Pengaturcaraan Linear Contoh Kerja (KBAT)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Pengaturcaraan Linear sukar ini meminta anda memegang dua idea serentak. Yang pertama ialah masalah pemodelan penuh: baca dua had sumber dan dua peraturan pameran, tukarkannya kepada empat ketaksamaan, cari setiap bucu rantau yang terhasil, kemudian maksimumkan untung, dan sahkan jawapannya nombor bulat, seperti yang dituntut konteks.

Yang kedua dan ketiga menambah kelokan KBAT yang tulen: satu menunjukkan apa yang berlaku apabila objektif selari dengan suatu tepi, jadi maksimum dikongsi sepanjang tepi penuh dan bukan terpaku pada satu bucu; satu lagi menganggap suatu pekali tidak diketahui dan meminta julat yang mengekalkan optimum pada satu bucu tertentu. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca lebih lanjut.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Kaedahnya sama seperti biasa, sempadan, bucu, objektif, tetapi setiap contoh menekannya sedikit lebih kuat, jadi kekalkan kerja anda cukup kemas untuk mempertahankan setiap bucu dan setiap perbandingan.

Q1[7 marks]

Seorang tukang membuat $x$ gelang dan $y$ rantai leher setiap minggu. Setiap barang menggunakan 1 unit dawai perak, dan paling banyak 10 unit tersedia.

Setiap gelang menggunakan 1 pek manik dan setiap rantai leher menggunakan 2 pek, dengan paling banyak 14 pek tersedia. Untuk pameran, dia menyimpan sekurang-kurangnya 2 gelang dan sekurang-kurangnya 1 rantai leher.

Untung ialah $P=3x+5y$ ringgit. (a) Tulis empat ketaksamaan.

(b) Cari bucu rantau itu. (c) Cari bilangan setiap barang untuk untung maksimum, dan nyatakan untung itu.

Show worked solution

(a) Baca setiap had sebagai ketaksamaan. Dawai perak: setiap barang guna 1 unit, paling banyak 10 unit, jadi $x+y\le 10$ .

Manik: $1$ pek setiap gelang dan $2$ setiap rantai leher, paling banyak 14, jadi $x+2y\le 14$ . Peraturan pameran memberi $x\ge 2$ dan $y\ge 1$ .

x+y\le 10,\quad x+2y\le 14,\quad x\ge 2,\quad y\ge 1

(b) Sempadannya ialah $x+y=10$ , $x+2y=14$ , $x=2$ dan $y=1$ . Selesaikannya secara berpasangan dan kekalkan persilangan yang memenuhi keseluruhan set.

x=2,\; y=1 \;\Rightarrow\; (2,1)

y=1,\; x+y=10 \;\Rightarrow\; x=9,\quad (9,1)

(x+2y)-(x+y)=14-10 \;\Rightarrow\; y=4,\; x=6,\quad (6,4)

x=2,\; x+2y=14 \;\Rightarrow\; 2y=12,\; y=6,\quad (2,6)

Maka rantau itu ialah sisi empat dengan bucu $(2,1)$ , $(9,1)$ , $(6,4)$ dan $(2,6)$ .

\text{Di }(2,1):\; P=3(2)+5(1)=6+5=11

\text{Di }(9,1):\; P=3(9)+5(1)=27+5=32

\text{Di }(6,4):\; P=3(6)+5(4)=18+20=38

\text{Di }(2,6):\; P=3(2)+5(6)=6+30=36

Jawapan

Untung maksimum ialah $P=\text{RM}\,38$ , dengan membuat $6$ gelang dan $4$ rantai leher. Kedua-duanya nombor bulat, jadi tiada pembundaran diperlukan.

Berbaloi menyemak dua pesaing terhampir, $(2,6)$ memberi $36$ dan $(9,1)$ memberi $32$ , kerana satu kesilapan aritmetik boleh memahkotai bucu yang salah.

Q2[6 marks]

Suatu rantau tersaur ditakrifkan oleh $x\ge 1$ , $y\ge 2$ dan $x+y\le 8$ . Fungsi objektifnya ialah $k=5x+5y$ .

Cari nilai maksimum $k$ , dan huraikan sepenuhnya di mana dalam rantau ia dicapai.

Show worked solution

Mula-mula pakukan bucu. Sempadannya ialah $x=1$ , $y=2$ dan $x+y=8$ ; selesaikannya secara berpasangan.

x=1,\; y=2 \;\Rightarrow\; (1,2)

x=1,\; x+y=8 \;\Rightarrow\; y=7,\quad (1,7)

y=2,\; x+y=8 \;\Rightarrow\; x=6,\quad (6,2)

Maka rantau itu ialah segi tiga dengan bucu $(1,2)$ , $(1,7)$ dan $(6,2)$ . Nilaikan $k=5x+5y$ pada setiap satu:

\text{Di }(1,2):\; k=5(1)+5(2)=5+10=15

\text{Di }(1,7):\; k=5(1)+5(7)=5+35=40

\text{Di }(6,2):\; k=5(6)+5(2)=30+10=40

Dua bucu seri di puncak dengan $k=40$ . Itulah petunjuk bahawa objektif selari dengan tepi yang menyambungkannya.

Tulis semula objektif sebagai $k=5(x+y)$ : ia bergantung hanya pada $x+y$ , dan tepi dari $(1,7)$ ke $(6,2)$ ialah tepat garis $x+y=8$ , nilai terbesar yang $x+y$ boleh capai dalam rantau.

Jawapan

Nilai maksimum ialah $k=40$ . Oleh sebab $k=5(x+y)$ malar di sepanjang garis $x+y=8$ , ia dicapai bukan hanya pada satu bucu tetapi pada setiap titik di sepanjang tepi penuh dari $(1,7)$ ke $(6,2)$ .

Mana-mana titik pada tepi itu, contohnya $(3,5)$ , tempat $k=5(8)=40$ , ialah jawapan optimum yang sama sah.

Q3[7 marks]

Suatu rantau tersaur ditakrifkan oleh $x\ge 0$ , $y\ge 0$ , $x+2y\le 10$ dan $3x+2y\le 18$ . Fungsi objektifnya ialah $k=px+y$ , dengan $p>0$ .

(a) Cari empat bucu rantau itu. (b) Cari julat nilai $p$ yang menjadikan maksimum $k$ berlaku pada bucu di paksi- $x$ positif.

Show worked solution

(a) Selesaikan sempadan secara berpasangan. Asalan, dua persilangan paksi yang berkaitan, dan persilangan dua garis condong memberi empat bucu.

x=0,\; y=0 \;\Rightarrow\; O(0,0)

x+2y=10,\; x=0 \;\Rightarrow\; y=5,\quad A(0,5)

3x+2y=18,\; y=0 \;\Rightarrow\; x=6,\quad C(6,0)

Bagi bucu terakhir, tolak persamaan condong pertama daripada yang kedua:

(3x+2y)-(x+2y)=18-10 \;\Rightarrow\; 2x=8,\; x=4,\; \text{kemudian } 4+2y=10 \;\Rightarrow\; y=3

jadi $B(4,3)$ . Empat bucu itu ialah $O(0,0)$ , $A(0,5)$ , $B(4,3)$ dan $C(6,0)$ , dengan $C$ bucu di paksi- $x$ positif.

(b) Nilaikan $k=px+y$ pada setiap bucu, menganggap $p$ tidak diketahui:

k_O=0,\quad k_A=5,\quad k_B=4p+3,\quad k_C=6p

Untuk maksimum berlaku di $C$ , nilai $k_C=6p$ mesti sekurang-kurangnya sebesar nilai pada setiap bucu lain. Oleh sebab $p>0$ , $6p$ sudah melebihi $k_O=0$ .

Bandingkannya dengan $A$ dan $B$ :

6p\ge 5 \;\Rightarrow\; p\ge \tfrac{5}{6}

6p\ge 4p+3 \;\Rightarrow\; 2p\ge 3 \;\Rightarrow\; p\ge \tfrac{3}{2}

Yang lebih kuat antara dua syarat itu ialah $p\ge\tfrac{3}{2}$ , dan ia secara automatik menjamin $p\ge\tfrac{5}{6}$ juga.

Jawapan

Maksimum $k$ berlaku di $C(6,0)$ apabila $p\ge \dfrac{3}{2}$ . Tepat pada $p=\tfrac{3}{2}$ bucu $B$ dan $C$ seri, kedua-duanya memberi $9$ , jadi maksimum ketika itu dikongsi sepanjang tepi $BC$ ; bagi sebarang $p>\tfrac{3}{2}$ , $C$ sahaja menang.

Q4[6 marks]

Seorang pembekal alat tulis membekal semula $x$ kotak pen dan $y$ kotak pensel. Penghantaran hanya diatur apabila sesuatu pesanan mencapai sekurang-kurangnya 12 kotak semuanya, jadi $x+y\ge 12$ .

Jualan lepas menunjukkan bilangan kotak pensel tidak sepatutnya melebihi dua kali bilangan kotak pen, jadi $y\le 2x$ . Setiap kotak pen berharga RM8 dan setiap kotak pensel berharga RM5, memberikan jumlah kos $C=8x+5y$ .

Cari kos minimum yang mungkin, dan nyatakan berapa kotak setiap jenis patut dipesan oleh pembekal.

Show worked solution

Berbeza daripada untung maksimum ke atas satu bentuk tertutup, rantau ini tiada had atas untuk $x+y$ , jadi mulakan dengan mencari titik pertemuan sempadan $x+y=12$ dan $y=2x$ , bucu itulah tempat semula jadi untuk mencari minimum, kerana bergerak lebih jauh sepanjang mana-mana sempadan hanya boleh menambah kos.

x+y=12,\; y=2x \;\Rightarrow\; x+2x=12,\; x=4,\; y=8

Garis $x+y=12$ juga bertemu tepi pen-sahaja $y=0$ pada bucu kedua:

x+y=12,\; y=0 \;\Rightarrow\; x=12,\quad (12,0)

Jadi dua bucu terhingga rantau ini ialah $(4,8)$ dan $(12,0)$ ; di tempat lain rantau ini memanjang tanpa had sepanjang $y=2x$ ( $x$ bertambah) atau sepanjang $y=0$ ( $x$ bertambah melebihi 12). Nilaikan kos pada kedua-dua bucu, dan semak apa berlaku sepanjang setiap arah itu.

\text{Di }(4,8):\; C=8(4)+5(8)=32+40=72

\text{Di }(12,0):\; C=8(12)+5(0)=96

\text{Sepanjang }y=2x\text{ untuk }x\ge 4:\; C=8x+5(2x)=18x,\text{ meningkat mengikut }x

\text{Sepanjang }y=0\text{ untuk }x\ge 12:\; C=8x,\text{ meningkat mengikut }x

Kedua-dua arah itu hanya menolak kos lebih tinggi apabila $x$ bertambah, jadi tiada bucu dikalahkan dengan bergerak lebih jauh; minimum mesti terletak pada bucu yang lebih murah antara kedua-duanya.

Jawapan

Kos minimum ialah $C=\text{RM}\,72$ , dengan memesan $4$ kotak pen dan $8$ kotak pensel. Beralih pula ke $(12,0)$ , semua pen, tiada pensel, menaikkan kos kepada RM96, mengesahkan $(4,8)$ ialah bucu yang lebih murah.

Q5[6 marks]

Kakitangan sebuah kafe boleh menyediakan $x$ cawan teh dan $y$ cawan kopi setiap jam, terhad kepada $x+y\le 20$ cawan. Stok susu turut mengehadkan pengeluaran: teh menggunakan 2 unit susu setiap cawan dan kopi menggunakan 1 unit, dengan paling banyak 30 unit tersedia setiap jam, jadi $2x+y\le 30$ .

Dapur juga boleh memanaskan air yang cukup untuk paling banyak 15 cawan teh sejam, jadi $x\le 15$ . Untung ialah $P=3x+2y$ ringgit.

(a) Tunjukkan bahawa kekangan $x\le 15$ sebenarnya tidak mengubah rantau tersaur. (b) Cari bucu rantau itu.

Show worked solution

(a) Gabungkan had susu dengan syarat ketaknegatifan $y\ge 0$ : oleh sebab $y$ tidak boleh negatif, $2x$ tidak boleh melebihi $2x+y$ , jadi had susu sahaja sudah memaksa $x\le 15$ .

y\ge 0 \text{ dan } 2x+y\le 30 \;\Rightarrow\; 2x\le 2x+y\le 30 \;\Rightarrow\; x\le 15

Jadi had memanaskan air tidak menambah apa-apa yang baharu; rantau itu diterangkan sepenuhnya oleh $x+y\le 20$ , $2x+y\le 30$ , $x\ge 0$ dan $y\ge 0$ sahaja. (b) Cari setiap bucu daripada empat sempadan ini.

x=0,\; y=0 \;\Rightarrow\; O(0,0)

2x+y=30,\; y=0 \;\Rightarrow\; x=15,\quad A(15,0)

(2x+y)-(x+y)=30-20 \;\Rightarrow\; x=10,\; y=10,\quad B(10,10)

x+y=20,\; x=0 \;\Rightarrow\; y=20,\quad C(0,20)

Semak $C(0,20)$ terhadap had susu: $2(0)+20=20\le 30$ , jadi ia memang bucu rantau ini. Empat bucu itu ialah $O(0,0)$ , $A(15,0)$ , $B(10,10)$ dan $C(0,20)$ .

\text{Di }O:\;P=0,\quad\text{Di }A:\;P=3(15)=45

\text{Di }B:\;P=3(10)+2(10)=30+20=50,\quad\text{Di }C:\;P=2(20)=40

Jawapan

Untung sejam maksimum ialah $P=\text{RM}\,50$ , daripada $10$ cawan teh dan $10$ cawan kopi. Had memanaskan air $x\le 15$ langsung tidak terlibat, sentiasa semak sama ada sesuatu had yang dinyatakan benar-benar aktif sebelum bergantung kepadanya.

Q6[6 marks]

Seorang tukang jahit membuat $x$ baju dan $y$ seluar setiap hari, dengan $x\ge 1$ dan $y\ge 1$ . Kain mengehadkan jumlah pakaian kepada paling banyak 9 sehari, jadi $x+y\le 9$ .

Setiap baju memerlukan 2 butang dan setiap seluar memerlukan 1 butang, dengan paling banyak $m$ butang tersedia setiap hari, jadi $2x+y\le m$ , dengan $m$ ialah pemalar positif. Untung ialah $P=4x+3y$ ringgit.

Untung maksimum dicapai dengan membuat $4$ baju dan $5$ seluar, menggunakan semua kain dan semua butang yang tersedia pada hari itu. (a) Cari nilai $m$ .

(b) Cari bucu-bucu lain rantau tersaur itu, dan sahkan bahawa rancangan ini benar-benar memberikan untung maksimum.

Show worked solution

(a) 'Menggunakan semua kain dan semua butang' bermaksud kedua-dua had berlaku sebagai persamaan pada $(4,5)$ . Semak kain dahulu: $4+5=9$ , sepadan tepat dengan $x+y\le 9$ , seperti dijangka.

Gantikan titik itu ke dalam persamaan butang untuk mencari $m$ .

2(4)+5=m \;\Rightarrow\; m=13

(b) Dengan $m=13$ , empat sempadan rantau itu ialah $x=1$ , $y=1$ , $x+y=9$ dan $2x+y=13$ . Selesaikannya secara berpasangan untuk bucu yang selebihnya.

x=1,\; y=1 \;\Rightarrow\; (1,1)

y=1,\; 2x+y=13 \;\Rightarrow\; 2x=12,\; x=6,\quad (6,1)

Semak $(6,1)$ terhadap had kain: $6+1=7\le 9$ , jadi ia memang bucu.

x=1,\; x+y=9 \;\Rightarrow\; y=8,\quad (1,8)

Semak $(1,8)$ terhadap had butang: $2(1)+8=10\le 13$ , juga memang bucu. Empat bucu itu ialah $(1,1)$ , $(6,1)$ , $(4,5)$ dan $(1,8)$ .

Nilaikan $P=4x+3y$ pada setiap satu untuk mengesahkan rancangan yang diberi itu menang.

P(1,1)=4+3=7,\quad P(6,1)=24+3=27

P(4,5)=16+15=31,\quad P(1,8)=4+24=28

Jawapan

Stok butang ialah $m=13$ , dan untung maksimum ialah $P=\text{RM}\,31$ daripada $4$ baju dan $5$ seluar, jauh mendahului bucu kedua terbaik, $(1,8)$ , pada RM28.

Q7[6 marks]

Sebuah kedai hadiah membungkus $x$ hamper Standard dan $y$ hamper Deluxe untuk suatu perayaan. Masa membungkus mengehadkan jumlah kepada paling banyak 20 hamper, jadi $x+y\le 20$ .

Satu pesanan korporat memerlukan sekurang-kurangnya 3 hamper Standard, jadi $x\ge 3$ . Peraturan stok juga memerlukan sekurang-kurangnya 40% hamper yang dibungkus adalah Deluxe.

Untung ialah $P=6x+4y$ ringgit, kerana Standard memberi untung RM6 dan Deluxe memberi untung RM4 setiap hamper. (a) Tunjukkan peraturan 40% itu boleh ditulis sebagai $y\ge \tfrac{2}{3}x$ .

(b) Cari bucu rantau tersaur itu. (c) Cari untung maksimum.

Show worked solution

(a) 'Sekurang-kurangnya 40% Deluxe' bermaksud $y$ sekurang-kurangnya 40% daripada jumlah hamper, $x+y$ .

y\ge 0.4(x+y)

Kembangkan dan kumpulkan sebutan $y$ pada satu sisi.

y\ge 0.4x+0.4y \;\Rightarrow\; 0.6y\ge 0.4x \;\Rightarrow\; y\ge \tfrac{0.4}{0.6}x=\tfrac{2}{3}x

(b) Tiga sempadan itu ialah $x=3$ , $x+y=20$ dan $y=\tfrac{2}{3}x$ (bersamaan $3y=2x$ ). Syarat ketaknegatifan $y\ge 0$ tidak pernah menjadi aktif di sini, kerana $y\ge\tfrac{2}{3}x\ge 2$ apabila $x\ge 3$ .

Selesaikan tiga sempadan itu secara berpasangan.

x=3,\; y=\tfrac{2}{3}(3)=2,\quad (3,2)

x=3,\; x+y=20 \;\Rightarrow\; y=17,\quad (3,17)

x+y=20,\; 3y=2x \;\Rightarrow\; 3y=2(20-y) \;\Rightarrow\; 5y=40,\; y=8,\; x=12,\quad (12,8)

Tiga bucu itu ialah $(3,2)$ , $(3,17)$ dan $(12,8)$ . (c) Nilaikan $P=6x+4y$ pada setiap satu:

P(3,2)=18+8=26,\quad P(3,17)=18+68=86,\quad P(12,8)=72+32=104

Jawapan

Untung maksimum ialah $P=\text{RM}\,104$ , daripada $12$ hamper Standard dan $8$ hamper Deluxe. Semak peraturan stok: $8$ daripada $20$ hamper ialah tepat $40\%$ Deluxe, jadi optimum itu terletak betul-betul pada sempadan itu, seperti yang sepatutnya.

Q8[7 marks]

Sebuah bengkel memasang $x$ set alat piawai dan $y$ set alat mewah setiap hari, dengan $x$ dan $y$ ialah nombor bulat. Masa pemasangan mengehadkan jumlah kepada paling banyak 9 set sehari, jadi $x+y\le 9$ .

Skru pula mengehadkan pengeluaran: setiap set piawai menggunakan 3 skru dan setiap set mewah menggunakan 5, dengan paling banyak 30 skru tersedia, jadi $3x+5y\le 30$ . Untung ialah $P=4x+5y$ ringgit.

Cari bilangan setiap jenis set yang memberikan untung maksimum, dan nyatakan untung itu.

Show worked solution

Mula-mula cari bucu rantau itu dengan cara biasa, menganggap $x$ dan $y$ boleh menjadi sebarang nombor tak negatif.

x+y=9,\; y=0 \;\Rightarrow\; x=9,\quad (9,0)

3x+5y=30,\; x=0 \;\Rightarrow\; y=6,\quad (0,6)

Tolak tiga kali $x+y=9$ daripada $3x+5y=30$ untuk mencari titik pertemuan sebenar dua sempadan condong itu.

(3x+5y)-3(x+y)=30-27 \;\Rightarrow\; 2y=3,\; y=1.5,\; x=7.5,\quad (7.5,1.5)

Nilaikan $P=4x+5y$ pada keempat-empat bucu, termasuk asalan:

P(0,0)=0,\quad P(9,0)=36,\quad P(7.5,1.5)=30+7.5=37.5,\quad P(0,6)=30

Nilai tertinggi, RM37.50, terletak pada $(7.5,1.5)$ , tetapi set alat datang dalam unit bulat, jadi bucu ini tidak boleh dibina dengan tepat. Rancangan terbaik sebenar mestilah satu titik nombor bulat berhampiran bucu itu, jadi semak kemungkinan berdekatan secara terus.

(8,1):\; 3(8)+5(1)=29\le 30,\; 8+1=9\le 9 \;\Rightarrow\; \text{tersaur},\; P=32+5=37

(7,1):\; 3(7)+5(1)=26\le 30 \;\Rightarrow\; \text{tersaur},\; P=28+5=33

(6,2):\; 3(6)+5(2)=28\le 30 \;\Rightarrow\; \text{tersaur},\; P=24+10=34

Antara titik nombor bulat itu, $(8,1)$ memberikan untung tertinggi, malah lebih baik daripada bucu nombor bulat $(9,0)$ , yang hanya memberi RM36.

Jawapan

Untung maksimum dengan bilangan set bulat ialah $P=\text{RM}\,37$ , daripada $8$ set piawai dan $1$ set mewah. Ia sedikit kurang daripada RM37.50 yang diperoleh pada $(7.5,1.5)$ , sepertimana yang sepatutnya berlaku apabila jawapan ditarik kembali kepada nombor bulat.

Soalan sukar dalam bab ini jarang memerlukan aritmetik yang lebih sukar; ia memerlukan pemikiran yang lebih jelas tentang apa itu bucu, bila beberapa bucu seri, dan bagaimana pekali objektif mengemudi jawapan. Kekalkan tiga idea itu dalam pandangan dan markah akan menyusul.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini meregangkan kemahiran teras yang sama ke tiga arah: pemodelan berhati-hati, mengesan maksimum yang dikongsi, dan menaakul dengan pekali yang tidak diketahui. Ingat poin berikut.

Model dengan berhati-hati: setiap had sumber menjadi satu ketaksamaan $\le$ , dan setiap keperluan minimum menjadi satu ketaksamaan $\ge$ .
Rantau yang disempadani oleh empat garis boleh mempunyai empat bucu; cari setiap satu dengan menyelesaikan pasangan sempadan yang betul dan menyemaknya terhadap yang lain.
Apabila dua bucu memberi nilai objektif yang sama, objektif selari dengan tepi antara keduanya, dan setiap titik pada tepi itu ialah optimum.
Menulis semula objektif, contohnya $k=5x+5y=5(x+y)$ , boleh mendedahkan sepintas lalu kekangan mana ia selari dengannya.
Dengan pekali yang tidak diketahui, bandingkan nilai bucu sasaran terhadap setiap yang lain dan gabungkan ketaksamaan yang terhasil; yang paling ketat memberi julatnya.
Sentiasa sahkan bucu pemenang mematuhi setiap kekangan, dan beri jawapan nombor bulat apabila kuantiti ialah bilangan fizikal.

Bagaimana guru membantu

Soalan Pengaturcaraan Linear sukar memberi ganjaran kepada tangan yang tenang dan teratur lebih daripada kelajuan semata-mata. Pelajar yang kehilangan markah biasanya tergesa-gesa pada perbandingan akhir, mengisytiharkan pemenang sebelum menyemak seri yang hampir, atau terlepas bahawa dua bucu sama tinggi.

Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami membina tabiat menyusun nilai setiap bucu dalam satu baris dan membacanya bersebelahan, supaya seri atau tepi selari dikesan, bukan terlepas pandang. Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda belajar mempertahankan setiap langkah.

Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Apakah maksudnya apabila dua bucu memberi maksimum yang sama?

Ia bermakna garis objektif selari dengan tepi yang menyambungkan kedua-dua bucu itu, jadi setiap titik di sepanjang tepi itu memberi nilai optimum yang sama. Anda boleh melaporkan mana-mana bucu, atau menyatakan bahawa seluruh tepi itu optimum; nilai itulah yang menentukan markah.

Bagaimana saya mengendalikan objektif dengan pekali yang tidak diketahui?

Tulis nilai objektif pada setiap bucu, biarkan yang tidak diketahui di tempatnya. Untuk mengekalkan maksimum pada bucu pilihan, nilai bucu itu mesti sekurang-kurangnya sebesar setiap yang lain; selesaikan setiap perbandingan dan ambil ketaksamaan paling ketat sebagai julat anda.

Rantau saya mempunyai empat sisi. Berapa bucu patut saya jangkakan?

Rantau cembung yang disempadani oleh empat garis biasanya mempunyai empat bucu, satu pada setiap pasangan sempadan bersebelahan. Cari dengan menyelesaikan pasangan yang betul, dan buang sebarang persilangan yang melanggar kekangan, ia terletak di luar rantau.

Adakah soalan sukar memerlukan pengiraan yang lebih sukar?

Jarang. Nombornya kekal kemas secara reka bentuk.

Yang lebih sukar ialah penaakulan, membuktikan bucu tergolong dalam rantau, menyedari seri, atau menjejak bagaimana pekali menukar pemenang. Kerja yang kemas dan berlabel itulah yang melindungi markah kaedah.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Pengaturcaraan Linear, Contoh Kerja (KBAT)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?