KBAT: Janjang dalam Masalah Kewangan

Q: Bagaimana saya tahu sama ada cerita simpanan itu aritmetik atau geometri?

Lihat bagaimana satu tahun menjadi tahun berikutnya. Jika amaun tetap ditambah,'RM2000 lebih setiap tahun', ia aritmetik dengan beza sepunya ddd. Jika peratusan tetap dikenakan,'5% lebih setiap tahun', bermaksud ×1.05\times 1.05×1.05, ia geometri dengan nisbah sepunya rrr. Menentukan ini dahulu memberitahu anda rumus mana untuk digunakan dan menghalang percampuran.

Q: Rumus hasil tambah mana untuk jumlah, dan bolehkah saya masih dapat markah jika salah pilih?

Guna Sn=n2[2a+(n−1)d]S_n=\tfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]Sn=2n[2a+(n−1)d] bagi jumlah aritmetik dan Sn=a(rn−1)r−1S_n=\tfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}Sn=r−1a(rn−1) bagi jumlah geometri. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah dengan pemarkahan analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris, penggantian yang betul dan kerja jujur masih boleh memperoleh markah walaupun anda mula-mula memilih janjang yang salah, namun menamakan jenisnya awal melindunginya paling baik.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan janjang rutin memberitahu ia aritmetik atau geometri, memberi sebutan pertama dengan beza sepunya atau nisbah sepunya, lalu meminta satu sebutan atau hasil tambah. Soalan KBAT kewangan menyembunyikan semua itu di dalam cerita wang, dua pelan simpanan, gaji dengan kenaikan tahunan, pinjaman dilangsaikan dengan ansuran mengecil, dan membiarkan anda menentukan janjang setiap skim.

Anda perlu menterjemah 'RM2000 lebih setiap tahun' kepada beza sepunya dan '5% lebih setiap tahun' kepada nisbah sepunya, kemudian membandingkan dan menasihat. Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: rumusnya kerja Tingkatan 4 yang biasa, tetapi memodelkan situasi, memilih antara aritmetik dan geometri, dan mentafsir skim mana yang sebenarnya lebih baik tidak dieja untuk anda.

Penaakulan, bukan penggantian, itulah yang memperoleh markah.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[8 marks]

Seorang pekerja ditawarkan dua skim gaji, masing-masing untuk 10 tahun. Di bawah Skim A, gaji tahunan bermula pada RM30 000 pada tahun 1 dan naik sebanyak RM2000 tetap setiap tahun.

Di bawah Skim B, gaji tahunan bermula pada RM30 000 pada tahun 1 dan naik sebanyak 5% daripada gaji tahun sebelumnya setiap tahun. (a) Tuliskan ungkapan bagi gaji pada tahun $n$ untuk setiap skim.

(b) Cari jumlah pendapatan sepanjang 10 tahun bagi setiap skim, dengan Skim B kepada ringgit terdekat. (c) Nyatakan skim mana yang membayar lebih sepanjang 10 tahun, kemudian cari tahun pertama gaji tahunan Skim B melebihi Skim A, dan terangkan mengapa skim dengan pertumbuhan peratusan lebih tinggi tidak menang dalam tempoh 10 tahun.

Show worked solution

Faham. Skim A menambah amaun tetap setiap tahun, jadi ia janjang aritmetik.

Skim B mendarab dengan faktor tetap setiap tahun, jadi ia janjang geometri. Kedua-dua bermula pada RM30 000.

Kita perlukan gaji setiap tahun, jumlah 10 tahun setiap satu, dan satu perbandingan.

Rancang. Untuk Skim A guna rumus sebutan dan hasil tambah aritmetik dengan sebutan pertama $a=30000$ dan beza sepunya $d=2000$ .

Untuk Skim B guna rumus sebutan dan hasil tambah geometri dengan $a=30000$ dan nisbah sepunya $r=1.05$ . Kemudian bandingkan kedua-dua jumlah dan uji gaji tahunan tahun demi tahun.

Laksana. (a) Skim A, tahun $n$ :

T_n = a+(n-1)d = 30000+(n-1)(2000) = 28000+2000n

Skim B, tahun $n$ :

T_n = ar^{\,n-1} = 30000(1.05)^{\,n-1}

(b) Jumlah Skim A sepanjang 10 tahun:

S_{10} = \frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right] = \frac{10}{2}\left[2(30000)+9(2000)\right] = 5(78000) = 390000

Jumlah Skim B sepanjang 10 tahun:

S_{10} = \frac{a(r^{n}-1)}{r-1} = \frac{30000(1.05^{10}-1)}{1.05-1} = 600000\,(1.6288946-1)

S_{10} = 600000(0.6288946) = 377336.78

Jadi Skim A membayar RM390 000 dan Skim B membayar lebih kurang RM377 337 sepanjang 10 tahun.

(c) Skim A membayar lebih sepanjang 10 tahun, sebanyak $390000-377337 = \text{RM}12\,663$ . Untuk mencari bila gaji tahunan Skim B mula-mula melepasi Skim A, bandingkan tahun demi tahun.

Pada tahun 10 Skim A membayar $28000+2000(10)=\text{RM}48\,000$ manakala Skim B membayar $30000(1.05)^{9}=\text{RM}46\,540$ , jadi A masih mendahului. Diteruskan: pada tahun 13, A membayar RM54 000 dan B membayar $30000(1.05)^{12}\approx\text{RM}53\,876$ ; pada tahun 14, A membayar RM56 000 dan B membayar $30000(1.05)^{13}\approx\text{RM}56\,569$ .

Jadi gaji tahunan Skim B mula-mula melebihi Skim A pada tahun 14, di luar tempoh 10 tahun.

Skim peratusan kalah sepanjang 10 tahun kerana kenaikan RM2000 tetap ialah 6.7% daripada gaji permulaan, lebih besar daripada 5% Skim B, jadi pada awalnya A mendaki lebih laju. Kelebihan B ialah pengkompaunan, yang hanya memintas RM2000 tetap A dalam jangka panjang, di sini tidak sehingga tahun 14.

Dalam tempoh singkat yang tetap, kenaikan mutlak yang lebih besar menang.

Semak. Tahun 1 sepadan untuk kedua-dua: $28000+2000=30000$ dan $30000(1.05)^{0}=30000$ .

Kedua-dua jumlah 10 tahun hampir (dalam lingkungan RM13 000), yang munasabah bagi skim yang bermula sama dan tumbuh pada kadar awal yang serupa.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila wang dibungkus dengan perkataan, langkah pertama yang boleh dipercayai ialah menentukan, bagi setiap skim, sama ada perubahan dari satu tahun ke tahun berikutnya ialah amaun tetap ditambah atau peratusan tetap didarab. 'RM2000 lebih setiap tahun' ialah amaun tetap, jadi skim itu aritmetik dengan beza sepunya $d=2000$ .

'5% lebih setiap tahun' bermaksud setiap tahun ialah $1.05$ kali tahun sebelumnya, jadi skim itu geometri dengan nisbah sepunya $r=1.05$ . Tulis sebutan pertama $a$ bagi setiap satu dan labelkan jenisnya dengan jelas.

Barulah capai rumus: rumus sebutan ke- $n$ apabila soalan mahukan gaji satu tahun, rumus hasil tambah apabila ia mahukan jumlah beberapa tahun. Menamakan janjang dahulu menghalang kesilapan paling biasa, menggunakan rumus aritmetik pada skim geometri, atau sebaliknya.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan janjang kewangan, pemeriksa mencari:

Setiap skim dikenal pasti dengan betul sebagai aritmetik atau geometri, dengan $a$ dan $d$ atau $a$ dan $r$ dinyatakan.
Rumus sebutan ke- $n$ yang betul bagi satu tahun, $T_n=a+(n-1)d$ atau $T_n=ar^{\,n-1}$ .
Rumus hasil tambah yang betul bagi jumlah, $S_n=\tfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ atau $S_n=\tfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ .
Penggantian dan penggunaan kalkulator yang tepat, terutama menilai $1.05^{10}$ .
Perbandingan berangka yang jelas bagi kedua-dua jumlah 10 tahun.
Cadangan bertaakul dan tafsiran, mengapa pertumbuhan peratusan lebih tinggi tidak semestinya menang dalam tempoh tetap.

Bagaimana seorang guru membantu

Soalan janjang kewangan memberi ganjaran kepada pelajar yang memodel dengan teliti kemudian menerangkan pilihan mereka, dan kedua-dua tabiat tajam dengan maklum balas. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami meminta anda menyebut, dalam perkataan, sama ada setiap skim menambah atau mendarab sebelum menyentuh rumus, menulis $a$ , $d$ atau $r$ di atas kertas, dan menyemak kerja kalkulator bagi $r^{n}$ langkah demi langkah.

Kami meluangkan masa pada tafsiran, mengapa skim dengan kenaikan peratusan lebih tinggi masih boleh kalah dalam sepuluh tahun, kerana ayat itu memperoleh markah penaakulan. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya tahu sama ada cerita simpanan itu aritmetik atau geometri?

Lihat bagaimana satu tahun menjadi tahun berikutnya. Jika amaun tetap ditambah,'RM2000 lebih setiap tahun', ia aritmetik dengan beza sepunya $d$ .

Jika peratusan tetap dikenakan,'5% lebih setiap tahun', bermaksud $\times 1.05$ , ia geometri dengan nisbah sepunya $r$ . Menentukan ini dahulu memberitahu anda rumus mana untuk digunakan dan menghalang percampuran.

Mengapa skim dengan pertumbuhan peratusan lebih laju tidak menang dalam sepuluh tahun?

Kerana kenaikan RM2000 tetap ialah kira-kira 6.7% daripada gaji permulaan RM30 000, lebih besar daripada 5% skim satu lagi, jadi pelan aritmetik mendaki lebih laju pada mulanya. Pelan geometri tumbuh melalui pengkompaunan, yang hanya memintas RM2000 tetap jauh kemudian; dalam soalan ini tidak sehingga tahun 14.

Dalam tempoh singkat yang tetap, kenaikan mutlak lebih besar boleh mengatasi peratusan lebih tinggi.

Rumus hasil tambah mana untuk jumlah, dan bolehkah saya masih dapat markah jika salah pilih?

Guna $S_n=\tfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ bagi jumlah aritmetik dan $S_n=\tfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ bagi jumlah geometri. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah dengan pemarkahan analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris, penggantian yang betul dan kerja jujur masih boleh memperoleh markah walaupun anda mula-mula memilih janjang yang salah, namun menamakan jenisnya awal melindunginya paling baik.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026