不定积分丢失常数

求导会把常数抹平：$x^{4}-3x^{2}$、$x^{4}-3x^{2}+2$ 和 $x^{4}-3x^{2}-5$ 的导数完全相同，因为常数求导后是零。积分是把这一步倒着走，所以当你积分时，无法还原原来的常数是哪一个，每一种可能都还开着。

这正是 $+c$ 所记录的：不定积分命名的是一整族竖直叠放的曲线，而不是单独一条。在 Add Math 里诱人的错误是只写 $F(x)$ 就停下，因为幂法则那部分看起来像是完成的答案，而 $+c$ 感觉像装饰。

在一道纯粹的“求这个积分”里，它可能只丢一分。但一旦给出一个点或一个初始值，$+c$ 就是从这一族里挑出正确曲线的那个数，把它漏掉，你就悄悄选中了过原点的那一条，而那几乎从来不是题目想要的。

求 $4x^{3}-6x$ 的积分。逐项套用幂法则但停在那里，会得到：

不定积分是整整一族曲线，所以常数必须写出：

下面每一条曲线都共享同一个导数 $4x^{3}-6x$；它们只是高度不同。正是 $+c$ 让它们全都留在选项里，直到题目告诉你该留下哪一条。

1. 在积分的同一行就写上 $+c$，先于其他一切，把它当作完成积分的一部分，而不是事后补上。
2. 先问这是不定积分（没有上下限）还是定积分（带上下限）。只有不定积分带 $+c$；在定积分里它会在相减时抵消。
3. 如果给了一个点或初始值，把它代入 $F(x)+c$，列出一个关于 $c$ 的方程。
4. 解出 $c$，再把最终答案用这个具体的值重写一遍。
5. 把你的答案求导，看是否回到原函数，并确认它经过所给的点，以此检验。

我们的老师把 $+c$ 练进你的手里，让它在写下积分的同一刻落笔，而不是之后。在一对一课堂上，我们训练你听出“经过”或“当 $x=\ldots,\ y=\ldots$”这样的信号词，它们意味着常数正是整道题的重点，然后一步步列出并解出关于 $c$ 的方程。

因为考卷按步给分，保留常数能让你一行一行地拿分，即使算术出点小差错也不例外。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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