KBAT：关于运动的推理

Q: 我怎么知道何时该把行程分段来求总路程？

解 v=0v=0v=0。时间区间内的每个根都是质点静止、可能改变方向的时刻。在那里把行程分开，把每一段都取为正的长度再相加，这个和就是总路程，它可能比位移大。

Q: 这里位移和总路程有什么区别？

位移是位置的净变化，s(3)−s(0)=0s(3)-s(0)=0s(3)−s(0)=0 m；总路程是走过的全部距离，888 m。因为质点出去 444 m 又回来 444 m，两者不同。仔细读题，“走过的路程”指的是那 888 m。

Q: 积分常数是从哪里来的？

把 vvv 积分得到 s=t3−6t2+9t+Cs=t^{3}-6t^{2}+9t+Cs=t3−6t2+9t+C。你需要一个条件来定 CCC。这里质点在 t=0t=0t=0 经过 OOO，所以 t=0t=0t=0 时 s=0s=0s=0，得 C=0C=0C=0。务必写出你所用的条件。

Q: 这类题在 Add Math 试卷二里怎么评分？

试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。sss、vvv、aaa 之间关系正确、又正确地把路程分段，即使某一步算术出错也能拿到不错的分数。

为什么这是 KBAT 题

常规的运动学题也许直接给你速度函数，问某一时刻的加速度，一次求导就完事。直线运动学中的 KBAT 题则要求你对运动本身作推理：质点何时瞬时静止、何时反向，以及大多数学生会漏掉的一步，位移与总路程之间的区别。

这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：把 $v$ 积分得到 $s$ 、解 $v=0$ ，这些都是熟悉的技能，但在这里你必须去解读它们、察觉质点会掉头，并在每个静止点把整段行程分开。在 Add Math 里，这奖励的是能在脑中描绘运动的学生，而不只是套公式的人。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。

Q1[8 marks]

一个质点沿一条直线运动，经过定点 $O$ 。它在经过 $O$ 后 $t$ 秒时的速度 $v$ m s $^{-1}$ 由 $v=3t^{2}-12t+9$ 给出。

(a) 求质点的初速度。(b) 求质点瞬时静止的时刻。

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理解。 质点在 $t=0$ 时从 $O$ 出发，速度为所给的二次函数。

初速度就是 $t=0$ 时的值；质点在 $v=0$ 时静止。总路程不等于位移，若质点在区间内反向，去程和回程必须分开计算。

计划。 (a) 把 $t=0$ 代入 $v$ 。

(b) 用因式分解解 $v=0$ 。(c) 把 $v$ 积分得到位移 $s$ ，用“质点在 $t=0$ 经过 $O$ ”这一条件定出常数，再在 $0\le t\le 3$ 内的每个静止点把行程分段，并把各段的长度相加。

执行并检验。 (a) 当 $t=0$ 时， $v=3(0)^{2}-12(0)+9=9$ 。

初速度为 $9$ m s $^{-1}$ 。

(b) 令 $v=0$ 并因式分解：

3t^{2}-12t+9=0\;\Rightarrow\;t^{2}-4t+3=0\;\Rightarrow\;(t-1)(t-3)=0

所以 $t=1$ 秒或 $t=3$ 秒。质点在这两个时刻瞬时静止。

s=\int\left(3t^{2}-12t+9\right)dt=t^{3}-6t^{2}+9t+C,\qquad C=0

质点在 $t=1$ 静止，而这落在区间之内，所以它在那里改变方向。求各段端点处的位置：

s(0)=0,\qquad s(1)=1-6+9=4,\qquad s(3)=27-54+27=0

从 $t=0$ 到 $t=1$ 速度为正，质点向前走了 $|s(1)-s(0)|=4$ m。从 $t=1$ 到 $t=3$ 速度为负，它往回走了 $|s(3)-s(1)|=4$ m。

总路程为：

\text{总路程}=|s(1)-s(0)|+|s(3)-s(1)|=4+4=8\text{ m}

检验。 在 $0<t<1$ 上， $v(0.5)=3(0.25)-6+9=3.75>0$ ；在 $1<t<3$ 上， $v(2)=12-24+9=-3<0$ 。

所以恰好在 $t=1$ 反向一次。质点在 $t=3$ 回到 $O$ ，位移为 $0$ m，但总路程为 $8$ m，两者不同，正是因为它掉了头。

如何找到合理的第一步

当运动学题看起来陌生时，别急着在弄清运动状况之前就去算某个数。可靠的第一步是把三个相互关联的量在脑中确定下来，位移 $s$ 、速度 $v$ 、加速度 $a$ ，以及它们如何联系：求导把 $s$ 变到 $v$ 再到 $a$ ，积分则往回走。

接着问那个能打开大多数 KBAT 运动题的问题：质点会停下来吗？解 $v=0$ 。

每一个根都是质点瞬时静止、可能反向的时刻，这些时刻把整段行程分成一段一段，可以逐段测量。若题目出现“路程”二字，这种分段几乎总是题目的用意所在。

在动手积分之前，画一条标出静止时刻的数轴，能让正负号保持清楚。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于关于运动的推理题，阅卷老师会找：

位移、速度、加速度之间的关系正确， $s\to v\to a$ 靠求导， $v\to s$ 靠积分。
解出方程 $v=0$ ，求出质点静止的每一个时刻，过程可见。
积分常数由所述条件定出，这里是 $t=0$ 时 $s=0$ ，而不是留着一个 $C$ 。
认识到质点反向时总路程不是位移，因而在区间内的每个静止点把行程分段。
每一段都取为正的长度，如 $|s(1)-s(0)|$ 与 $|s(3)-s(1)|$ ，再相加。
把最终答案带单位地读回情境，走过 $8$ m，与 $0$ m 的位移相区别。

老师如何帮助你

运动题进步最快，是在学生不再把它当成套公式、而开始在脑中描绘行程之后。在一对一课堂上，我们的老师和你一起画数轴、标出 $v=0$ 的地方，并在动任何积分之前先问质点在每一段往哪个方向走，好让“位移与路程”这个陷阱不再绊倒你。

我们也坚持要写出定住积分常数的那个条件，因为阅卷老师给那一行的分。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

我怎么知道何时该把行程分段来求总路程？

解 $v=0$ 。时间区间内的每个根都是质点静止、可能改变方向的时刻。

在那里把行程分开，把每一段都取为正的长度再相加，这个和就是总路程，它可能比位移大。

这里位移和总路程有什么区别？

位移是位置的净变化， $s(3)-s(0)=0$ m；总路程是走过的全部距离， $8$ m。因为质点出去 $4$ m 又回来 $4$ m，两者不同。

仔细读题，“走过的路程”指的是那 $8$ m。

积分常数是从哪里来的？

把 $v$ 积分得到 $s=t^{3}-6t^{2}+9t+C$ 。你需要一个条件来定 $C$ 。

这里质点在 $t=0$ 经过 $O$ ，所以 $t=0$ 时 $s=0$ ，得 $C=0$ 。务必写出你所用的条件。

这类题在 Add Math 试卷二里怎么评分？

试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。 $s$ 、 $v$ 、 $a$ 之间关系正确、又正确地把路程分段，即使某一步算术出错也能拿到不错的分数。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026