KBAT · 排列与组合
KBAT：带限制的计数
计数 KBAT 题很少只让你算一个普通阶乘。它会加上一个条件，必须待在一起的对象，或不可以相邻而坐的对象，并要你选一种从第一步就把限制建进去的方法。
计数法则是中五内容；高层次的部分在于选用捆绑法还是插空法，并说明理由。
为什么这是 KBAT 题
常规的计数题会问' 个不同对象有多少种排列？'，答案是 。
KBAT 题会加上一个条件，某些对象必须待在一起，或某组里两两都不可相邻，并要你从第一行起就把这个条件折进计数里，而不是把所有排列列出来再划掉不合格的。这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：乘法原理、
与 都是熟悉的中五工具，但决定把几个对象捆成一个整体，或先安排一组、再把另一组塞进空位，这是一种没有人替你做的建模选择。在 Add Math 里，这奖励的是能把「必须相邻」翻译成一个捆绑整体、把「两两不相邻」翻译成空位的学生，也奖励懂得好方法会让限制消失、而不是与它对抗的学生。
带来难度的是方法的选择，而不是算术。
一道例题，试卷二风格
这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。
一位摄影师把 名成人和 名儿童，七个不同的人，排成一排拍照。求可能的排列数：(a) 没有限制；(b) 三名成人必须站在一起；(c) 任何两名成人都不可相邻。
Show worked solution
理解。 七个人都不同，所以顺序有影响，每个位置各不相同。
(a) 是普通排列；(b) 迫使三人成为邻座；(c) 禁止任意两名成人成为邻座。我们选一种从一开始就把每个条件建进去的方法。
计划。 (a) 用 。
(b) 把三名成人看作一个整体，于是有 个单位要排，再乘以整体内部的顺序。(c) 先安排儿童，再把成人放进他们之间与两端的空位，使任何两名成人都不共用一个空位。
执行并检验。 (a) 七个不同的人排成一排：
(b) 把三名成人捆成一个整体。这个整体与 名儿童一起，构成 个单位排成一排，共
种。整体内部 名成人可排成
种：
(c) 先安排 名儿童，共 种。
四名儿童排成一排会形成 个空位，前面一个、中间三个、后面一个：
把每名成人放进不同的空位，就保证任何两名成人都不相邻。从 个空位中选 个并放入 名不同的成人，共 种：
由乘法原理，任何两名成人都不相邻的排列数为：
检验。 三个答案应处在合理的大小顺序中。
「相邻」的 较小，符合预期，因为迫使三人成为邻座是很重的限制。「两两不相邻」的 较大，但仍远低于无限制的 ，这也对：禁止相邻去掉了很多、但并非大多数排列。
重新推导 确认了插空这一步， 前后一致。
如何找到合理的第一步
当计数题带着限制时，可靠的第一步是先给条件命名，并在写下任何数字之前把它对应到一种标准方法。「必须相邻」直接指向捆绑法：把相关对象绑成一个单位，数单位数，再乘以内部顺序。
「两两不相邻」指向插空法：先安排没有限制的那一组，再把受限对象放进空位，使条件根本无法被破坏。判断哪种方法合适，比任何阶乘都更值钱，因为对的模型会让限制消失，而不是留到最后去把关。
只有在选定方法之后，才去数单位、空位和内部顺序。忍住把排列一一列出再相减的冲动，那条路在考试压力下又慢又易错，而且一个漂亮的想法也拿不到步骤分。
阅卷老师看重什么
评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于带限制的计数题，阅卷老师会找：
- 无限制的计数正确写成 。
- 「相邻」情形中把三名成人当作一个整体。
- 捆绑计数的两部分都写出：单位的 与整体内部的 。
- 「两两不相邻」认出插空法，先安排儿童，空位数为 。
- 成人放入空位写成 而非 ，因为成人各不相同。
- 乘法原理干净地用上：。
老师如何帮助你
计数进步最快，靠的是学生能给限制命名，并毫不迟疑地取用对应的方法。在一对一课堂上，我们的老师会请你用文字说出：一组人是必须待在一起，还是必须分开，并据此在动阶乘之前先选好捆绑法或插空法。
我们会特别留意 与 之间的取舍，因为顺序是否重要正是最常丢分的地方。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。
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预约试课常见问题
捆绑法为什么用 而不是 ？
因为把三名成人捆成一个整体后，这个整体本身就是一个要与四名儿童一起排的单位。于是共有 个单位排成一排，排法为 ，再乘以整体内部的 。
只数四名儿童会忽略这个整体本身的位置。
空位为什么用 而不是 ？
因为三名成人是不同的人，所以哪名成人进哪个空位是有区别的。 只是选出三个空位； 既选空位又把不同的成人在其中排序，这正是一排照片所需要的。
「两两不相邻」那部分为什么先安排儿童？
因为限制是加在成人身上，所以我们先安排没有限制的一组，儿童。四名儿童形成五个空位，每个空位至多放一名成人，就使两名成人不可能成为邻座。
先安排受限的那一组，你反而会一直在与条件较劲。
如果我最后算出的数字错了，还能得分吗？
能。Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。
正确选用的捆绑法或插空法，只要写出单位与内部顺序，即使一处算术失误改变了最终总数，也能拿到不错的分数。