用日常物价讲解指数

你几乎一定读过「物价较去年上涨」这样的新闻标题，却没想过背后的数学。那句话说的正是一个指数：把今天的价格和更早的参考价格相比，变成一个便于谈论的单一数字。

高级数学给你的，正是自己动手算出、读懂这个数字的工具，而不必只听别人怎么说。

严格来说，指数是显示某个量，通常是价格，相对于一个固定参照点（称为基期）变化了多少的数值。基期本身永远设为 100，所以指数为 100 表示没有变化，指数高于 100 表示上涨，指数低于 100 表示下跌。

举例，指数为 115 表示相对基期上涨了 15%。

最简单的指数，比较的是一件商品现在的价格与它在基期的价格：

$$I = \dfrac{Q_{1}}{Q_{0}} \times 100$$

这里 $Q_0$ 是基期的价格，$Q_1$ 是你要比较的那个时期的价格。假设一公斤大米在基期是 RM2.80，现在是 RM3.15。

价格指数就是 $I = \frac{3.15}{2.80}\times 100 \approx 112.5$，意思是价格自基期以来大约上涨了 12.5%。

同一条公式也常常反过来用。如果题目告诉你指数是 120，基期价格是 RM4.00，求现价就要把公式变形：$Q_1 = \frac{I \times Q_0}{100} = \frac{120\times 4.00}{100} = \text{RM}4.80$。

这一部分主要考的，就是能不能认出 $I$、$Q_0$、$Q_1$ 三者中哪一个是未知数，再把公式相应地变形。

单一商品的价格指数有用，但一个家庭在每样东西上的花费并不均等，大米、交通、房租在月度预算里的分量并不相同。综合指数把好几个价格指数合并成一个总体数字，按每样东西实际的重要程度加权：

$$\bar{I} = \dfrac{\sum W_{i} I_{i}}{\sum W_{i}}$$

每样商品都有一个指数 $I_i$ 和一个反映其相对重要性的权重 $W_i$，通常是购买的数量，或它占总支出的比例。假设三样商品的价格指数分别是 110、120、105，权重分别是 3、2、5。

综合指数就是 $\bar{I} = \frac{(3\times 110)+(2\times 120)+(5\times 105)}{3+2+5} = \frac{330+240+525}{10} = 109.5$。

注意综合指数偏向权重最大的那一项，这里权重为 5 的那项，把平均值拉得更靠近它自己的指数 105，而不是像 110、120、105 的简单不加权平均（那会是 $111.\overline{6}$）那样。这正是加权的全部意义：不让一件很少购买的商品，左右一个本该代表日常花费的数字。

基期并不是永远固定的，它只是一个更早的、被拿来当比较对象的时间点，之所以被选中，是因为它稳定、方便作为参照。当价格按照一个更新的基期重新计算指数时，这叫做换基，它会把新基期自己的指数重新设为恰好 100。

不管选的是哪一个基期，综合指数的解读方式都一样：数值高于 100 表示自那个基期以来整体价格上涨了，低于 100 表示下跌了。两个不同基期之间改变的，只是参照点，而不是计算背后的逻辑。

指数题通常会给你一张表格，有些格子填好了，有些留空，可能是价格、数量、指数或权重，从原本完整的一行里缺了一个。值得养成的习惯，是把每条公式当成一个有三个部分的等式，在动手计算之前先认清哪一个是未知数：

• 如果缺的是价格指数，直接用 $I=\frac{Q_1}{Q_0}\times 100$。
• 如果缺的是某个价格，先把公式变形求 $Q_1$ 或 $Q_0$，再代入数值。
• 如果缺的是综合指数，先把各项 $W_iI_i$ 的乘积加总，再除以权重总和，不要逐项相除。
• 如果缺的是某个权重，用综合指数公式，把其余已知量代入，再用代数解出那个权重。

由于评分是分析式的，在动手计算之前，先理清哪些值已知、哪些未知、用哪条公式把它们连起来，本身就能拿到方法分，也更容易看清自己到底需要哪一种变形。

指数这一章，代数本身很少难住学生，一旦看别人做过一次，变形 $I=\frac{Q_1}{Q_0}\times 100$ 并不难。真正难以独自掌握的是读懂真实的题目：看出表格里缺的是哪个值，或者理解为什么综合指数会偏向权重大的那一项。

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