抛开术语，理解定义域与值域

函数是一条拿一个输入、恰好还回一个输出的规则。定义域是你被允许放进去的全部输入集合。

值域是这条规则实际产生的全部输出集合。这就是全部念头了，其余一切，不过是针对某条具体规则把这两个集合算出来。

自动贩卖机是个好用的画面。你被允许按的按钮就是定义域；实际能掉出来的零食就是值域。

如果一个按钮坏了、按下去什么都不发生，那个按钮就不在定义域里。如果这台机器从不进某种零食，那种零食就不在值域里，不管有多少个按钮。

定义域讲的是输入；值域讲的是输出。把这两者分清楚，就解决了这个课题里的大部分困惑。

除非题目加了限制，定义域就是「所有实数」，只是要去掉那些会破坏某条算术规则的输入。在高级数学里有三种「会坏掉」的情形要留意，而定义域不过是「一切，除了引发这些情形的值」。

• 除以零，一个分数的分母永远不能为零。
• 对负数开平方，平方根里面的式子必须为零或正。
• 对非正数取对数，对数的输入必须严格大于零。

所以对于

$$f(x) = \frac{1}{x - 2}$$

分母在 $x = 2$ 时为零，所以定义域是除 $2$ 以外的每一个实数。对于

$$g(x) = \sqrt{x - 3}$$

里面必须满足 $x - 3 \ge 0$，得到定义域 $x \ge 3$。注意每次的方法都一样：写下什么会坏掉，再把那些输入恰好去掉。

其余的都允许。

值域问的是：当你把每一个被允许的输入都放进去后，输出能到多高、多低。对于像 $f(x) = 2x + 3$ 这样没有定义域限制的直线，输出可以是任何数，所以值域是全体实数。

有意思的是那些弯曲的情形。

二次式是经典例子，而配方就是那把工具。取

$$f(x) = x^{2} - 4x + 7$$

配方得到 $f(x) = (x - 2)^{2} + 3$。因为平方项永不为负，$(x - 2)^{2}$ 能取的最小值是 $0$（当 $x = 2$），所以最小的输出是 $3$。

图像是一条开口向上的抛物线，最低点在 $(2, 3)$，输出从那里往上无限攀升。因此值域是

$$f(x) \ge 3$$

同样的念头也适用于开口向下的抛物线，只不过顶点是最高点，值域反着走，$f(x) \le$ 那个最大值。把曲线画出来，哪怕粗略地画，都会让值域一目了然，这也是图像技能和这个课题彼此加强的一个原因。

有几个错误一再出现，事先知道它们，就已经赢了一半。

• 把定义域和值域调换，题目问输入，你却写了输出，或者反过来。答题前重读一遍「进」和「出」就能修正。
• 忘记去掉某个值，把 $x = 2$ 留在 $\frac{1}{x-2}$ 的定义域里，因为动作一快，这个隐患很容易漏掉。
• 配方时符号出错，它会挪动顶点，悄悄毁掉值域。用一张速写对一下顶点就能抓住。
• 忽略题目给的定义域，如果题目限制了定义域，值域取决于那个限制，而不是整条曲线。

定义域与值域不是只在一章里出现的稀罕物；它贯穿整门高级数学。反函数直接靠着它们，一个函数的定义域会变成它反函数的值域，反之亦然，这正是为什么一个函数必须是一对一，才能求反函数。

图像内容建立在「知道哪些 $x$ 值被允许、曲线往上往下能到多远」之上。而在微积分那几章里，关于「一个函数在哪里存在、取哪些值」的问题，其实就是换了身衣裳的定义域与值域问题。

定义域与值域一旦想通了通常很容易，但在一个进度飞快的班里，那个「想通」可能迟迟不来。一对一地教，老师能在你面前摆几个函数，看你在哪一步犹豫，是去掉某个值、是配方、还是画图，然后把时间恰好花在那里，而不是把你已经会的部分再讲一遍。

我们的老师经验丰富；课程在线进行、以英语授课，而SPM试卷以马来文与英文双语命题。

如果这个课题你还是觉得滑手，欢迎先上一堂一小时的付费试课，按老师本身的收费计算（每小时RM50起，视经验而定）。我们不会承诺成绩，但我们能帮你到达那个「从一个函数上读出『进』与『出』变得自动」的地步。