KBAT：金融问题中的数列

Q: 怎么判断一个储蓄故事是等差还是等比？

看一年如何变成下一年。如果加的是固定金额，「每年多 RM2000」，就是等差，公差为 ddd。如果用的是固定百分比，「每年多 5%」，即 ×1.05\times 1.05×1.05，就是等比，公比为 rrr。先判断这一点，就知道该用哪套公式，也能避免混用。

Q: 求总额该用哪个求和公式，选错还能得分吗？

等差总额用 Sn=n2[2a+(n−1)d]S_n=\tfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]Sn=2n[2a+(n−1)d]，等比总额用 Sn=a(rn−1)r−1S_n=\tfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}Sn=r−1a(rn−1)。Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，采用分步给分，步骤分一行一行地给，即使一开始选错了数列，正确的代入和诚实的过程仍能拿到分，不过尽早为类型点名最能保住这些分数。

为什么这是 KBAT 题

常规的数列题会告诉你它是等差还是等比，给出首项以及公差或公比，再要你求某一项或求和。金融 KBAT 题把这一切都藏进钱的故事里，两个储蓄计划、逐年加薪的工资、用逐渐减少的分期还清的贷款，让你自己判断每个方案是哪种数列。

你必须把「每年多 RM2000」翻译成公差，把「每年多 5%」翻译成公比，再比较并给出建议。这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：公式是熟悉的中四内容，但把情境建成模型、在等差与等比之间作选择、并解读哪个方案真的更好，都没有替你写明。

拿分靠的是推理，而不是代入。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。

Q1[8 marks]

一名员工获得两种薪资方案，各为期 10 年。方案 A：年薪第 1 年为 RM30 000，此后每年固定增加 RM2000。

方案 B：年薪第 1 年为 RM30 000，此后每年比前一年增加 5%。(a) 写出每个方案第 $n$ 年年薪的表达式。

(b) 求每个方案 10 年的总收入，方案 B 取到最接近的令吉。(c) 指出哪个方案 10 年总额更多，然后求方案 B 的年薪首次超过方案 A 的年份，并解释为什么百分比增长更高的方案在 10 年内并没有胜出。

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理解。 方案 A 每年加一个固定金额，所以是等差数列。

方案 B 每年乘一个固定因子，所以是等比数列。两者都从 RM30 000 起。

我们要每年的年薪、各自的 10 年总额，以及一个比较。

计划。 方案 A 用等差的通项与求和公式，首项 $a=30000$ 、公差 $d=2000$ 。

方案 B 用等比的通项与求和公式， $a=30000$ 、公比 $r=1.05$ 。然后比较两个总额，并逐年检验年薪。

执行。 (a) 方案 A，第 $n$ 年：

T_n = a+(n-1)d = 30000+(n-1)(2000) = 28000+2000n

方案 B，第 $n$ 年：

T_n = ar^{\,n-1} = 30000(1.05)^{\,n-1}

(b) 方案 A 的 10 年总额：

S_{10} = \frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right] = \frac{10}{2}\left[2(30000)+9(2000)\right] = 5(78000) = 390000

方案 B 的 10 年总额：

S_{10} = \frac{a(r^{n}-1)}{r-1} = \frac{30000(1.05^{10}-1)}{1.05-1} = 600000\,(1.6288946-1)

S_{10} = 600000(0.6288946) = 377336.78

所以方案 A 支付 RM390 000，方案 B 支付约 RM377 337，均为 10 年总额。

第 10 年方案 A 付 $28000+2000(10)=\text{RM}48\,000$ ，方案 B 付 $30000(1.05)^{9}=\text{RM}46\,540$ ，所以 A 仍领先。继续：第 13 年，A 付 RM54 000，B 付 $30000(1.05)^{12}\approx\text{RM}53\,876$ ；第 14 年，A 付 RM56 000，B 付 $30000(1.05)^{13}\approx\text{RM}56\,569$ 。

所以方案 B 的年薪在第 14 年首次超过方案 A，已在 10 年窗口之外。

百分比方案在 10 年内落败，是因为固定 RM2000 的加薪相当于起薪的 6.7%，大于方案 B 的 5%，所以早期 A 上升更快。B 的优势在于复利，它只有在长期才追过 A 稳定的 RM2000，这里要到第 14 年。

在一段固定的短期内，较大的绝对增量胜出。

检验。 第 1 年两者一致： $28000+2000=30000$ ， $30000(1.05)^{0}=30000$ 。

两个 10 年总额相近（相差约 RM13 000），对于起点相同、早期增速相似的方案而言是合理的。

如何找到合理的第一步

当钱被话语包装起来时，可靠的第一步是判断每个方案从一年到下一年的变化，究竟是加一个固定金额，还是乘一个固定百分比。「每年多 RM2000」是固定金额，所以该方案是等差，公差 $d=2000$ 。

「每年多 5%」意味着每年是前一年的 $1.05$ 倍，所以该方案是等比，公比 $r=1.05$ 。为每个方案写下首项 $a$ ，并清楚标出类型。

然后再取公式：当题目要某一年的年薪时用第 $n$ 项公式，要几年的总额时用求和公式。先给数列点名，能避免最常见的错误，把等差公式用在等比方案上，或反过来。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于金融数列题，阅卷老师会找：

每个方案都正确判定为等差或等比，并写出 $a$ 与 $d$ ，或 $a$ 与 $r$ 。
求某一年用正确的第 $n$ 项公式， $T_n=a+(n-1)d$ 或 $T_n=ar^{\,n-1}$ 。
求总额用正确的求和公式， $S_n=\tfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ 或 $S_n=\tfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ 。
准确的代入与计算器运算，尤其是求 $1.05^{10}$ 。
对两个 10 年总额作出清楚的数值比较。
有理据的建议与解读，为什么百分比增长更高在固定时段内未必胜出。

老师如何帮助你

金融数列题奖励那些先仔细建模、再解释所作选择的学生，而这两种习惯在有反馈时长得最快。在一对一课堂上，我们的老师会请你在动公式之前先用文字说出每个方案是加还是乘，把 $a$ 、 $d$ 或 $r$ 写在纸上，并一步一步检查 $r^{n}$ 的计算器运算。

我们会在解读处多停留，为什么加薪百分比更高的方案在十年里仍可能落败，因为这句话能拿到推理分。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

怎么判断一个储蓄故事是等差还是等比？

看一年如何变成下一年。如果加的是固定金额，「每年多 RM2000」，就是等差，公差为 $d$ 。

如果用的是固定百分比，「每年多 5%」，即 $\times 1.05$ ，就是等比，公比为 $r$ 。先判断这一点，就知道该用哪套公式，也能避免混用。

为什么百分比增长更快的方案在十年内没胜出？

因为固定 RM2000 的加薪约为 RM30 000 起薪的 6.7%，大于另一方案的 5%，所以等差方案早期上升更快。等比方案靠复利增长，只有在很久以后才追过稳定的 RM2000；在本题里要到第 14 年。

在一段固定的短时段内，较大的绝对增量能压过较高的百分比。

求总额该用哪个求和公式，选错还能得分吗？

等差总额用 $S_n=\tfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ ，等比总额用 $S_n=\tfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ 。Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，采用分步给分，步骤分一行一行地给，即使一开始选错了数列，正确的代入和诚实的过程仍能拿到分，不过尽早为类型点名最能保住这些分数。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026