KBAT：实际图形中的圆的度量

Q: 这些公式该用角度还是弧度？

弧度。公式 s=rθs=r\thetas=rθ 和 12r2θ\frac{1}{2}r^{2}\theta21r2θ 只有当 θ\thetaθ 是弧度时才成立，所以要让计算器保持弧度模式。如果题目给的是角度，先乘以 π180\frac{\pi}{180}180π 换算。角本来是弧度、计算器却留在角度模式，是丢掉全部面积分数最常见的原因。

Q: 扇形和弓形有什么区别？

扇形是由两条半径和弧围成的披萨块区域，面积为 12r2θ\frac{1}{2}r^{2}\theta21r2θ。弓形是弦与弧之间那块较小的区域；把扇形挖去三角形 OABOABOAB 就得到它。把涂色区域命名正确，决定了你是用扇形面积，还是要相减才能得到弓形。

Q: 为什么弦比弧短？

弦是 AAA 与 BBB 之间的直线路径，而弧是同样两点之间的曲线路径，直线总是最短的路。这里弦是 13.5513.5513.55 厘米，弧是 14.414.414.4 厘米。如果你的弦竟然比弧还长，那准是计算器的角度模式弄错了。

Q: 弓形有没有一行的公式？

有：12r2(θ−sin⁡θ)\frac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)21r2(θ−sinθ)，就是把扇形减三角形合在一起。这里它给出 72(1.2−0.93204)=19.2972(1.2-0.93204)=19.2972(1.2−0.93204)=19.29 cm2^22。它是很好的核对，但把扇形和三角形分开写能保住更多步骤分。Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，采用分步给分，所以清楚的过程很值。

为什么这是 KBAT 题

常规的圆度量题说一句「求弧长」或「求扇形面积」，并把图给你。实际图形 KBAT 题把这些部件藏进一个物件里，胸针、手扇、窗玻璃，要你判断哪块是哪块：涂色的金属是扇形还是弓形，镶边的那条边是弧还是弦？

这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维： $s=r\theta$ 和 $\frac{1}{2}r^{2}\theta$ 是普通的中五公式，但把一个实际形状读作「扇形挖去一个三角形」、并在整个过程中让每个角都保持弧度，都留给你。在 Add Math 里，这奖励的是能看着一片金属就看出背后那个圆、再挑出真正被问到的那条边或那块面积对应公式的学生。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。

Q1[8 marks]

一枚胸针从一片薄金属上冲压出来，形状是弦 $AB$ 与它的劣弧 $AB$ 之间的涂色区域，也就是一个圆心为 $O$ 、半径 $r = 12$ 厘米的圆的弓形，其中角 $\angle AOB = \theta = 1.2$ 弧度。弯曲的弧边用金线镶饰；笔直的弦边留空。

(a) 求弧 $AB$ 的长度，并由此求镶饰弯边所需的金线长度。(b) 求胸针中金属的面积。

判断一根金线是否够用，以及这个设计是否满足金属限制。

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理解。 由两条半径和弧围成的整块切片 $OAB$ 是一个扇形。

胸针是那个弓形：弦与弧之间的部分，也就是扇形挖去三角形 $OAB$ 。角 $\theta = 1.2$ 已经是弧度，所以计算器全程必须处于弧度模式。

计划。 弧用 $s=r\theta$ ，扇形用 $\frac{1}{2}r^{2}\theta$ ，三角形用 $\frac{1}{2}r^{2}\sin\theta$ ，相减得弓形。

弦用 $2r\sin\frac{\theta}{2}$ 。最后把弧与 15 厘米比较、把弓形面积与 20 cm $^2$ 比较。

执行并检验。 (a) 弯边就是弧：

s=r\theta=12\times 1.2=14.4\ \text{cm}

所以镶饰弯边需要 $14.4$ 厘米金线。

(b) 胸针是弓形，所以先算扇形再减去三角形：

\text{Sector}=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(12)^{2}(1.2)=\tfrac{1}{2}(144)(1.2)=86.4\ \text{cm}^{2}

\triangle OAB=\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\theta=\tfrac{1}{2}(144)\sin 1.2=72(0.93204)=67.11\ \text{cm}^{2}

\text{Segment}=86.4-67.11=19.29\ \text{cm}^{2}

AB=2(12)\sin\frac{1.2}{2}=24\sin 0.6=24(0.56464)=13.55\ \text{cm}

(d) 弯边为 $14.4$ 厘米，小于 $15$ 厘米，所以一根金线够用，还剩 $0.6$ 厘米。用掉的金属为 $19.29$ cm $^2$ ，小于 $20$ cm $^2$ ，所以这个设计满足金属限制。

检验。 每个答案都合理：弓形面积 $19.29$ cm $^2$ 远小于扇形的 $86.4$ cm $^2$ ，作为扇形的一块本该如此。

弦 $13.55$ 厘米短于弧 $14.4$ 厘米，两点之间直线路径总比曲线路径短，这是发现模式错误的快捷办法。弓形还有一行的备用算法可核对： $\frac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)=72(1.2-0.93204)=72(0.26796)=19.29$ cm $^2$ 。

如何找到合理的第一步

面对实际图形题，可靠的第一步是在动用任何公式之前，先把区域命名准确并确认角用的是弧度。涂色的胸针是弓形，而弓形永远等于扇形减三角形，把这两个子形状都写下来，就不会误把整个扇形当作用料去算。

因为 $\theta = 1.2$ 已经是弧度，把计算器设成弧度模式；经典的翻车是把它留在角度模式，于是 $\sin 1.2$ 被读成 $\sin 1.2^{\circ}$ ，所有面积都崩了。然后把每条边配上它的公式：弯边是弧 $s=r\theta$ ，直边是弦 $2r\sin\frac{\theta}{2}$ 。

把 $O$ 、 $A$ 、 $B$ 连同涂色切片草草画一下，就能看清哪些长度是边、哪些是内部半径，于是你会用弧、而不是弦去镶边。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于实际图形的圆度量题，阅卷老师会找：

全程用弧度，计算器明确处于弧度模式。
由 $s=r\theta=12\times1.2=14.4$ 厘米得出弧，并认出它是镶边的那条边。
扇形 $\tfrac{1}{2}r^{2}\theta=86.4$ cm $^2$ 与三角形 $\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\theta=67.11$ cm $^2$ 分别算出。
弓形写成扇形减三角形， $19.29$ cm $^2$ ，而不是只写扇形。
由 $2r\sin\frac{\theta}{2}=13.55$ 厘米得出弦（或用余弦定理）。
每个决定都挂靠一个算出的值及其限制： $14.4<15$ 与 $19.29<20$ 。
最后写出单位（cm、cm $^2$ ）并作合理取近似。

老师如何帮助你

实际图形题奖励那些先命名区域、再动手算的学生，而这份纪律在有反馈时长得最快。在一对一课堂上，我们的老师会请你在自己的草图上标出扇形、三角形和弓形，出声核对计算器是否处于弧度模式，并在写公式之前把每条边配上弧或弦。

我们会在结尾的决定处多停留，用一整句话把你的值和限制作比较，因为推理分就落在那里。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

这些公式该用角度还是弧度？

弧度。公式 $s=r\theta$ 和 $\frac{1}{2}r^{2}\theta$ 只有当 $\theta$ 是弧度时才成立，所以要让计算器保持弧度模式。

如果题目给的是角度，先乘以 $\frac{\pi}{180}$ 换算。角本来是弧度、计算器却留在角度模式，是丢掉全部面积分数最常见的原因。

扇形和弓形有什么区别？

扇形是由两条半径和弧围成的披萨块区域，面积为 $\frac{1}{2}r^{2}\theta$ 。弓形是弦与弧之间那块较小的区域；把扇形挖去三角形 $OAB$ 就得到它。

把涂色区域命名正确，决定了你是用扇形面积，还是要相减才能得到弓形。

为什么弦比弧短？

弦是 $A$ 与 $B$ 之间的直线路径，而弧是同样两点之间的曲线路径，直线总是最短的路。这里弦是 $13.55$ 厘米，弧是 $14.4$ 厘米。

如果你的弦竟然比弧还长，那准是计算器的角度模式弄错了。

弓形有没有一行的公式？

有： $\frac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)$ ，就是把扇形减三角形合在一起。这里它给出 $72(1.2-0.93204)=19.29$ cm $^2$ 。

它是很好的核对，但把扇形和三角形分开写能保住更多步骤分。Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，采用分步给分，所以清楚的过程很值。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026