读懂等差与等比数列

数列，你可能也听过「序列」，不过是由一条固定规则搭起来的一串数。每个数都是一个项，首项写作 $a$，位置为 $n$ 的那一项写作 $T_{n}$。

整章都靠一个问题：从一项走到下一项，规则是什么？高级数学只在乎两种答案。

• 如果你靠加上一个固定数走到下一项，它是等差数列，那个固定数叫公差 $d$。
• 如果你靠乘上一个固定数走到下一项，它是等比数列，那个固定数叫公比 $r$。

任何一道题，最先要做的就是判断你看的是哪一种。检查项与项之间的间隔：若 $T_{2}-T_{1}$ 等于 $T_{3}-T_{2}$，是等差；若比值 $T_{2}/T_{1}$ 等于 $T_{3}/T_{2}$，是等比。

之后的一切，都从这一个判断里跟出来。

在等差数列里，你从 $a$ 出发，一次次加上 $d$。于是各项是 $a$、$a+d$、$a+2d$、$a+3d$，如此下去。

留意 $d$ 的倍数里的规律：第二项有一个 $d$，第三项有两个。公式里的 $n-1$ 就是从这里来的，第 $n$ 项一共加了 $n-1$ 次 $d$。

$$T_{n} = a + (n-1)d$$

要把前 $n$ 项加起来，有一条利落的公式。值得把它读成「项数，乘以首项与末项的平均」，仔细一看，它说的正是这个意思。

$$S_{n} = \frac{n}{2}\left[\,2a + (n-1)d\,\right]$$

在等比数列里，你从 $a$ 出发，一次次乘上 $r$。各项是 $a$、$ar$、$ar^{2}$、$ar^{3}$，如此下去。

再数一数次方：第二项有 $r^{1}$，第三项有 $r^{2}$，所以第 $n$ 项有 $r^{n-1}$。

$$T_{n} = ar^{\,n-1}$$

前 $n$ 项之和有两个等价的写法；哪个能让数字保持正、保持整洁就用哪个。两者对 $r \neq 1$ 都成立。

$$S_{n} = \frac{a\left(r^{\,n} - 1\right)}{r - 1} = \frac{a\left(1 - r^{\,n}\right)}{1 - r}$$

这是第一次接触时几乎像变魔术的部分：如果公比 $r$ 是介于 $-1$ 和 $1$ 之间的分数，你可以把等比数列无穷多项加起来，结果依然是一个有限的数。想想 $8 + 4 + 2 + 1 + \tfrac{1}{2} + \dots$，每一项是上一项的一半，累计的总和一路爬向16，却永远越不过去。

$$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}, \qquad \text{仅当 } |r| < 1 \text{ 时成立}$$

这一章丢掉的分，大多来自少数几个可预料的失手。提前认得它们，比在你本来就做得好的地方多练，守住的分更多。

• 抓错家族，把等差公式用在等比数列上，或者反过来。永远先确认各项是相加还是相乘。
• $n-1$ 的陷阱：第 $n$ 项用的是 $n-1$，不是 $n$。等比数列的 $T_{5}$ 是 $ar^{4}$，不是 $ar^{5}$。
• 在 $|r| \geq 1$ 时使用 $S_{\infty}$，而那时根本没有无穷和。
• 当 $d$ 或 $r$ 为负时出现符号错误，保留括号，仔细代入。

数列是这样一章：一旦「加还是乘」这个区别真正扎实，整章就通了；只要那些公式还飘着、没扣在这个想法上，它就一直乱。一对一地教，老师能看着你孩子怎样判断一道题属于哪个家族，抓住 $n-1$ 或公比检查究竟在哪里出错，再把推理重新搭好，让那些公式感觉是挣来的。

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