Kinematik Contoh Kerja (KBAT)

Q: Bagaimana saya mencari bila dua zarah bertemu?

Tulis setiap sesaran dari titik permulaan yang sama sebagai fungsi ttt, tetapkan ia sama, dan selesaikan. Buang mana-mana punca yang tidak relevan secara fizikal, seperti saat permulaan t=0t=0t=0 atau masa negatif.

Q: Adakah saya menambah jarak atau sesaran untuk jumlah jarak?

Jarak. Cari setiap masa di mana v=0v=0v=0, kira sesaran pada masa itu dan pada hujung selang, dan tambah perubahan mutlak pada setiap peringkat. Menambah sesaran secara terus akan membiarkan peringkat ke belakang membatalkan peringkat ke hadapan.

Q: Bagaimana saya tahu halaju berada pada maksimum?

Tetapkan pecutan a=dvdt=0a=\frac{dv}{dt}=0a=dtdv=0 untuk mencari masa calon, kemudian semak tanda aaa di kedua-dua belah. Positif bertukar ke negatif ialah maksimum; negatif ke positif ialah minimum.

Q: Kerja saya ada pecahan seperti \frac{7}{3}. Adakah saya tersalah?

Belum tentu, jawapan kinematik selalunya pecahan tepat. Kekalkannya tepat sepanjang pengiraan; di sini dua peringkat 73\frac{7}{3}37 dan 323\frac{32}{3}332 bergabung menjadi 131313 m yang kemas.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh sukar ini meminta anda menjalankan keseluruhan jentera sekaligus dan mentafsir gerakan, bukan sekadar mengira. Anda akan membina halaju daripada pecutan dan nilai awal, menentukan tempat ia bertukar tanda, dan menambah lif untuk mendapat jumlah jarak; membandingkan dua zarah yang meninggalkan titik yang sama dan mencari bila mereka bertemu semula; dan mengamir pecutan dua kali untuk mencari halaju maksimum serta sesaran pada ketika itu.

Tiada yang memerlukan aritmetik berat, nombornya kekal kecil, tetapi setiap bahagian bergantung pada bahagian sebelumnya, jadi satu kesilapan tanda merebak ke seluruh jawapan. Cuba setiap satu sepenuhnya, kemudian semak baris demi baris, memberi perhatian teliti kepada arah dan makna setiap nilai yang anda temui.

Contoh kerja

Selesaikan kesemua tiga. Setiap satu ialah beberapa langkah kecil dalam satu rantai, jadi kekalkan langkah dalam susunan, tetapkan pemalar, analisis tanda halaju, kemudian mengira, dan markah akan mengikut.

Q1[7 marks]

Satu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dan melalui titik tetap $O$ dengan halaju $5\ \text{m s}^{-1}$ pada $t=0$ . Pecutannya ialah $a=2t-6$ , dalam $\text{m s}^{-2}$ , pada masa $t$ s.

Cari jumlah jarak yang dilalui dalam $5$ saat pertama.

Show worked solution

Mula-mula bina halaju dengan mengamir pecutan, guna halaju awal untuk menetapkan pemalar.

v=\int (2t-6)\,dt=t^{2}-6t+c

Oleh sebab $v=5$ apabila $t=0$ , kita dapat $c=5$ , maka $v=t^{2}-6t+5$ . Cari tempat zarah pegun.

t^{2}-6t+5=0\ \Rightarrow\ (t-1)(t-5)=0

Maka $v=0$ pada $t=1$ dan $t=5$ . Menyemak tanda, $v>0$ pada $0\le t<1$ dan $v<0$ pada $1<t<5$ ; zarah berpatah balik pada $t=1$ .

Kamirkan sekali lagi untuk sesaran, dengan $s=0$ pada $t=0$ .

s=\int (t^{2}-6t+5)\,dt=\frac{t^{3}}{3}-3t^{2}+5t

Nilaikan sesaran pada masa penting $t=1$ dan $t=5$ .

s(1)=\tfrac{1}{3}-3+5=\tfrac{7}{3},\qquad s(5)=\tfrac{125}{3}-75+25=-\tfrac{25}{3}

Tambah jarak setiap peringkat sebagai perubahan mutlak sesaran.

\text{Jumlah}=\left|\tfrac{7}{3}-0\right|+\left|-\tfrac{25}{3}-\tfrac{7}{3}\right|=\tfrac{7}{3}+\tfrac{32}{3}=\tfrac{39}{3}=13

Jawapan

Jumlah jarak yang dilalui dalam $5$ saat pertama ialah $13$ m. Zarah bergerak ke hadapan $\frac{7}{3}$ m dahulu, kemudian ke belakang $\frac{32}{3}$ m.

Q2[8 marks]

Dua zarah $A$ dan $B$ meninggalkan titik tetap $O$ pada saat yang sama $t=0$ dan bergerak di sepanjang garis lurus yang sama. Pada masa $t$ s, $A$ mempunyai halaju $v_{A}=3t^{2}-6t$ , dalam $\text{m s}^{-1}$ , dan $B$ bergerak dengan halaju malar $4\ \text{m s}^{-1}$ .

Cari (a) masa selepas $t=0$ apabila $A$ dan $B$ bertemu semula, dan jarak mereka dari $O$ ketika itu, dan (b) jumlah jarak yang dilalui $A$ sehingga ketika itu.

Show worked solution

Cari sesaran setiap zarah dari $O$ dengan mengamir, guna $s=0$ pada $t=0$ untuk kedua-duanya.

s_{A}=\int (3t^{2}-6t)\,dt=t^{3}-3t^{2},\qquad s_{B}=\int 4\,dt=4t

(a) Mereka bertemu di tempat sesaran mereka sama.

t^{3}-3t^{2}=4t\ \Rightarrow\ t^{3}-3t^{2}-4t=0

Faktorkan dengan mengeluarkan $t$ .

t(t^{2}-3t-4)=0\ \Rightarrow\ t(t-4)(t+1)=0

Punca yang relevan ialah $t=4$ , menolak $t=0$ (permulaan) dan $t=-1$ . Sesaran sepunya mereka ialah:

s_{A}(4)=4^{3}-3(4)^{2}=64-48=16

(b) Untuk mendapat jumlah jarak $A$ , cari tempat $A$ pegun, kerana $v_{A}=3t(t-2)$ bertukar tanda.

3t(t-2)=0\ \Rightarrow\ t=0\ \text{atau}\ t=2

$v_{A}<0$ pada $0<t<2$ dan $v_{A}>0$ pada $2<t<4$ , jadi $A$ berpatah balik pada $t=2$ . Nilaikan $s_{A}$ .

s_{A}(2)=8-12=-4,\qquad s_{A}(4)=16

Tambah dua peringkat itu.

\text{Jumlah}=|-4-0|+|16-(-4)|=4+20=24

Jawapan

$A$ dan $B$ bertemu semula pada $t=4$ s, $16$ m dari $O$ . Menjelang itu $A$ telah bergerak $24$ m kesemuanya, setelah bergerak $4$ m dalam arah negatif dahulu sebelum berpatah balik.

Q3[7 marks]

Satu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dan melalui titik tetap $O$ dengan halaju $2\ \text{m s}^{-1}$ pada $t=0$ . Pecutannya ialah $a=6-2t$ , dalam $\text{m s}^{-2}$ , pada masa $t$ s.

Cari (a) halaju maksimum zarah, dan (b) sesarannya dari $O$ pada ketika halaju maksimum.

Show worked solution

Kamirkan pecutan untuk halaju, tetapkan pemalar daripada $v=2$ pada $t=0$ .

v=\int (6-2t)\,dt=6t-t^{2}+c,\qquad v(0)=2\ \Rightarrow\ c=2

Maka $v=-t^{2}+6t+2$ . Halaju paling besar di tempat kadar perubahannya, iaitu pecutan, sifar.

a=6-2t=0\ \Rightarrow\ t=3

Oleh sebab $a>0$ sebelum $t=3$ dan $a<0$ selepasnya, ini ialah maksimum. Gantikan $t=3$ ke dalam $v$ .

v|_{t=3}=-(3)^{2}+6(3)+2=-9+18+2=11

(b) Kamirkan halaju untuk sesaran, dengan $s=0$ pada $t=0$ .

s=\int (-t^{2}+6t+2)\,dt=-\frac{t^{3}}{3}+3t^{2}+2t

Gantikan $t=3$ .

s|_{t=3}=-\frac{27}{3}+3(3)^{2}+2(3)=-9+27+6=24

Jawapan

Halaju maksimum ialah $11\ \text{m s}^{-1}$ , dicapai pada $t=3$ s, dan sesaran dari $O$ pada ketika itu ialah $24$ m.

Q4[6 marks]

Zarah bergerak di sepanjang garis lurus supaya sesarannya dari titik tetap $O$ diberi oleh $s=t^{3}-6t^{2}+9t$ , dalam m, pada masa $t$ s, dengan $t\ge 0$ . Cari (a) dua ketika zarah itu pegun seketika, dan (b) sesaran maksimum zarah itu dari $O$ .

Show worked solution

Bezakan sesaran untuk mendapat halaju, kerana di sini zarah diberi sebagai fungsi $s$ , bukan fungsi $a$ .

v=\frac{ds}{dt}=3t^{2}-12t+9

(a) Zarah pegun seketika di tempat $v=0$ .

3t^{2}-12t+9=0\ \Rightarrow\ t^{2}-4t+3=0\ \Rightarrow\ (t-1)(t-3)=0

Maka zarah pegun pada $t=1$ dan $t=3$ . (b) Untuk menentukan ketika mana memberi sesaran maksimum, bezakan sekali lagi untuk mendapat pecutan dan semak tandanya pada setiap ketika.

a=\frac{dv}{dt}=6t-12

a|_{t=1}=6(1)-12=-6<0,\qquad a|_{t=3}=6(3)-12=6>0

Pecutan negatif pada $t=1$ bermakna $s$ berada pada maksimum di situ (bertukar daripada meningkat kepada menurun); pecutan positif pada $t=3$ bermakna $s$ berada pada minimum. Nilaikan $s$ pada $t=1$ .

s|_{t=1}=(1)^{3}-6(1)^{2}+9(1)=1-6+9=4

Jawapan

Zarah pegun seketika pada $t=1$ s dan $t=3$ s. Sesaran maksimumnya dari $O$ ialah $4$ m, dicapai pada $t=1$ s (semak $t=3$ : $s=27-54+27=0$ , yang hanya minimum setempat, selaras dengan $a>0$ di situ).

Q5[7 marks]

Satu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dan melalui titik tetap $O$ dengan halaju $6\ \text{m s}^{-1}$ pada $t=0$ . Pecutannya ialah $a=4t-8$ , dalam $\text{m s}^{-2}$ , pada masa $t$ s.

Cari (a) jumlah jarak yang dilalui zarah dalam $4$ saat pertama, dan (b) halaju purata zarah itu sepanjang tempoh ini. Terangkan mengapa kedua-dua jawapan anda berbeza.

Show worked solution

Kamirkan pecutan untuk mendapat halaju, guna halaju awal yang diberi untuk menetapkan pemalar.

v=\int (4t-8)\,dt=2t^{2}-8t+c,\qquad v(0)=6\ \Rightarrow\ c=6

Maka $v=2t^{2}-8t+6=2(t-1)(t-3)$ . Zarah pegun pada $t=1$ dan $t=3$ , kedua-duanya dalam $4$ saat pertama, jadi ia berpatah balik dua kali.

Kamirkan sekali lagi untuk sesaran, dengan $s=0$ pada $t=0$ .

s=\int (2t^{2}-8t+6)\,dt=\frac{2t^{3}}{3}-4t^{2}+6t

Nilaikan sesaran pada permulaan, pada setiap ketika pegun, dan pada penghujung tempoh.

s(0)=0,\quad s(1)=\tfrac{8}{3},\quad s(3)=0,\quad s(4)=\tfrac{8}{3}

(a) Tambah jarak bagi setiap bahagian perjalanan.

\text{Jumlah jarak}=\left|\tfrac{8}{3}-0\right|+\left|0-\tfrac{8}{3}\right|+\left|\tfrac{8}{3}-0\right|=\tfrac{8}{3}+\tfrac{8}{3}+\tfrac{8}{3}=8

(b) Halaju purata hanya menggunakan sesaran bersih sepanjang tempoh masa, bukan jarak yang dilalui.

\text{Halaju purata}=\frac{s(4)-s(0)}{4}=\frac{\tfrac{8}{3}}{4}=\tfrac{2}{3}\ \text{m s}^{-1}

Jawapan

Zarah itu melalui jumlah jarak $8$ m, tetapi halaju puratanya hanya $\frac{2}{3}\ \text{m s}^{-1}$ , kerana ia berpatah balik: selepas $4$ s ia hanya berakhir $\frac{8}{3}$ m dari $O$ , walaupun ia telah melalui $8$ m garis lurus untuk sampai ke situ.

Q6[7 marks]

Zarah $A$ melalui titik tetap $O$ dengan halaju sifar pada masa $t=0$ dan mempunyai pecutan $a=6t$ , dalam $\text{m s}^{-2}$ , pada masa $t$ s. Pada saat yang sama, zarah $B$ berada $16$ m dari $O$ pada garis lurus yang sama dan bergerak terus ke arah $O$ dengan laju malar $4\ \text{m s}^{-1}$ .

Cari (a) masa $A$ dan $B$ bertemu, dan jarak mereka dari $O$ ketika itu, dan (b) halaju setiap zarah pada ketika itu, dan nyatakan sama ada mereka bergerak dalam arah yang sama atau bertentangan ketika itu.

Show worked solution

Cari halaju dan sesaran $A$ dari $O$ dengan mengamir dua kali, guna $v_{A}=0$ dan $s_{A}=0$ pada $t=0$ .

v_{A}=\int 6t\,dt=3t^{2},\qquad s_{A}=\int 3t^{2}\,dt=t^{3}

Oleh sebab $B$ bermula $16$ m dari $O$ dan bergerak ke arah $O$ dengan laju malar $4\ \text{m s}^{-1}$ , sesarannya dari $O$ berkurang secara tetap.

s_{B}=16-4t

(a) $A$ dan $B$ bertemu di tempat sesaran mereka dari $O$ sama.

t^{3}=16-4t\ \Rightarrow\ t^{3}+4t-16=0

Uji nilai integer kecil: $t=2$ memberi $8+8-16=0$ , jadi $t=2$ ialah punca. Faktorkannya.

t^{3}+4t-16=(t-2)(t^{2}+2t+8)=0

Faktor kuadratik mempunyai diskriminan $2^{2}-4(1)(8)=-28<0$ , jadi tiada punca nyata; $t=2$ ialah satu-satunya penyelesaian.

s_{A}(2)=2^{3}=8\ \text{m}

(b) Cari halaju setiap zarah pada $t=2$ .

v_{A}(2)=3(2)^{2}=12\ \text{m s}^{-1},\qquad v_{B}=-4\ \text{m s}^{-1}\ (\text{malar})

Jawapan

$A$ dan $B$ bertemu pada $t=2$ s, $8$ m dari $O$ . Ketika itu $A$ bergerak pada $12\ \text{m s}^{-1}$ menjauhi $O$ manakala $B$ masih bergerak pada $4\ \text{m s}^{-1}$ ke arah $O$ , arah bertentangan, jadi $A$ memotong laluan $B$ pada titik pertemuan itu, bukannya kedua-dua zarah berhenti bersama.

Q7[5 marks]

Satu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dengan halajunya diberi oleh $v=t^{2}-4t+3$ , dalam $\text{m s}^{-1}$ , pada masa $t$ s, untuk $0\le t\le 4$ . Cari (a) nilai $t$ apabila zarah pegun seketika, (b) halaju minimum zarah dalam selang ini, dan (c) laju minimum zarah dalam selang ini.

Show worked solution

(a) Zarah pegun seketika di tempat $v=0$ .

t^{2}-4t+3=0\ \Rightarrow\ (t-1)(t-3)=0\ \Rightarrow\ t=1,\ 3

(b) Halaju minimum berlaku di tempat pecutan $a=\frac{dv}{dt}$ sifar, kerana $v$ ialah kuadratik yang membuka ke atas dalam $t$ .

a=2t-4=0\ \Rightarrow\ t=2

v|_{t=2}=(2)^{2}-4(2)+3=4-8+3=-1

Jadi halaju minimum ialah $-1\ \text{m s}^{-1}$ pada $t=2$ . (c) Laju ialah $|v|$ , bukan $v$ itu sendiri, jadi semak nilainya pada ketika-ketika pegun yang dijumpai dalam (a) juga.

|v|_{t=1}=0,\qquad |v|_{t=2}=1,\qquad |v|_{t=3}=0

Jawapan

Zarah pegun seketika pada $t=1$ s dan $t=3$ s. Halaju minimumnya ialah $-1\ \text{m s}^{-1}$ , pada $t=2$ s, tetapi laju minimumnya ialah $0$ , dicapai pada $t=1$ s dan $t=3$ s, kerana zarah pegun seketika di situ.

Halaju paling negatif bukan bermakna zarah bergerak paling perlahan.

Q8[6 marks]

Satu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dan melalui titik tetap $O$ dengan halaju $8\ \text{m s}^{-1}$ pada masa $t=0$ . Pecutannya ialah $a=4t-k$ , dalam $\text{m s}^{-2}$ , pada masa $t$ s, dengan $k$ ialah pemalar.

Diberi zarah itu pegun seketika apabila $t=1$ s, cari (a) nilai $k$ dan ketika lain zarah itu pegun, dan (b) julat nilai $t$ semasa zarah bergerak dalam arah negatif.

Show worked solution

Kamirkan pecutan untuk mendapat halaju, guna halaju awal yang diberi untuk menetapkan pemalar pengamiran.

v=\int (4t-k)\,dt=2t^{2}-kt+c,\qquad v(0)=8\ \Rightarrow\ c=8

(a) Guna fakta bahawa $v=0$ pada $t=1$ untuk mencari $k$ .

v(1)=2(1)^{2}-k(1)+8=10-k=0\ \Rightarrow\ k=10

Maka $v=2t^{2}-10t+8$ . Faktorkan untuk mencari ketika lain zarah itu pegun.

v=2(t^{2}-5t+4)=2(t-1)(t-4)\ \Rightarrow\ v=0\ \text{pada}\ t=1\ \text{atau}\ t=4

(b) Oleh sebab pekali $t^{2}$ positif, $v$ negatif di antara kedua-dua puncanya. Uji satu nilai di antaranya, katakan $t=2$ , untuk mengesahkan.

v(2)=2(2-1)(2-4)=2(1)(-2)=-4<0

Di luar $[1,4]$ , faktor $(t-1)$ dan $(t-4)$ mempunyai tanda yang sama, jadi $v>0$ di situ, selaras dengan $v(0)=8>0$ yang diberi.

Jawapan

$k=10$ , dan zarah itu juga pegun pada $t=4$ s. Ia bergerak dalam arah negatif untuk $1<t<4$ , setelah bermula dalam arah positif, berpatah balik pada $t=1$ s, dan berpatah semula ke hadapan pada $t=4$ s.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini menunjukkan rupa penyelesaian markah penuh bagi soalan Kinematik sukar, satu rantai langkah kecil yang betul dan tersusun. Simpan poin ini.

Bina gerakan dalam susunan: kamirkan pecutan untuk halaju, kemudian halaju untuk sesaran, menetapkan setiap pemalar daripada nilai yang diberi sebelum menggunakan fungsi.
Untuk jumlah jarak, sentiasa cari masa di mana $v=0$ , uji tanda $v$ dalam setiap selang, dan tambah perubahan mutlak sesaran pada setiap peringkat.
Dua jasad bertemu apabila sesaran mereka dari asalan yang sama adalah sama; tetapkan $s_{1}=s_{2}$ dan selesaikan, kemudian tolak masa yang tidak relevan secara fizikal.
Halaju maksimum atau minimum berlaku di tempat $a=0$ ; sahkan yang mana dengan menyemak tanda $a$ di kedua-dua belah.
Kekalkan pecahan tepat sepanjang kerja dan permudahkan hanya pada akhirnya, nilai yang kelihatan berselirat sering bergabung menjadi jumlah kemas, seperti $\frac{7}{3}+\frac{32}{3}=13$ .

Bagaimana guru membantu

Soalan Kinematik sukar sebenarnya beberapa langkah kecil yang dirangkai bersama, dan markah dimenangi dengan mengekalkan rantai itu tersusun. Kesilapan biasa ialah tanda yang tercicir atau punca yang sepatutnya ditolak tetapi dikekalkan, yang kemudian merebak ke seluruh jawapan.

Dalam kelas, guru kami memperlahankan dua baris pertama, pemalar pengamiran dan analisis tanda, kerana melakukannya dengan betul membuatkan segala yang selepasnya mengikut. Guru kami berpengalaman, jadi anda belajar merancang penyelesaian berbilang langkah dengan yakin.

Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya mencari bila dua zarah bertemu?

Tulis setiap sesaran dari titik permulaan yang sama sebagai fungsi $t$ , tetapkan ia sama, dan selesaikan. Buang mana-mana punca yang tidak relevan secara fizikal, seperti saat permulaan $t=0$ atau masa negatif.

Adakah saya menambah jarak atau sesaran untuk jumlah jarak?

Jarak. Cari setiap masa di mana $v=0$ , kira sesaran pada masa itu dan pada hujung selang, dan tambah perubahan mutlak pada setiap peringkat.

Menambah sesaran secara terus akan membiarkan peringkat ke belakang membatalkan peringkat ke hadapan.

Bagaimana saya tahu halaju berada pada maksimum?

Tetapkan pecutan $a=\frac{dv}{dt}=0$ untuk mencari masa calon, kemudian semak tanda $a$ di kedua-dua belah. Positif bertukar ke negatif ialah maksimum; negatif ke positif ialah minimum.

Kerja saya ada pecahan seperti

\frac{7}{3}

. Adakah saya tersalah?

Belum tentu, jawapan kinematik selalunya pecahan tepat. Kekalkannya tepat sepanjang pengiraan; di sini dua peringkat $\frac{7}{3}$ dan $\frac{32}{3}$ bergabung menjadi $13$ m yang kemas.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Kinematik Gerakan Linear, Contoh Kerja (KBAT)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?