无所畏惧地理解微分

剥掉符号，微分回答的是一个平白的问题：这条曲线在这里有多陡？对直线来说，陡度很简单，它处处相同，你早就把它叫做斜率。

曲线就麻烦些，因为它的陡度一点一点在变。微分不过是那个工具，给你曲线在你所选任一点的斜率。

当你对像 $y=x^{2}$ 这样的方程求导时，你得到的不是一个数字。你得到一个新的式子，叫斜率函数，写作 $\frac{dy}{dx}$。

给它任何一个 $x$ 值，它就告诉你曲线在那个位置的斜率。所以心里的画面是：一条曲线进去，一个斜率函数出来，而这个斜率函数是一台你可以在任何一点向它提问的机器。

入门微分几乎全都靠一条友好的法则，幂法则。要对 $x$ 的幂求导，就乘以那个幂，再把幂降一：

$$\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=nx^{n-1}$$

这就是整台引擎。几个做出来的例子让它变具体。

对 $y=x^{3}$，幂是 3，所以 $\frac{dy}{dx}=3x^{2}$。对 $y=5x^{4}$，你保留系数、对幂用法则：$\frac{dy}{dx}=20x^{3}$。

而常数项求导为零，因为常数没有陡度，它的图是平的。所以对一个完整的式子如 $y=5x^{4}-2x^{2}+7$：

$$\frac{dy}{dx}=20x^{3}-4x$$

注意那个 $+7$ 就这样消失了。像这样一项一项地求导，一次一项、保留系数、把幂降一，就应付了试卷一里绝大多数的微分。

先把这个动作练到自动，再谈其他。

一旦有了斜率函数，求某一点的斜率就只是代入。拿 $y=x^{3}$，它的斜率函数是 $\frac{dy}{dx}=3x^{2}$。

在 $x=1$ 的点，斜率是 $3\times 1^{2}=3$。在 $x=2$，是 $3\times 2^{2}=12$。

同一条曲线，不同点有不同陡度，这正是曲线之所以为曲线。

这一项技能解锁了一整族考题。曲线在某点的切线方程需要那里的斜率，也就是你的 $\frac{dy}{dx}$ 值。

法线方程需要那个斜率的负倒数。变化率、小增量，以及关于一个量如何随另一个量变化的问题，全都从同一步开始：求导，然后代入。

如果代入斜率函数这一步觉得扎实，这一章的一大块已经是你的了。

这里正是微分显本领的地方。在曲线的山顶或谷底，极大或极小，曲线在那一瞬间是平的。

平就意味着斜率为零。所以要找这些转折点，你把斜率函数令为零并求解：

$$\frac{dy}{dx}=0$$

拿 $y=x^{2}-6x+5$。那么 $\frac{dy}{dx}=2x-6$。

令它为零得 $2x-6=0$，所以 $x=3$。代回原方程：$y=3^{2}-6(3)+5=-4$。

所以转折点在 $(3,-4)$。要判断它是极大还是极小，再求一次导得到二阶导数 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$。

这里它是 $2$，为正，二阶导数为正意味着极小（曲线是谷，向上弯）。二阶导数为负则意味着极大。

微分里丢掉的分，大多不是丢给难懂的想法，而是丢给可避免的小失误。留意这些：

• 忘了常数求导为零，或反过来，忘了常数只在你代回求 $y$ 时才重新重要。
• 复合函数处理错。对像 $y=(2x+1)^{5}$ 这样的，你需要链式法则：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}$，这里得 $10(2x+1)^{4}$。不带内层导数就盲目套幂法则，是经典错误。
• 停在 $x$，而题目要的是点。转折点需要两个坐标，所以一定代回去求 $y$。
• 跳过二阶导数的检验就猜极大或极小。这个检验很快，而它保住了容易的分。

因为高级数学采用分析式评分，方法分是按过程中正确的步骤给的，而不只看最后答案。所以即便一道题以失误收场，只要每一步写得清楚，它仍能拿到不错的分。

写出求导、写出代入、写出二阶导数。在这一章，工整、一行一行的过程习惯，值的分和聪明一样多。

微分是这样一章：一个漏掉的想法，常常是链式法则，或从图上读斜率，就能让其余部分显得不可能，而一旦那个想法落地，一切又豁然开朗。这恰恰是一对一教学的强项：看着你解题过程的老师，能找出正绊住你的那一步，用一张图和一个简单例子把它重建，再让你实时练习。

我们的老师经验丰富，课程在线、以英语授课，这也帮你熟悉英文术语，而 SPM 试卷以马来文和英文双语命题。

如果你想试试，第一堂课是按老师收费的一小时付费课，每小时从 RM50 起，视老师经验而定，价格在 WhatsApp 上报。我们会在你所在的地方与你相会，无论是幂法则还是转折点，从那里按你的节奏、毫无压力地往外建。