KBAT：用积分求解运动学

Q: 总路程为什么不是终点处 s 的值？

因为 s(t)s(t)s(t) 衡量的是位移，相对 OOO 的位置，当质点向后运动时它会减小。总路程把每一段都当作正的量相加。这里 s(5)=20s(5)=20s(5)=20 m 是位移，但质点先前进 20 m、后退 4 m、再前进 4 m，所以所走路程为 20+4+4=2820+4+4=2820+4+4=28 m。

Q: 什么时候加积分常数，又怎么求它？

每次积分都要加常数。用那一步所给的条件去定它：t=0t=0t=0 时的速度定出 vvv 中的常数，t=0t=0t=0 时的位置定出 sss 中的常数。忘记常数，或用速度条件去定位移的常数，都是常见又代价高的失误。

Q: 我怎么知道速度会变号？

解 v=0v=0v=0。若它在你的时间区间内有实数解，速度就可能在那里变号，所以在两侧各取一个值检验。这里 v=3(t−2)(t−4)v=3(t-2)(t-4)v=3(t−2)(t−4) 在 t=2t=2t=2 与 t=4t=4t=4 为零；在每个区间取一点检查，可见运动是前进、后退、再前进。

Q: 如果我最后算出的路程错了，还能得分吗？

能。Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。正确的积分、妥善定出的常数、以及在静止时刻处站得住的分段，即使一处算术失误改变了最终数字，也能拿到不错的分数。

为什么这是 KBAT 题

常规的积分题会直接告诉你积分什么：'已知 $v=\dots$ ，求 $s$ '。KBAT 运动学题却给你一段物理情境，加速度与初速度，或一个会变号的速度，要你自己决定积分什么、何时加上积分常数，以及题目要的是位移还是所走的总路程。

这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：积分本身是熟悉的中五内容，但选对被积函数、用初始条件定出 $C$ 、找出质点在何处瞬时静止、把运动拆成向前与向后的几段，这些步骤没有人替你列出。在 Add Math 里，这奖励的是懂得加速度积分得速度、速度积分得位移的学生，也奖励明白一旦速度变号、位移与路程就不再相等的学生。

带来难度的是读懂运动，而不是积分。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。

Q1[9 marks]

一个质点沿一条直线运动，经过定点 $O$ 。它在经过 $O$ 后 $t$ 秒时的加速度为 $a=(6t-18)$ m s $^{-2}$ ，经过 $O$ 时的速度为 $24$ m s $^{-1}$ 。

(a) 证明速度为 $v=3t^{2}-18t+24$ ，并求出质点瞬时静止的时刻。(b) 已知 $t=0$ 时质点在 $O$ ，求前 $5$ 秒内所走的总路程，并与 $t=5$ 时相对 $O$ 的位移作比较。

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理解。 题目给的是加速度而非速度，所以第一次积分把 $a$ 变成速度 $v$ ，第二次积分把 $v$ 变成位移 $s$ 。

每次积分都会产生一个常数，须由初始条件定出。「总路程」这个词是一个提醒：速度可能会变号，所以我们需要求出 $v=0$ 的时刻。

计划。 对 $a$ 积分，用 $t=0$ 时 $v=24$ 求 $v$ ；解 $v=0$ 求静止时刻。

对 $v$ 积分，用 $t=0$ 时 $s=0$ 求 $s(t)$ 。在每个静止时刻及 $t=5$ 处求 $s$ ，再把各段位移的绝对值相加。

执行并检验。 (a) 对加速度积分：

v=\int a\,dt=\int (6t-18)\,dt=3t^{2}-18t+C

质点经过 $O$ 时 $t=0$ 、 $v=24$ ，故 $C=24$ ：

v=3t^{2}-18t+24=3(t-2)(t-4)

当 $v=0$ 时质点瞬时静止，即 $t=2$ 秒与 $t=4$ 秒。

(b) 对速度积分求位移，用 $t=0$ 时 $s=0$ ：

s=\int v\,dt=\int (3t^{2}-18t+24)\,dt=t^{3}-9t^{2}+24t

在关键时刻求值，两个静止时刻与终点：

s(0)=0,\quad s(2)=8-36+48=20,\quad s(4)=64-144+96=16,\quad s(5)=125-225+120=20

检查各区间上 $v$ 的符号： $0<t<2$ 时 $v>0$ （如 $v(0)=24$ ）； $2<t<4$ 时 $v<0$ （如 $v(3)=27-54+24=-3$ ）； $4<t<5$ 时 $v>0$ （如 $v(5)=75-90+24=9$ ）。所以质点先向前、再折返、又向前。

总路程是各段位移绝对值之和：

\text{路程}=|s(2)-s(0)|+|s(4)-s(2)|+|s(5)-s(4)|=|20|+|-4|+|4|=28\ \text{m}

$t=5$ 时相对 $O$ 的位移就是 $s(5)=\textbf{20 m}$ ，而所走总路程为 28 m。两者不同，正是因为质点在 $t=2$ 到 $t=4$ 之间折返了 $4$ m。

检验。 另行验证： $\int_{0}^{5} v\,dt=[t^{3}-9t^{2}+24t]_{0}^{5}=20-0=20$ m，与位移吻合，也确认了积分正确。

路程必不小于位移， $28\ge 20$ 如所料，多出的 $8$ m 恰是折返那 $4$ m 的两倍，完全正确。

如何找到合理的第一步

可靠的第一步是先读清题目给了什么，并判断你在往哪个方向积分。这里给的是加速度，所以第一次积分得到速度，第二次积分得到位移，千万别想着直接跳到 $s$ 。

立刻写出被积函数并附上常数 $C$ ；学生常因忘记常数、或用错初始条件去定常数而丢掉容易的分。第二个关键动作是留意「总路程」这个词。

它告诉你速度几乎肯定会变号，所以在为路程积分之前，应先解 $v=0$ ，求出质点停下并折返的时刻。一旦知道质点在哪里折返，其余就是细心的算术：在这些时刻及终点求出位移，再把各段变化的绝对值相加，而不是把变化本身相加。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于用积分求解的运动学题，阅卷老师会找：

第一次积分 $v=\int a\,dt=3t^{2}-18t+C$ ，常数写出、没有漏掉。
常数由 $t=0$ 时 $v=24$ 正确定出，得 $C=24$ 。
解 $v=0$ 求出静止时刻： $t=2$ 与 $t=4$ 。
第二次积分 $s=\int v\,dt=t^{3}-9t^{2}+24t$ ，用 $t=0$ 时 $s=0$ 。
认识到总路程须在 $t=2$ 与 $t=4$ 处分段，而不是取 $s$ 的单一值。
把各段位移绝对值相加得 28 m，并与 20 m 的位移区分开。

老师如何帮助你

运动学进步最快，靠的是学生在动笔之前就能说出：自己是从加速度往上积分，还是往位移方向积分，以及常数为什么重要。在一对一课堂上，我们的老师会请你为每一次积分做标注，用题给条件定出 $C$ 与 $D$ ，并在计算任何路程之前先检验速度是否变号。

我们会实实在在地花时间讲清位移与路程的差别，因为这一个观念决定了大多数运动学 KBAT 的分数。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

总路程为什么不是终点处

s

的值？

因为 $s(t)$ 衡量的是位移，相对 $O$ 的位置，当质点向后运动时它会减小。总路程把每一段都当作正的量相加。

这里 $s(5)=20$ m 是位移，但质点先前进 20 m、后退 4 m、再前进 4 m，所以所走路程为 $20+4+4=28$ m。

什么时候加积分常数，又怎么求它？

每次积分都要加常数。用那一步所给的条件去定它： $t=0$ 时的速度定出 $v$ 中的常数， $t=0$ 时的位置定出 $s$ 中的常数。

忘记常数，或用速度条件去定位移的常数，都是常见又代价高的失误。

我怎么知道速度会变号？

解 $v=0$ 。若它在你的时间区间内有实数解，速度就可能在那里变号，所以在两侧各取一个值检验。

这里 $v=3(t-2)(t-4)$ 在 $t=2$ 与 $t=4$ 为零；在每个区间取一点检查，可见运动是前进、后退、再前进。

如果我最后算出的路程错了，还能得分吗？

能。Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。

正确的积分、妥善定出的常数、以及在静止时刻处站得住的分段，即使一处算术失误改变了最终数字，也能拿到不错的分数。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026