KBAT: Pembilangan dengan Sekatan

Q: Bolehkah saya dapat markah jika nombor akhir saya salah?

Boleh. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Kaedah blok atau sela yang dipilih dengan betul, dengan unit dan susunan dalaman ditunjukkan, boleh memperoleh markah baik walaupun kesilapan aritmetik mengubah jumlah akhir.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan pembilangan rutin bertanya 'berapa banyak susunan bagi $n$ item berbeza?' dan jawapannya $n!$ .

Soalan KBAT menambah satu syarat, sesetengah item mesti bersama, atau tiada dua daripada satu kumpulan boleh bersebelahan, dan menjangka anda melipat syarat itu ke dalam pembilangan dari baris pertama, bukan menyenaraikan susunan dan memangkah yang buruk. Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: peraturan pendaraban, $n!$

dan $^{n}P_{r}$ ialah alat Tingkatan 5 biasa, tetapi memutuskan untuk mencantumkan beberapa item menjadi satu blok, atau mendudukkan satu kumpulan dahulu dan menyisipkan yang lain ke dalam sela, ialah pilihan pemodelan yang tiada siapa serahkan kepada anda. Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang boleh menterjemah 'mesti bersama' kepada blok dan 'tiada dua bersebelahan' kepada sela, serta tahu bahawa kaedah yang dipilih dengan baik membuang sekatan, bukan melawannya.

Pemilihan teknik, bukan aritmetik, yang membawa kesukaran.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[8 marks]

Seorang jurugambar menyusun $3$ orang dewasa dan $4$ orang kanak-kanak, tujuh orang berbeza, dalam satu baris untuk sekeping gambar. Cari bilangan susunan yang mungkin (a) tanpa sekatan, (b) jika ketiga-tiga orang dewasa mesti berdiri bersama, dan (c) jika tiada dua orang dewasa boleh berdiri bersebelahan.

Show worked solution

Faham. Ketujuh-tujuh orang berbeza, jadi susunan penting dan setiap tempat berbeza.

Bahagian (a) susunan biasa; bahagian (b) memaksa tiga orang menjadi jiran; bahagian (c) melarang mana-mana dua orang dewasa menjadi jiran. Kita pilih kaedah yang membina setiap syarat dari awal.

Rancang. Untuk (a) guna $7!$ .

Untuk (b) anggap tiga orang dewasa sebagai satu blok, jadi ada $5$ unit untuk disusun, dan darab dengan susunan dalaman blok. Untuk (c) dudukkan kanak-kanak dahulu, kemudian letak orang dewasa ke dalam sela antara dan di sekeliling mereka supaya tiada dua orang dewasa berkongsi sela.

Laksana dan semak. (a) Tujuh orang berbeza dalam satu baris:

7!=5040

(b) Cantumkan tiga orang dewasa menjadi satu blok. Blok itu, bersama $4$ kanak-kanak, membentuk $5$ unit untuk disusun dalam satu baris, dalam $5!$

cara. Di dalam blok, $3$ orang dewasa boleh disusun dalam $3!$

cara:

5!\times 3!=120\times 6=720

Empat kanak-kanak dalam satu baris membentuk $5$ sela, satu sebelum, tiga antara, satu selepas:

\_\;K\;\_\;K\;\_\;K\;\_\;K\;\_

Meletak setiap orang dewasa dalam sela yang berbeza menjamin tiada dua orang dewasa bersebelahan. Pilih dan isi $3$ daripada $5$ sela dengan $3$ orang dewasa berbeza dalam $^{5}P_{3}$ cara:

^{5}P_{3}=5\times 4\times 3=60

Dengan peraturan pendaraban, bilangan susunan dengan tiada dua orang dewasa bersebelahan ialah:

4!\times{}^{5}P_{3}=24\times 60=1440

Semak. Ketiga-tiga jawapan patut berada dalam tertib munasabah.

Bilangan 'bersama' $720$ kecil, seperti dijangka, kerana memaksa tiga orang menjadi jiran ialah sekatan berat. Bilangan 'tiada dua bersebelahan' $1440$ lebih besar tetapi masih jauh di bawah $5040$ tanpa sekatan, yang betul: melarang persebelahan membuang banyak tetapi bukan majoriti susunan.

Menerbitkan semula $^{5}P_{3}=5!/2!=120/2=60$ mengesahkan langkah sela, dan $24\times 60=1440$ konsisten.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila soalan pembilangan membawa sekatan, langkah pertama yang boleh dipercayai ialah menamakan syarat itu dan memadankannya dengan teknik piawai sebelum anda menulis sebarang nombor. 'Mesti bersama' menuding terus kepada kaedah blok: ikat item yang berkaitan menjadi satu unit, bilang unit, kemudian darab dengan susunan dalaman.

'Tiada dua bersebelahan' menuding kepada kaedah sela: dudukkan kumpulan tanpa sekatan dahulu, kemudian jatuhkan item bersekatan ke dalam sela supaya syarat itu mustahil dilanggar. Memutuskan teknik yang sesuai lebih bernilai daripada mana-mana faktorial, kerana model yang betul membuat sekatan itu lenyap, bukan sesuatu yang anda kawal pada akhirnya.

Hanya selepas anda memilih kaedah barulah anda membilang unit, sela dan susunan dalaman. Tahan keinginan menyenaraikan susunan dan menolak, laluan itu perlahan dan mudah tersilap di bawah tekanan peperiksaan, dan tidak memperoleh markah kaedah untuk idea yang bersih.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan pembilangan-dengan-sekatan, pemeriksa mencari:

Bilangan tanpa sekatan disediakan dengan betul sebagai $7!=5040$ .
Tiga orang dewasa dianggap sebagai satu blok untuk kes 'bersama'.
Kedua-dua bahagian bilangan blok ditunjukkan: $5!$ untuk unit dan $3!$ untuk susunan dalam blok.
Kaedah sela dikenal pasti untuk 'tiada dua bersebelahan', kanak-kanak didudukkan dahulu, sela dibilang sebagai $5$ .
Orang dewasa diletak ke dalam sela sebagai $^{5}P_{3}=60$ , bukan $^{5}C_{3}$ , kerana orang dewasa itu berbeza.
Peraturan pendaraban digunakan dengan bersih: $4!\times{}^{5}P_{3}=1440$ .

Bagaimana seorang guru membantu

Pembilangan bertambah baik paling cepat apabila pelajar boleh menamakan sekatan dan mencapai kaedah yang sepadan tanpa teragak-agak. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami meminta anda menyebut, dalam perkataan, sama ada satu kumpulan mesti kekal bersama atau mesti dipisahkan, dan memilih kaedah blok atau sela dengan sewajarnya sebelum menyentuh faktorial.

Kami memberi perhatian rapi kepada pilihan antara $^{n}P_{r}$ dan $^{n}C_{r}$ , kerana sama ada susunan penting ialah tempat markah paling kerap hilang. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa kaedah blok menggunakan

5!

dan bukan

4!

Kerana selepas mencantumkan tiga orang dewasa menjadi satu blok, blok itu sendiri satu unit untuk disusun bersama empat kanak-kanak. Itu memberi $4+1=5$ unit dalam baris, disusun dalam $5!$

cara, kemudian $3!$ untuk susunan dalam blok.

Membilang hanya empat kanak-kanak akan mengabaikan kedudukan blok itu sendiri.

Mengapa guna

^{5}P_{3}

dan bukan

^{5}C_{3}

untuk sela?

Kerana ketiga-tiga orang dewasa itu berbeza, jadi orang dewasa mana masuk ke sela mana adalah penting. $^{5}C_{3}$ hanya memilih tiga sela; $^{5}P_{3}$ memilih sela dan menyusun orang dewasa berbeza di dalamnya, itulah yang diperlukan oleh satu baris gambar.

Mengapa dudukkan kanak-kanak dahulu dalam bahagian 'tiada dua bersebelahan'?

Kerana sekatan adalah pada orang dewasa, jadi kita susun kumpulan tanpa sekatan, kanak-kanak, dahulu. Empat kanak-kanak membentuk lima sela, dan meletak paling banyak seorang dewasa dalam setiap sela menjadikan mustahil dua orang dewasa menjadi jiran.

Mendudukkan kumpulan bersekatan dahulu akan membuat anda melawan syarat itu.

Bolehkah saya dapat markah jika nombor akhir saya salah?

Boleh. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris.

Kaedah blok atau sela yang dipilih dengan betul, dengan unit dan susunan dalaman ditunjukkan, boleh memperoleh markah baik walaupun kesilapan aritmetik mengubah jumlah akhir.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026