda menentukan pemboleh ubah mana yang meluruskannya, dan di sini $y$ melawan $x$ mahupun logaritma mudah tidak berkesan.

Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: menyusun semula kepada $Y=mX+c$ dan membaca kecerunan ialah kemahiran Tingkatan 4 yang biasa, tetapi menyedari bahawa mendarab dengan $x$ menukar hubungan kepada $xy=ax^2+b$ , jadi anda mesti memplot $xy$ melawan $x^2$ , ialah pilihan yang tidak dibuat soalan untuk anda. Memadankan persamaan yang dibentuk semula kepada $Y=mX+c$ dan kemudian mengenal pasti maksud kecerunan dan pintasan itulah ujian sebenar.

Algebra pemadanan mudah sebaik pemboleh ubah yang betul dipilih.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[8 marks]

Dua kuantiti positif $x$ dan $y$ dipercayai berkaitan melalui $y=ax+\dfrac{b}{x}$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Satu eksperimen merekod nilai $(x,y)=(1,7),\,(2,8),\,(4,13)$ .

(a) Terangkan mengapa memplot $y$ terus melawan $x$ tidak memberi garis lurus, dan turunkan hubungan itu kepada bentuk linear, dengan menyatakan pemboleh ubah untuk diplot serta maksud kecerunan dan pintasan. (b) Menggunakan nilai yang direkod, dapatkan persamaan garis lurus dan cari $a$ dan $b$ .

Show worked solution

Faham. Hubungan $y=ax+\tfrac{b}{x}$ mencampurkan sebutan dalam $x$ dengan sebutan dalam $\tfrac{1}{x}$ , jadi $y$ bukan fungsi linear bagi $x$ , grafnya melengkung.

Kita mesti membentuk semula kepada templat garis lurus $Y=mX+c$ dengan memilih pemboleh ubah baharu.

Rancang. Halangannya ialah sebutan $\tfrac{b}{x}$ .

Mendarab seluruh persamaan dengan $x$ menghapuskan pecahan dan menghasilkan kuasa $x$ yang boleh dikumpulkan. Kemudian bandingkan hasilnya dengan $Y=mX+c$ , bina jadual, cari kecerunan dan pintasan, lalu baca $a$ dan $b$ .

Laksana. (a) Darab $y=ax+\tfrac{b}{x}$ dengan $x$ :

xy = ax^2 + b

Bandingkan dengan $Y=mX+c$ : biar $Y=xy$ dan $X=x^2$ . Maka kecerunan $m=a$ dan pintasan menegak $c=b$ .

Jadi kita plot $xy$ melawan $x^2$ ; kecerunan garis memberi $a$ dan pintasannya memberi $b$ .

(b) Bina jadual pemboleh ubah plot daripada data:

x	y	X = x²	Y = xy
1	7	1	7
2	8	4	16
4	13	16	52

Menggunakan titik pertama dan terakhir $(X,Y)=(1,7)$ dan $(16,52)$ , kecerunan ialah

m = \frac{52-7}{16-1} = \frac{45}{15} = 3

Jadi $a=3$ . Cari pintasan daripada $Y=3X+c$ menggunakan $(1,7)$ : $7=3(1)+c$ , memberi $c=4$ , jadi $b=4$ .

Persamaan garis lurus ialah

xy = 3x^2 + 4, \quad\text{jadi}\quad y = 3x + \frac{4}{x}

y = 3(5) + \frac{4}{5} = 15 + 0.8 = 15.8

Data yang direkod berjulat dari $x=1$ hingga $x=4$ , jadi $x=5$ terletak sedikit di luar julat, ekstrapolasi pendek. Anggaran $y\approx15.8$ munasabah dengan syarat hubungan $y=ax+\tfrac{b}{x}$ terus berlaku berhampiran $x=5$ ; semakin jauh kita melepasi data, semakin kurang kita boleh bergantung padanya.

Semak. Uji titik tengah $(2,8)$ , yang tidak digunakan untuk kecerunan: $X=4$ , $Y=xy=16$ , dan $3(4)+4=16$ .

Ia terletak tepat pada garis, mengesahkan $a=3$ dan $b=4$ .

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila satu hubungan enggan menjadi linear, langkah pertama yang boleh dipercayai ialah melihat sebutan mana yang menghalang garis lurus dan bertindak untuk membuangnya, bukan meneka logaritma. Dalam $y=ax+\tfrac{b}{x}$ , penghalangnya ialah pecahan $\tfrac{b}{x}$ , jadi langkah semula jadi ialah mendarab setiap sebutan dengan $x$ , memberi $xy=ax^2+b$ .

Sekarang letakkannya di sisi templat $Y=mX+c$ dan padankan bahagian demi bahagian: pemalar $b$ berada di tempat $c$ , pekali $a$ mendarab $x^2$ di tempat $m$ mendarab $X$ . Pembacaan itu memaksa pilihan $Y=xy$ dan $X=x^2$ .

Memilih pemboleh ubah dengan memadankan kepada $Y=mX+c$ , bukan mengikut tabiat, itulah kemahiran yang diuji. Ambil logaritma hanya apabila pemalar tak diketahui berada dalam kuasa atau eksponen; di sini tidak, jadi penyusunan semula biasa ialah alat yang betul.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan memilih pemboleh ubah hukum linear, pemeriksa mencari:

Sebab yang jelas bahawa $y$ melawan $x$ tidak linear, sebutan dalam $x$ tambah sebutan dalam $\tfrac{1}{x}$ .
Penyusunan semula yang betul, mendarab dengan $x$ untuk mendapat $xy=ax^2+b$ .
Pilihan pemboleh ubah plot yang betul, $Y=xy$ dan $X=x^2$ , dipadankan kepada $Y=mX+c$ .
Jadual nilai $X$ dan $Y$ yang betul dikira daripada data.
Kecerunan dan pintasan ditemui dengan betul, memberi $a=3$ dan $b=4$ .
Anggaran pada $x=5$ dengan komen tentang interpolasi berbanding ekstrapolasi.

Bagaimana seorang guru membantu

Soalan memilih pemboleh ubah memberi ganjaran kepada pelajar yang memadankan persamaan kepada $Y=mX+c$ dengan sengaja, dan tabiat itu tumbuh dengan maklum balas. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami meminta anda menamakan sebutan yang menghalang garis lurus, mencuba penyusunan semula dan bukan mencapai logaritma secara refleks, serta menulis pemadanan $Y=xy$ , $X=x^2$ , $m=a$ , $c=b$ secara jelas sebelum memplot.

Kami menyemak jadual anda lajur demi lajur dan kecerunan anda daripada dua titik jelas. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya tahu sama ada untuk mengambil logaritma atau hanya menyusun semula?

Lihat di mana pemalar tak diketahui berada. Jika ia muncul sebagai kuasa atau eksponen, $y=ax^n$ atau $y=ab^x$ , ambil logaritma untuk menurunkannya.

Jika ia pekali biasa, seperti dalam $y=ax+\tfrac{b}{x}$ , penyusunan semula biasa sudah memadai: darab untuk menghapuskan pecahan, kemudian padankan kepada $Y=mX+c$ . Memilih kaedah agar sepadan dengan persamaan itulah maksud soalan ini.

Mengapa memplot

xy

melawan

x^2

dan bukan sesuatu yang lain?

Kerana mendarab $y=ax+\tfrac{b}{x}$ dengan $x$ memberi $xy=ax^2+b$ , yang sepadan dengan $Y=mX+c$ tepat apabila $Y=xy$ dan $X=x^2$ . Pemadanan itu menjadikan kecerunan sama dengan $a$ dan pintasan sama dengan $b$ .

Sebarang pilihan lain akan meninggalkan sebutan yang masih melengkung, jadi grafnya tidak lurus.

Adakah menganggarkan

y

pada

x=5

boleh dipercayai?

Data meliputi $x=1$ hingga $x=4$ , jadi $x=5$ ialah langkah pendek di luarnya, ekstrapolasi, yang kurang selamat daripada membaca nilai dalam julat. Anggaran $y\approx15.8$ munasabah jika model berlaku berhampiran $x=5$ .

Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah dengan pemarkahan analitik, dan menyatakan ekstrapolasi itu memperoleh markah komen.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

KBAT: Memilih Pemboleh Ubah Hukum Linear