读懂线性定律与最佳拟合线

直线是整个数学里最友善的图。如果一组点落在一条直线上，你就能从坐标轴上直接读出它的斜率和截距，这两个数就道尽了这个关系的一切。

曲线给不了这份舒服，你没法用眼睛看出一条曲线的方程。

线性定律就是把这份舒服要回来的办法。它的想法是：把 $x$ 和 $y$ 之间弯曲的关系重写一下，让它变成两个新量之间的直线关系，这两个新量我们通常叫做 $X$ 和 $Y$。

目标形状永远是同一个：

$$Y = mX + c$$

这里的 $Y$ 和 $X$ 是由原来的 $x$ 和 $y$ 造出来的，可能是 $\log y$，可能是 $\frac{y}{x}$，也可能是 $x^{2}$，只要能把关系拉直就行。一旦你以 $Y$ 对 $X$ 作图得到一条直线，它的斜率就是 $m$，纵截距就是 $c$。

几乎每一道线性定律题的活儿，就是弄清 $Y$、$X$、$m$、$c$ 各代表什么，再借助图去求出藏在原方程里的常数。

有两种形式一再出现，两种都靠取对数来解放。假设这个关系是幂律 $y = a x^{n}$，其中 $a$ 和 $n$ 是未知常数。

对两边取 $\log$，再用对数定律：

$$\log y = n \log x + \log a$$

把它和 $Y = mX + c$ 比一比。如果你以 $\log y$（作 $Y$）对 $\log x$（作 $X$）作图，就得到一条直线，斜率是 $n$，截距是 $\log a$。

再看第二种形式，指数关系 $y = a b^{x}$：

$$\log y = (\log b)\,x + \log a$$

这一次你以 $\log y$ 对 $x$ 本身作图。斜率是 $\log b$，截距是 $\log a$。

留意区别：在幂律里你对两个变量都取对数，但在指数里你只对 $y$ 取对数。选对，是整章里最重要的一个决定。

直线一画好，常数就从它的斜率和截距里来。斜率取自任意两个相距较远、且落在直线上的点，不是两个原始数据点，这个区别是会丢分的：

$$m = \frac{Y_{2} - Y_{1}}{X_{2} - X_{1}}$$

假设你为一条幂律以 $\log y$ 对 $\log x$ 作图，读出斜率 $2$、纵截距 $0.5$。那么直接得 $n = 2$，而 $\log a = 0.5$，所以 $a = 10^{0.5} = \sqrt{10} \approx 3.16$。

方程就被还原出来了：$y \approx 3.16\,x^{2}$。

最后一步绊倒的人比第一步多。截距几乎从来不是常数本身，它通常是 $\log a$，所以你必须把对数解开才能得到 $a$。

先写下截距等于什么，再写下常数，这个还原就不会溜过去。

真实测量的数据从不会完美地落在一条线上。由于实验误差，画出来的点会散开一点，所以你要画一条最佳拟合线，让它尽量均匀地穿过这团点。

• 让线上方和下方的点数目大致相等。
• 整体上让点靠近这条线，线要顺着趋势走，而不是去追某一个点。
• 除非物理背景或数据确实表明它应过 $(0,0)$，否则不要强行让线穿过原点。

因为最佳拟合线是一种判断，考官对从它读出的斜率和截距会容许一个合理的答案范围。不被原谅的，是从一条手抖的徒手线上读数，或是用原始数据点代替真正落在你画的线上的点。

用直尺、用削尖的铅笔，把两个读数点取得远一些，这样读数上的小误差对斜率的影响就小。

线性定律题在方法分上很大方，但前提是你的步骤要让考官看清每一条轴代表什么、每一个数从哪里来。

• 该对两个变量取对数时只取了一个，或该只取一个时两个都取了，先判断是幂律还是指数。
• 从两个画出来的数据点求斜率，而不是从最佳拟合线上读出的两个点求斜率。
• 把坐标轴弄混：作图之前先清楚标明哪个量是 $Y$、哪个是 $X$。

线性定律奖励一种特定的清晰思考：知道哪一种变形能把某个关系拉直，并小心地记住每一条轴、每一个常数到底代表什么。这正是那种一个人很难养成、有人盯着你的步骤时却很快养成的习惯。

一对一地教，老师能看见对数究竟在哪一步放到了错误的变量上，或者截距在哪里被当成了常数，在它变成惯性之前就纠正过来。我们的老师经验丰富；课程在线进行、以英语授课，而SPM试卷以马来文与英文双语命题。

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