读懂高级数学中的指数（index numbers）

这一章常常排在课程的最末尾，学生碰到它时练得最少，可一旦核心想法落地，它其实是比较宽容的一个题目。一个指数（index number），只是把某个量在某一时刻，和同一个量在更早、被选定的那个时刻（叫基准）作比较的一种办法。

为了让比较容易，基准值总是被缩放到 $100$。所以指数 $125$ 表示这个量比基准高 $25\%$；指数 $90$ 表示它比基准低了 $10\%$。

这一条读法，「比 $100$ 高多少或低多少」，就是要贯穿整章的直觉。

课程里最常见的指数是价格指数，它把一件物品现在的价格 $P_{1}$，和它在基准年的价格 $P_{0}$ 作比较：

$$I = \frac{P_{1}}{P_{0}} \times 100$$

假设一公斤米在基准年是RM4，现在是RM5。它的价格指数是 $\dfrac{5}{4} \times 100 = 125$，告诉你价格涨了 $25\%$。

这条公式也能倒着用：知道指数和基准价，就能还原现价；知道指数和现价，就能求出基准价原本是多少。

这一章其余的一切，都建在这一个关系上。词语会变，生活成本、产量、数量，但结构永远是「现价除以基准，乘一百」。

单个价格指数只描述一件物品。可真正的题目问的是一篮子物品，而它们的分量并不相等，一个家庭花在米上的钱远多于花在盐上的，所以米价的变动理应算得更重。

这正是权重要做的事，把几个指数连同各自的权重合起来，就得到综合指数：

$$\bar{I} = \frac{\sum I_{i}\, w_{i}}{\sum w_{i}}$$

它就是各个指数的加权平均。假设三种建筑材料的价格指数是 $120$、$110$、$130$，权重是 $3$、$2$、$5$，反映每一种用得多少。

那么：

$$\bar{I} = \frac{120(3) + 110(2) + 130(5)}{3 + 2 + 5} = \frac{1230}{10} = 123$$

综合指数是 $123$，所以这些材料的总成本涨了大约 $23\%$。留意权重最大的那一项会把答案往它自己的指数拉，这正是加权的全部用意，也是检验你算术是否合理的一个好办法。

有时题目给你一个以某年为基准的指数，要你把它接到另一个基准上去。两个跨越同一个中间年份的指数可以串起来。

如果 $I_{2020/2018} = 110$（2020年以2018年为基准）而 $I_{2023/2020} = 120$（2023年以2020年为基准），那么以2018年为基准的2023年指数是：

$$I_{2023/2018} = \frac{I_{2023/2020} \times I_{2020/2018}}{100} = \frac{120 \times 110}{100} = 132$$

除以 $100$ 这一步是人们会忘的，它之所以在，是因为每个指数本身已经带了一个 $100$ 的因子，两个相乘会把它翻倍。这样想：先涨 $10\%$、再涨 $20\%$，不是涨 $30\%$，而是 $1.10 \times 1.20 = 1.32$，也就是涨了 $32\%$。

指数这一章，比几乎任何一章都更奖励整洁、带标签的步骤，因为算术很容易，出岔子的地方在于记账。

• 忘了 $\times 100$，于是把 $1.25$ 留在了该写 $125$ 的地方。
• 把综合指数除以物品的个数，而不是除以权重之和 $\sum w_{i}$。
• 跨基准年串两个指数时忘了除以 $100$。
• 把「上涨 $25\%$」读成「指数 $25$」，上涨 $25\%$ 对应的指数是 $125$。

指数这一章很特别：数学本身温和，但因为它篇幅短、又常在年末被赶着上，学生走进考场时几乎没怎么练过。这挺可惜，因为它可以是卷子里最靠得住的一组分之一。

一对一地教，老师能确保基准年的方向、加权、以及换基准那一步都稳当，而且能很快做到，因为这些想法并不深，只是容易搞混。我们的老师经验丰富；课程在线进行、以英语授课，而SPM试卷以马来文与英文双语命题。

如果指数在课上被一带而过，欢迎先上一堂一小时的付费试课，按老师本身的收费计算（每小时RM50起，视经验而定）。我们不会承诺成绩，但这恰恰是那种整洁、界定清楚的题目，专注地练一练往往就有回报。