SPM高级数学的积分技巧

SPM高级数学的积分题大致分成三种：求一个保留常数的一般结果、利用曲线上给定的一点求出具体的函数，或者计算定积分得到一个实际的数值，通常是面积。动笔之前先弄清楚眼前这道题属于哪一种，因为这个判断会决定接下来的一切，要不要加$+c$、要不要代入上下限，以及最终答案是一个表达式还是一个数值。

这一章所有的积分运算，最终都要归结到幂法则的逆运算上，所以只要这一步扎实，剩下的就是识别当前情况适用哪一个小变化，括号里是不是一次式、是否给了一点要代入、或者是否要在两个上下限之间求值。

这一章几乎所有的积分最终都会用到幂法则的逆运算。它把求导中的幂法则倒过来：不是把幂次拿下来再减一，而是把幂次加一，再除以新的幂次。

$$\int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c, \quad n \neq -1$$

当括号里不只是$x$，而是一次式，即$(ax+b)^n$的形式时，同样的思路依然适用，只是多一步：还要除以$x$前面的系数$a$。

$$\int (ax+b)^{n}\,dx = \dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + c$$

漏掉除以$a$这一步，是学生最常犯的错误，尤其当$a$不等于1的时候。养成每次都把这一步写进公式里的习惯，比只在$a \neq 1$时才想起来要可靠得多。

• 先把根号和分数改写成指数形式，$\sqrt{x} = x^{1/2}$，$\dfrac{1}{x^{2}} = x^{-2}$，再套用上面任何一个版本的公式。
• 如果被积式是几项之和，就逐项积分；幂法则的逆运算和求导一样，可以逐项进行。
• 如果表达式其实是一个可以先展开的简单乘积，比如$(x+1)(x-2)$，先展开成几个幂次项，通常比硬套$(ax+b)^n$的形式更快也更保险。

当题目给出斜率函数，同时给出曲线经过的一点时，它其实是在要你从$+c$所代表的无数条曲线中，找出那一条特定的曲线。方法始终是同样的三步：先照常积分斜率函数，末尾保留$+c$；把给定点的$x$、$y$值代入这个结果；再解出$c$。

定积分要求的是一个数值，而不是一个表达式，这正是积分常数会消失的原因，它先被加上，又在两个上下限之间求值时被减掉。

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

从几何上看，这个数值就是曲线与$x$轴在该区间内围成的面积，但有一个重要的例外：当曲线落到$x$轴下方时，那一段的定积分算出来是负数，尽管面积本身不可能是负的。

真正完成积分运算的，仍然是前面那条幂法则的逆运算；定积分只是多加了代入两个上下限再相减这最后一步。

积分题丢分几乎都不是因为不懂公式，而是因为运用时出现的小差错。

• 忘记除以$a$，积分$(ax+b)^n$时漏掉这一步，得到的答案看起来对，实际上差了一个常数因子。
• 漏掉$+c$，即使题目没有给出用来求$c$值的点，不定积分的答案里也应该有$+c$，这本身通常是一个得分点。
• 没有先展开简单的乘积，反而硬套$(ax+b)^n$的形式，而实际上并不适用。
• 计算$F(b) - F(a)$时出现符号错误，尤其是当$F(a)$本身是负数、减法变成加法的时候。

积分题出错，大多出在中间那些连接步骤上，漏除以$a$、丢了常数、两个上下限之间少了一个符号，而不是不理解这个主题本身。逐行看学生的完整解题过程，通常是发现问题究竟出在哪里最快的办法，这靠一份印刷的评分标准很难做到。

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