Penyelesaian Segi Tiga Contoh Kerja (KBAT)

Q: Bagaimana saya tahu bila perlu mencari segi tiga kedua?

Kes kabur hanya timbul dengan dua sisi dan sudut bukan kandung (susunan SSA). Jika sisi bertentangan sudut yang diberi lebih pendek daripada sisi lain yang diberi, uji kedua-dua sudut tirus dan pasangan cakahnya, simpan mana-mana yang membiarkan hasil tambah sudut di bawah 180∘180^{\circ}180∘. Dengan sudut kandung, atau apabila sisi bertentangan itu yang lebih panjang, segi tiga itu unik.

Q: Mengapa petua kosinus kadangkala memberi dua jawapan di sini?

Ditulis sebagai kuadratik dalam sisi yang tidak diketahui, c2−2bcos⁡A c+(b2−a2)=0c^{2}-2b\cos A\,c+(b^{2}-a^{2})=0c2−2bcosAc+(b2−a2)=0, petua kosinus boleh mempunyai dua punca positif. Setiap punca ialah sisi ketiga bagi salah satu daripada dua segi tiga yang muat pada data, iaitu kekaburan sama yang ditunjukkan petua sinus melalui sudut tirus dan cakah.

Q: Adakah jarak serenjang dari titik ke garis sentiasa suatu tinggi?

Ya, apabila titik itu bucu dan garis itu mengandungi sisi bertentangan: serenjang itu ialah tinggi segi tiga bagi tapak tersebut. Anda boleh mencarinya daripada Luas=12×tapak×tinggi\text{Luas}=\tfrac{1}{2}\times\text{tapak}\times\text{tinggi}Luas=21×tapak×tinggi sebaik anda ada luas, atau terus sebagai sisi yang diketahui didarab sinus sudut yang dibentuknya dengan tapak.

Q: Apa yang memberitahu saya sudut itu cakah sebelum menekan kalkulator?

Kosinus negatif. Apabila petua kosinus yang disusun semula memberi cos⁡θ<0\cos\theta<0cosθ<0, sudut itu terletak antara 90∘90^{\circ}90∘ dan 180∘180^{\circ}180∘. Sinusnya kekal positif, jadi rumus luas tidak terjejas, dan sisi bertentangan sudut itu akan menjadi yang terpanjang dalam segi tiga.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Penyelesaian Segi Tiga sukar ini meminta anda memegang dua idea serentak. Yang pertama ialah kes kabur: diberi dua sisi dan sudut bukan kandung, petua sinus boleh membenarkan dua segi tiga berbeza, dan anda perlu menguji sama ada kedua-duanya benar-benar muat.

Yang kedua menyambung pengiraan luas kepada tinggi serenjang, menghubungkan rumus luas dengan idea tapak dan tingginya. Yang ketiga ialah petak ukur yang dipotong oleh pepenjuru kepada dua segi tiga, tempat satu segi tiga menyuap sisi kongsi kepada yang berikutnya dan sudut cakah muncul.

Nombornya kekal cukup kemas untuk diikuti, tetapi penaakulan itulah tempat markah berada. Gunakan set ini dengan jujur, tutup penyelesaian, cuba setiap soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah semak baris demi baris.

Jika jawapan anda berbeza, tentukan dahulu sama ada jurang itu aritmetik atau pilihan sebenar, seperti sudut tirus lawan cakah. Lakaran berlabel yang teliti lebih bernilai di sini berbanding mana-mana set yang lebih mudah.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Setiap satu memberi ganjaran kepada pelan yang dibuat sebelum baris algebra pertama: tentukan petua mana yang memulakan soalan, apa hasil perantaraannya, dan bagaimana anda akan menyemaknya secara bebas pada akhir.

Q1[6 marks]

Dalam segi tiga $ABC$ , $a = 6$ cm, $b = 8$ cm dan $\angle A = 40^{\circ}$ . Tunjukkan bahawa dua segi tiga berbeza muat pada data ini, dan cari $\angle B$ , $\angle C$ serta sisi $c$ bagi setiap satu.

Show worked solution

Anda diberi dua sisi dan sudut bukan kandung (sudut $A$ tidak berada antara $a$ dan $b$ ). Ini kes kabur, jadi mulakan dengan petua sinus untuk $\angle B$ dan berwaspada terhadap penyelesaian kedua:

\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{8\sin 40^{\circ}}{6}=\dfrac{8\times0.6428}{6}=0.8571

Dua sudut antara $0^{\circ}$ dan $180^{\circ}$ berkongsi sinus ini, satu tirus dan pasangan cakahnya $180^{\circ}$ tolak sudut itu:

B_{1}=\sin^{-1}(0.8571)=58.99^{\circ}\qquad B_{2}=180^{\circ}-58.99^{\circ}=121.01^{\circ}

Kedua-duanya lulus ujian hasil tambah sudut, kerana dalam setiap kes $A+B<180^{\circ}$ : $40^{\circ}+58.99^{\circ}=98.99^{\circ}$ dan $40^{\circ}+121.01^{\circ}=161.01^{\circ}$ . Jadi dua segi tiga benar-benar muat.

Ambil setiap satu bergilir.

Segi tiga 1 (dengan $B_{1}=58.99^{\circ}$ ): sudut ketiga dan sisi terakhir ialah

C_{1}=180^{\circ}-40^{\circ}-58.99^{\circ}=81.01^{\circ},\quad c_{1}=\dfrac{a\sin C_{1}}{\sin A}=\dfrac{6\sin 81.01^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}=9.22

Segi tiga 2 (dengan $B_{2}=121.01^{\circ}$ ):

C_{2}=180^{\circ}-40^{\circ}-121.01^{\circ}=18.99^{\circ},\quad c_{2}=\dfrac{6\sin 18.99^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}=3.04

Jawapan

Segi tiga 1: $\angle B=58.99^{\circ}$ , $\angle C=81.01^{\circ}$ , $c=9.22$ cm. Segi tiga 2: $\angle B=121.01^{\circ}$ , $\angle C=18.99^{\circ}$ , $c=3.04$ cm.

Semakan kemas menganggap petua kosinus sebagai kuadratik dalam $c$ : $c^{2}-2b\cos A\,c+(b^{2}-a^{2})=0$ menjadi $c^{2}-12.2567c+28=0$ , dengan dua puncanya $9.22$ dan $3.04$ tepat kedua-dua nilai $c$ .

Bila kes kabur benar-benar kabur?

Hanya apabila anda diberi dua sisi dan sudut bukan kandung, dan sisi bertentangan sudut yang diberi ialah yang lebih pendek antara kedua-duanya. Di sini $a=6$ menghadap sudut $40^{\circ}$ dan lebih pendek daripada $b=8$ , yang membuka pintu kepada dua segi tiga.

Jika sisi bertentangan sudut yang diberi ialah yang lebih panjang, hanya penyelesaian tirus akan bertahan.

Q2[7 marks]

Dalam segi tiga $ABC$ , $AB = 8$ cm, $AC = 15$ cm dan $\angle A = 60^{\circ}$ . Cari (a) panjang $BC$ , (b) luas segi tiga, dan (c) jarak serenjang dari $B$ ke $AC$ .

Show worked solution

(a) Dua sisi dengan sudut kandung $A$ menunjuk kepada petua kosinus. Dengan $BC$ bertentangan $A$ :

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2(AB)(AC)\cos A=8^{2}+15^{2}-2(8)(15)\cos 60^{\circ}

BC^{2}=64+225-240(0.5)=289-120=169\;\Rightarrow\; BC=\sqrt{169}=13

(b) Luas menggunakan dua sisi yang mengandung $A$ , iaitu $AB$ dan $AC$ , dengan $\sin 60^{\circ}=0.8660$ :

\text{Luas}=\tfrac{1}{2}(AB)(AC)\sin A=\tfrac{1}{2}(8)(15)(0.8660)=60\times0.8660=51.96

(c) Jarak serenjang dari $B$ ke $AC$ ialah tinggi segi tiga apabila $AC$ diambil sebagai tapak. Oleh sebab luas bersamaan $\tfrac{1}{2}\times\text{tapak}\times\text{tinggi}$ , selesaikan untuk tinggi $h$ :

51.96=\tfrac{1}{2}(15)(h)\;\Rightarrow\; h=\dfrac{2\times51.96}{15}=\dfrac{103.92}{15}=6.93

Jawapan

$BC = 13$ cm, luasnya ialah $51.96$ cm $^{2}$ , dan jarak serenjang dari $B$ ke $AC$ ialah $6.93$ cm (2 t.p.). Semak tinggi secara terus: menjatuhkan serenjang dari $B$ ke $AC$ membentuk segi tiga bersudut tegak dengan hipotenus $AB=8$ dan sudut $A=60^{\circ}$ , jadi tingginya ialah $AB\sin A=8\sin 60^{\circ}=6.93$ , yang sepadan.

Q3[7 marks]

Seorang jurukur merekod petak sisi empat $ABCD$ . Dalam segi tiga $ABC$ , $AB = 3$ m, $BC = 5$ m dan $\angle ABC = 120^{\circ}$ .

Dalam segi tiga $ACD$ , sisinya ialah $AC$ , $CD = 4$ m dan $AD = 9$ m. Cari (a) panjang pepenjuru $AC$ , dan (b) jumlah luas petak $ABCD$ .

Show worked solution

(a) Pepenjuru $AC$ dikongsi oleh kedua-dua segi tiga, jadi carinya dahulu daripada segi tiga $ABC$ . Ia bertentangan dengan sudut yang diberi $\angle ABC$ , jadi gunakan petua kosinus dengan sudut itu.

Oleh sebab $120^{\circ}$ cakah, $\cos 120^{\circ}=-0.5$ :

AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2(AB)(BC)\cos 120^{\circ}=3^{2}+5^{2}-2(3)(5)(-0.5)

AC^{2}=9+25+15=49\;\Rightarrow\; AC=\sqrt{49}=7

(b) Cari luas setiap segi tiga dan tambahkannya. Segi tiga $ABC$ mempunyai sudut kandung di $B$ antara $AB$ dan $BC$ :

\text{Luas}_{ABC}=\tfrac{1}{2}(AB)(BC)\sin 120^{\circ}=\tfrac{1}{2}(3)(5)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\tfrac{15\sqrt{3}}{4}=6.4952

Segi tiga $ACD$ mempunyai tiga sisi yang diketahui $AC=7$ , $CD=4$ dan $AD=9$ , jadi pulihkan sudut dengan petua kosinus. Sudut $ACD$ , di $C$ antara $CA$ dan $CD$ , menghadap $AD=9$ :

\cos(\angle ACD)=\dfrac{AC^{2}+CD^{2}-AD^{2}}{2(AC)(CD)}=\dfrac{49+16-81}{2(7)(4)}=\dfrac{-16}{56}=-\dfrac{2}{7}

Kosinus negatif menunjukkan sudut itu cakah: $\angle ACD=\cos^{-1}\!\left(-\tfrac{2}{7}\right)=106.60^{\circ}$ . Ambil sinusnya daripada $\sin^{2}+\cos^{2}=1$ , yang mengelak pembundaran sudut: $\sin(\angle ACD)=\sqrt{1-\left(\tfrac{2}{7}\right)^{2}}=\tfrac{\sqrt{45}}{7}\approx0.9583$ .

Luasnya ialah

\text{Luas}_{ACD}=\tfrac{1}{2}(AC)(CD)\sin(\angle ACD)=\tfrac{1}{2}(7)(4)\left(\tfrac{\sqrt{45}}{7}\right)=2\sqrt{45}=13.4164

Tambahkan kedua-dua luas, kekalkan ketepatan penuh sehingga baris akhir:

\text{Jumlah}=6.4952+13.4164=19.9116

Jawapan

Pepenjuru $AC = 7$ m dan jumlah luas petak ialah $19.91$ m $^{2}$ (2 t.p.). Kekalkan luas yang tidak dibundarkan sehingga akhir, menambah bahagian yang dibundarkan $6.50+13.42$ memberi $19.92$ , suatu kesan pembundaran kecil dan bukan jawapan yang lebih baik.

Q4[6 marks]

Sebuah kapal belayar dari pelabuhan $P$ pada bearing $030^{\circ}$ sejauh $7$ km ke titik $A$ . Pada masa yang sama, kapal kedua belayar dari $P$ pada bearing $130^{\circ}$ sejauh $9$ km ke titik $B$ .

Cari (a) jarak $AB$ , dan (b) bearing $B$ dari $A$ .

Show worked solution

Kedua-dua bearing diukur dari utara di $P$ , jadi sudut antara laluan kedua-dua kapal ialah beza antaranya: $\angle APB=130^{\circ}-030^{\circ}=100^{\circ}$ . Oleh sebab $PA=7$ dan $PB=9$ mengapit sudut ini, gunakan petua kosinus untuk (a).

AB^{2}=PA^{2}+PB^{2}-2(PA)(PB)\cos100^{\circ}=7^{2}+9^{2}-2(7)(9)(-0.1736)

AB^{2}=49+81+21.88=151.88\;\Rightarrow\;AB=\sqrt{151.88}=12.32\text{ km}

(b) Cari $\angle PAB$ dahulu dengan petua sinus, kemudian tukarkannya kepada bearing:

\sin(\angle PAB)=\dfrac{PB\sin(\angle APB)}{AB}=\dfrac{9\sin100^{\circ}}{12.32}=\dfrac{9\times0.9848}{12.32}=0.7192\;\Rightarrow\;\angle PAB=45.99^{\circ}

Bearing $P$ dari $A$ ialah bearing songsang bagi bearing $A$ dari $P$ , iaitu $030^{\circ}+180^{\circ}=210^{\circ}$ . Lakaran menunjukkan $B$ berada di sebelah yang mengurangkan bearing ini apabila diputar sebanyak $\angle PAB$ , jadi:

\text{Bearing }B\text{ dari }A=210^{\circ}-45.99^{\circ}=164.0^{\circ}

Jawapan

$AB=12.32$ km dan bearing $B$ dari $A$ ialah $164.0^{\circ}$ . Semakan: sudut ketiga $\angle PBA=180^{\circ}-100^{\circ}-45.99^{\circ}=34.01^{\circ}$ memberi $PA/\sin(\angle PBA)=7/\sin34.01^{\circ}\approx12.51$ , sepadan dengan $AB/\sin100^{\circ}\approx12.51$ .

Q5[6 marks]

Sebuah tiang menegak berdiri dengan tapaknya di titik $Q$ di atas tanah mengufuk. Dari titik $A$ di atas tanah, $AQ=15$ m dan sudut dongakan bahagian atas tiang, $T$ , dari $A$ ialah $28^{\circ}$ .

Satu lagi titik $B$ juga berada di atas tanah yang sama, dengan $AB=20$ m dan $\angle QAB=65^{\circ}$ . Cari (a) jarak $BQ$ , (b) tinggi tiang, dan (c) sudut dongakan $T$ dari $B$ .

Show worked solution

(a) Titik $A$ , $B$ dan $Q$ semuanya berada di atas tanah mengufuk, jadi segi tiga $ABQ$ ialah segi tiga biasa. Oleh sebab $AQ$ dan $AB$ mengapit sudut yang diberi, gunakan petua kosinus:

BQ^{2}=AQ^{2}+AB^{2}-2(AQ)(AB)\cos65^{\circ}=15^{2}+20^{2}-2(15)(20)(0.4226)

BQ^{2}=225+400-253.56=371.44\;\Rightarrow\;BQ=\sqrt{371.44}=19.27\text{ m}

(b) $TQ$ menegak, jadi segi tiga $AQT$ bersudut tegak di $Q$ , dan sudut dongakan dari $A$ menghubungkan tinggi terus dengan $AQ$ :

TQ=AQ\tan28^{\circ}=15\times0.5317=7.98\text{ m}

(c) Penaakulan yang sama terpakai dalam segi tiga bersudut tegak $BQT$ , menggunakan tinggi yang baru diketahui dan jarak $BQ$ daripada (a):

\tan(\angle TBQ)=\dfrac{TQ}{BQ}=\dfrac{7.98}{19.27}=0.4141\;\Rightarrow\;\angle TBQ=22.49^{\circ}

Jawapan

$BQ=19.27$ m, tiang itu setinggi $7.98$ m, dan sudut dongakan dari $B$ ialah $22.49^{\circ}$ . Semakan akal: $B$ lebih jauh daripada tapak tiang berbanding $A$ ( $19.27>15$ ), jadi sudut dongakannya sepatutnya lebih kecil, $22.49^{\circ}<28^{\circ}$ , seperti yang dijangka.

Q6[5 marks]

Tiga tiang lampu berdiri di titik $A$ , $B$ dan $C$ , untuk disambung dengan satu laluan bulat yang melalui ketiga-tiganya (bulatan yang membulatkan segi tiga $ABC$ ). Dalam segi tiga $ABC$ , $\angle B=72^{\circ}$ , $\angle C=48^{\circ}$ dan $AC=10$ m.

Cari (a) panjang $AB$ dan $BC$ , dan (b) jejari laluan bulat itu.

Show worked solution

Ketiga-tiga sudut segi tiga berjumlah $180^{\circ}$ , jadi $\angle A=180^{\circ}-72^{\circ}-48^{\circ}=60^{\circ}$ . Sisi $AC$ bertentangan $\angle B$ , jadi nisbah tetap petua sinus (dua kali jejari bulatan) sudah ditetapkan oleh pasangan yang telah anda ketahui:

2R=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{10}{\sin72^{\circ}}=\dfrac{10}{0.9511}=10.51\text{ m}

(a) Setiap sisi bersamaan $2R$ didarab sinus sudut bertentangannya, jadi $BC$ (bertentangan $A$ ) dan $AB$ (bertentangan $C$ ) terus diperoleh:

BC=2R\sin A=10.51\times\sin60^{\circ}=10.51\times0.8660=9.11\text{ m}

AB=2R\sin C=10.51\times\sin48^{\circ}=10.51\times0.7431=7.81\text{ m}

(b) Jejari laluan bulat ialah separuh nisbah tetap ini:

R=\dfrac{10.51}{2}=5.26\text{ m}

Jawapan

$AB\approx7.81$ m, $BC\approx9.11$ m, dan laluan bulat itu berjejari $R\approx5.26$ m. Semakan: mengira nisbah yang sama daripada $BC$ memberi $BC/\sin A=9.11/\sin60^{\circ}\approx10.52$ , sepadan dengan $2R\approx10.51$ daripada nisbah asal.

Q7[6 marks]

Dalam segi tiga $ABD$ , $AB=10$ cm, $\angle ABD=50^{\circ}$ dan $\angle ADB=100^{\circ}$ , dengan $D$ terletak pada garis lurus $BC$ . Diberi $DC=6$ cm, cari (a) panjang $AD$ , (b) panjang $AC$ , dan (c) $\angle BAC$ segi tiga $ABC$ .

Show worked solution

(a) Sudut segi tiga $ABD$ berjumlah $180^{\circ}$ , jadi $\angle BAD=180^{\circ}-50^{\circ}-100^{\circ}=30^{\circ}$ . Gunakan petua sinus untuk mencari $AD$ :

AD=\dfrac{AB\sin(\angle ABD)}{\sin(\angle ADB)}=\dfrac{10\sin50^{\circ}}{\sin100^{\circ}}=\dfrac{10\times0.7660}{0.9848}=7.78\text{ cm}

(b) Oleh sebab $D$ berada pada garis lurus $BC$ , $\angle ADC$ ialah pelengkap $\angle ADB$ : $\angle ADC=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$ . Segi tiga $ADC$ kini mempunyai dua sisi dan sudut kandung, jadi gunakan petua kosinus:

AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}-2(AD)(DC)\cos80^{\circ}=7.78^{2}+6^{2}-2(7.78)(6)(0.1736)

AC^{2}=60.53+36-16.21=80.32\;\Rightarrow\;AC=\sqrt{80.32}=8.96\text{ cm}

(c) $\angle BAC$ ialah $\angle BAD$ tambah $\angle DAC$ , jadi cari $\angle DAC$ daripada segi tiga $ADC$ dengan petua sinus:

\sin(\angle DAC)=\dfrac{DC\sin(\angle ADC)}{AC}=\dfrac{6\sin80^{\circ}}{8.96}=\dfrac{6\times0.9848}{8.96}=0.6594\;\Rightarrow\;\angle DAC=41.25^{\circ}

\angle BAC=\angle BAD+\angle DAC=30^{\circ}+41.25^{\circ}=71.25^{\circ}

Jawapan

$AD\approx7.78$ cm, $AC\approx8.96$ cm dan $\angle BAC\approx71.25^{\circ}$ . Semakan: ketiga-tiga sudut segi tiga $ABC$ ialah $50^{\circ}$ di $B$ , $180^{\circ}-80^{\circ}-41.25^{\circ}=58.75^{\circ}$ di $C$ , dan $71.25^{\circ}$ di $A$ , jumlahnya tepat $180^{\circ}$ .

Q8[5 marks]

Sebidang taman berbentuk segi tiga mempunyai sisi $7$ m, $9$ m dan $13$ m. (a) Tanpa mengira saiz tepatnya, tentukan sama ada sudut terbesar taman itu tirus atau cakah, dengan memberikan sebab.

(b) Cari saiz sudut terbesar itu. (c) Cari luas taman itu.

Show worked solution

(a) Sudut terbesar sentiasa bertentangan dengan sisi terpanjang, jadi ia ialah sudut $C$ bertentangan sisi $13$ m. Menguji tanda pengangka petua kosinus menentukan jenisnya tanpa menyelesaikan sudut itu:

a^{2}+b^{2}-c^{2}=7^{2}+9^{2}-13^{2}=49+81-169=-39

Oleh sebab $a^{2}+b^{2}-c^{2}<0$ , kosinus sudut terbesar adalah negatif, jadi $C$ cakah.

(b) Bahagikan dengan $2ab$ untuk mendapat $\cos C$ , kemudian ambil kosinus songsang:

\cos C=\dfrac{-39}{2(7)(9)}=\dfrac{-39}{126}=-0.3095\;\Rightarrow\;C=\cos^{-1}(-0.3095)=108.03^{\circ}

\text{Luas}=\tfrac{1}{2}(7)(9)\sin108.03^{\circ}=31.5\times0.9509=29.95\text{ m}^{2}

Jawapan

Sudut terbesar itu cakah, $C\approx108.03^{\circ}$ , dan luas taman itu ialah $29.95$ m $^{2}$ . Semakan: rumus Heron dengan $s=\tfrac{7+9+13}{2}=14.5$ memberi $\sqrt{14.5\times7.5\times5.5\times1.5}=\sqrt{897.19}\approx29.95$ , luas yang sama.

Pengajaran merentasi ketiga-tiga ini ialah soalan sukar jarang aritmetik yang lebih sukar, ia keputusan yang dibuat dengan betul. Tanya sama ada data boleh muat lebih daripada satu segi tiga, sama ada sudut itu tirus atau cakah, dan sama ada panjang itu sisi atau tinggi.

Buat keputusan itu jelas di atas kertas, kekalkan nilai perantaraan tidak dibundarkan, dan tamatkan dengan semakan bebas. Begitulah soalan yang mencabar menjadi urutan langkah biasa yang mantap.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini melatih pertimbangan yang diuji oleh soalan Penyelesaian Segi Tiga sukar. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Kes kabur muncul dengan dua sisi dan sudut bukan kandung; apabila sisi bertentangan sudut yang diberi ialah yang lebih pendek, uji kedua-dua sudut tirus dan pasangan cakahnya $180^{\circ}$ tolak sudut itu.
Calon segi tiga kedua hanya sah jika hasil tambah sudut kekal di bawah $180^{\circ}$ ; semak $A+B<180^{\circ}$ sebelum anda menyimpannya.
Menganggap petua kosinus sebagai kuadratik dalam sisi yang tidak diketahui, $c^{2}-2b\cos A\,c+(b^{2}-a^{2})=0$ , memberi kedua-dua panjang kes kabur sekali gus dan menyemak silang kerja petua sinus.
Jarak serenjang dari bucu ke sisi bertentangan ialah tinggi: gunakan $\text{Luas}=\tfrac{1}{2}\times\text{tapak}\times\text{tinggi}$ , atau bacanya terus sebagai (satu sisi) $\times\sin(\text{sudut})$ .
Bahagikan sisi empat sepanjang pepenjuru, selesaikan segi tiga yang membawa sudut yang diberi dahulu, kemudian salurkan sisi kongsi ke dalam segi tiga kedua.
Kosinus negatif menandakan sudut cakah; sinusnya masih positif, jadi rumus luas $\tfrac{1}{2}ab\sin C$ berfungsi tanpa perubahan. Kekalkan nilai perantaraan tidak dibundarkan, kerana pemarkahan analitik memberi ganjaran kepada kaedah yang jelas walaupun digit akhir halus.

Bagaimana guru membantu

Soalan paling sukar di sini bergantung pada satu keputusan, sama ada segi tiga kedua wujud, atau sama ada panjang itu sisi atau tinggi, dan di situlah guru yang baik menampakkan nilainya. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami berhenti pada titik keputusan itu, meminta anda menghujahkan kedua-dua kemungkinan dengan lantang, dan barulah membiarkan algebra berjalan, supaya pertimbangan itu menjadi milik anda dan bukan peraturan hafalan.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang telah melihat tempat soalan ini menjatuhkan pelajar dan menghadangnya awal. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya tahu bila perlu mencari segi tiga kedua?

Kes kabur hanya timbul dengan dua sisi dan sudut bukan kandung (susunan SSA). Jika sisi bertentangan sudut yang diberi lebih pendek daripada sisi lain yang diberi, uji kedua-dua sudut tirus dan pasangan cakahnya, simpan mana-mana yang membiarkan hasil tambah sudut di bawah $180^{\circ}$ .

Dengan sudut kandung, atau apabila sisi bertentangan itu yang lebih panjang, segi tiga itu unik.

Mengapa petua kosinus kadangkala memberi dua jawapan di sini?

Ditulis sebagai kuadratik dalam sisi yang tidak diketahui, $c^{2}-2b\cos A\,c+(b^{2}-a^{2})=0$ , petua kosinus boleh mempunyai dua punca positif. Setiap punca ialah sisi ketiga bagi salah satu daripada dua segi tiga yang muat pada data, iaitu kekaburan sama yang ditunjukkan petua sinus melalui sudut tirus dan cakah.

Adakah jarak serenjang dari titik ke garis sentiasa suatu tinggi?

Ya, apabila titik itu bucu dan garis itu mengandungi sisi bertentangan: serenjang itu ialah tinggi segi tiga bagi tapak tersebut. Anda boleh mencarinya daripada $\text{Luas}=\tfrac{1}{2}\times\text{tapak}\times\text{tinggi}$ sebaik anda ada luas, atau terus sebagai sisi yang diketahui didarab sinus sudut yang dibentuknya dengan tapak.

Apa yang memberitahu saya sudut itu cakah sebelum menekan kalkulator?

Kosinus negatif. Apabila petua kosinus yang disusun semula memberi $\cos\theta<0$ , sudut itu terletak antara $90^{\circ}$ dan $180^{\circ}$ .

Sinusnya kekal positif, jadi rumus luas tidak terjejas, dan sisi bertentangan sudut itu akan menjadi yang terpanjang dalam segi tiga.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Penyelesaian Segi Tiga, Contoh Kerja (KBAT)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?