高级数学中的读图与画图

图像并不局限于高级数学的某一章，它贯穿函数、二次函数、微积分和统计，尤其是试卷二，常常要求你在一道结构题里描点、画出曲线，并从图上读出数值。由于试卷采用分析式评分，描点和画图这两个步骤本身就单独占分，和后面的计算分开计分。

这意味着图像题同时考验两种细心：算对数学本身，以及把它呈现出来，刻度、坐标轴、曲线是否平滑，按阅卷者期望的样子。

二次函数的图像是一条抛物线，一道题要求你从图上读出的信息，大多来自三个特征：它在哪里与$x$轴相交（根）、在哪里与$y$轴相交，以及它的转折点。

• 最高次项系数为正，抛物线开口向上，有一个最小转折点；系数为负，开口向下，有一个最大转折点。
• 曲线与$x$轴相交的次数，两次、一次（相切）或者一次都没有，由这个二次方程的判别式决定，值得在动笔画图之前先检查一下。
• 转折点可以用配方法求出，或者在学过微积分之后，通过求导并令$\dfrac{dy}{dx}=0$来求出。

当题目要求画出曲线而不只是描述它时，要在转折点两侧都取足够多的点，不只是交点，这样顶点附近的形状才是根据数据画出来的，而不是靠猜。两条坐标轴都要用统一的刻度，并清楚标注，把描出的点用一条平滑的曲线连接起来，绝不能用折线段。

学过求导之后，斜率函数$\dfrac{dy}{dx}$能告诉你的信息，远比单纯描点要多：曲线在哪里上升、在哪里下降、在哪里转折。

• 在某一段区间内$\dfrac{dy}{dx} > 0$，说明曲线在这段区间内是上升的。
• 在某一段区间内$\dfrac{dy}{dx} < 0$，说明曲线在这段区间内是下降的。
• 在某一点$\dfrac{dy}{dx} = 0$，通常标志着一个转折点，局部最大值或最小值。

这对画出一个题目没有直接给出的图像特别有用：先找到斜率为零的位置，再判断曲线在这一点两侧是上升还是下降，就能画出相当准确的形状，而不必逐一描出几十个点。

两个变量之间的某些关系并非线性，但可以通过选取由原变量构造出的新变量$X$和$Y$，通常借助对数，把它改写成$Y = mX + c$的形式。画出这条直线之后，你可以直接读出斜率和截距，再用它们求出原来的常数。

$$\lg y = n \lg x + \lg k$$

以$\lg y$为纵轴、$\lg x$为横轴描点，就得到一条斜率为$n$、纵截距为$\lg k$的直线，从画出的图上读出这两个值，就能直接得到两个未知常数，完全不需要直接求解原来的方程。

• 刻度不均匀或没有标注，这会扭曲曲线的形状，可能让转折点或交点落在错误的位置。
• 用折线段连接各点，而不是画平滑的曲线，尽管所对应的函数本身并不是线性的。
• 在线性化题目中弄混哪个化简变量对应哪条轴，这会导致把斜率和截距的值弄反。
• 直接从手画的图上读数值，而其实代入方程直接计算能得到更精确的答案，图可以用来当作检验，但在两种方法都可行时，不能取代代数运算。

对于一门大部分内容都是纸面上数字的学科来说，图像题格外依赖视觉呈现，而刻度怎么选、曲线是否平滑、变量放在哪条轴上，这些小习惯，有人在旁边看着你动手画的时候，比事后看评分标准要容易纠正得多。我们的老师经验丰富，课程在线以英语授课，而SPM试卷本身以马来文与英文双语命题。

如果你希望在考试之前，有老师看着你描点、画图并读出自己的图像，先上一堂一小时的付费试课是了解这套方法的合理起点，按老师本身的收费计算，每小时RM50起，视经验而定。我们不会承诺具体的成绩，但画图的习惯往往是通过直接反馈能最快改善的部分。