函数：一切的基础

把符号剥掉，函数其实是个很平常的念头：它是一条拿一个输入、恰好还回一个输出的规则。放一个数进去，照规则走，出来一个数。

自动贩卖机就是一个函数，按 B4，你每次都拿到同一样零食。一台按同一个键有时给你两样不同零食的机器，是靠不住的，而在数学里它根本就不算函数。

高级数学给这些日常词起了精确的名字。输入叫原象；它产生的输出叫象。

允许的全部输入构成定义域，规则实际产生的全部输出构成值域。最要紧的一条规则，就是贩卖机那条：每个原象恰好只有一个象。

正是这一个条件，让一条规则成为函数。

记号是很多学生最先觉得迷失的地方，但它只是那条规则的简写。当你看到

$$f(x) = 2x + 3$$

把它读成：「函数 $f$ 拿一个输入，把它翻倍，再加 $3$。」那个 $x$ 只是一个占位符，代表你放进去的任何东西。

所以 $f(5)$ 就是把 $5$ 放到 $x$ 的位置：$f(5) = 2(5) + 3 = 13$。你也会见到映射写法，$f : x \mapsto 2x + 3$，说的是同一件事，那个箭头读作「映到」。

这一章其余的一切，都建立在这个简单的代入动作之上。如果你能可靠地把一个数、甚至另一个式子，放到 $x$ 的位置再化简，你就已经握有整个课题所倚赖的核心本领。

复合函数，就是你先用一个函数、再把它的输出直接喂进第二个函数所得到的东西。若 $f(x) = 2x + 3$ 且 $g(x) = x^{2}$，那么 $fg(x)$ 的意思是「先做 $g$，再对结果做 $f$」。

你把 $g(x)$ 代入 $f$：

$$fg(x) = f(x^{2}) = 2x^{2} + 3$$

顺序很要紧，这一点绊倒了很多学生。如果你反过来、先做 $f$，得到的是完全不同的结果：

$$gf(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)^{2}$$

反函数，写作 $f^{-1}$，把 $f$ 做的事撤销掉。如果 $f$ 把 $3$ 送到 $9$，那么 $f^{-1}$ 就把 $9$ 送回 $3$。

先用一个函数、再用它的反函数，就会把你带回出发点：$ff^{-1}(x) = x$。

求反函数，有一套靠得住的三步走。拿 $f(x) = 2x + 3$。

先写 $y = 2x + 3$。接着把 $x$ 变成主项：$y - 3 = 2x$，所以 $x = \dfrac{y - 3}{2}$。

最后把字母换回 $x$，把反函数写成一个函数：

$$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$

你可以用复合来检查它对不对：$f\big(f^{-1}(x)\big) = 2 \cdot \dfrac{x - 3}{2} + 3 = x$，还原成了原来的输入，正如反函数应当做到的。并不是每个函数都有反函数，只有一对一的函数才有，因为反函数本身也得遵守「一个输入、一个输出」这条规则。

函数排在最前，是因为它后面几乎一切都是穿了某件戏服的函数。二次式是函数。

指数或对数是函数。当你在中五的章节里做微分或积分时，你处理的都是函数。

原象、象、定义域、值域这套语言从不消失，它只是被套用到更丰富的规则上。

这就是为什么函数掌握得不牢，会悄悄让后面的章节显得比实际更难。如果代入很虚，二次式就跟着虚；如果你想象不出一条规则和它的反函数，后面的图像内容就显得随意。

把这第一章弄得真正扎实所花的时间，会在整整两年里连本带利地还回来。

正因为函数托着这么多东西，这里的一个小缺口会在后面的一切里回响，而且它常常看不见，被藏成一句「我就是后面几章不行」。一对一地教，老师能把你在比如微分上的挣扎，一路追回到「函数是什么」这个还没稳的念头，去修那个地基，而不是治那个症状。

我们的老师经验丰富；课程在线进行、以英语授课，而SPM试卷以马来文与英文双语命题。

如果开头那几章你从来没觉得踏实，欢迎先上一堂一小时的付费试课，按老师本身的收费计算（每小时RM50起，视经验而定）。我们不会承诺成绩，但我们能帮你把这个地基筑起来，让高级数学其余的部分有个该有的立足处。