排列与组合：如何区分

在这一章，学生因为选错工具丢的分，比因为算术丢的还多。而工具的选择，靠对情境问一个平白的问题：顺序重不重要？

如果把同样的东西重新排一下会得到一个真正不同的结果，那顺序就重要，你数的是排列。如果重新排一下得到的是同一个结果，那顺序就不重要，你数的是组合。

一个快速的例子让差别变得鲜明。假设你从一个班里挑 3 名学生。

如果你要选一名主席、一名秘书、一名财政，那么 Aisyah 当主席 / Ben 当秘书，就和 Ben 当主席 / Aisyah 当秘书是不同的结果，职务让顺序有了意义，所以这是排列。但如果你只是挑 3 名学生组一个没有职务的学习小组，那么 {Aisyah, Ben, Chong} 无论你怎么列都是同一个小组，顺序无关紧要，所以这是组合。

两条公式都由阶乘搭起来。整数 $n$ 的阶乘，写作 $n!$，是从 $n$ 一路乘到 $1$ 的每一个整数的乘积：

$$n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times 2\times 1$$

所以 $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$，而 $3!=6$。有一个值让许多学生意外：$0!=1$，这是定义，它让公式表现正确，接受就好。

阶乘数的是把一组不同的东西排成一行有多少种方式：$n$ 个不同的东西能排成 $n!$ 种，因为第一个位置有 $n$ 种选择，第二个有 $n-1$ 种，依此类推。

这个想法，把每一阶段的选择相乘，就是乘法原理，它悄悄撑起了整章。

排列数的是排法，顺序算数。从 $n$ 个不同的东西里取 $r$ 个来排的方式数是：

$${}^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$$

组合数的是选法，顺序不算数。从 $n$ 个不同的东西里选 $r$ 个的方式数是：

$${}^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

仔细看你就会发现，组合公式不过是排列公式再除以一个 $r!$。多出来的这个 $r!$

是把选出的 $r$ 个东西重新排序的方式数，除掉它，正是我们把不再在意的那些排法丢弃的做法。这就是为什么 ${}^{n}C_{r}$ 总是小于（或等于）${}^{n}P_{r}$：每一个不计顺序的选法，都对应着好几个计顺序的排法。

两边都用同样的数字，能把对比拉得很锐。假设一个社团有 8 名成员。

第一种，社团要选一名主席、一名秘书、一名财政，三个不同的职务。顺序重要，所以这是排列：${}^{8}P_{3}=\frac{8!}{5!}=8\times 7\times 6=336$ 种。

这个捷径值得内化：${}^{8}P_{3}$ 就是从 8 往下数、最上面 3 个数的乘积。

第二种，反过来，社团要选 3 名成员组一个没有名目的委员会，没有职务，人人平等。顺序不重要，所以这是组合：${}^{8}C_{3}=\frac{8!}{3!\,5!}=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=\frac{336}{6}=56$