Hukum Linear Contoh Kerja (KBAT)

Q: Bagaimana saya melinearkan hubungan seperti y = \frac{x}{ax+b}?

Ambil salingan kedua-dua belah untuk mendapat 1y=ax+bx\frac{1}{y} = \frac{ax+b}{x}y1=xax+b, kemudian pisahkan sebelah kanan kepada a+b(1x)a + b\left(\frac{1}{x}\right)a+b(x1). Kini ia garis lurus dalam 1y\frac{1}{y}y1 dan 1x\frac{1}{x}x1, dengan kecerunan bbb dan pintasan aaa.

Q: Apakah maksud kecerunan pecahan dalam hukum kuasa?

Ia bermakna indeks nnn ialah pecahan, yang sepadan dengan punca. Kecerunan 12\frac{1}{2}21 memberi y=axy = a\sqrt{x}y=ax. Untuk mencari xxx daripada nilai yyy, asingkan punca dan kuasa duakan kedua-dua belah.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Hukum Linear sukar ini menuntut dua perkara sekali gus: penjelmaan yang tidak jelas, dan langkah kedua yang menggunakan garis lurus untuk menjawab soalan susulan. Anda akan mengambil salingan kedua-dua belah untuk melinearkan $y = \frac{x}{ax+b}$ , mengendalikan hukum kuasa yang kecerunannya pecahan lalu menyongsangkannya untuk mencari nilai $x$ , dan menukar hukum eksponen kepada persamaan indeks yang boleh diselesaikan dengan tepat.

Nombornya kekal kemas supaya setiap baris boleh disemak. Tutup penyelesaian, cuba soalan penuh di atas kertas, penjelmaan dan susulan, dan barulah bandingkan baris demi baris.

Jika jawapan anda berbeza, capah itu hampir selalu pada penjelmaan, jadi lihat di situ dahulu.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Setiap satu bermula dengan penjelmaan menjadi $Y = mX + c$ , mencari pemalar, kemudian melakukan sesuatu dengannya.

Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaian.

Q1[5 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = \frac{x}{ax + b}$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Suatu graf garis lurus $\frac{1}{y}$ melawan $\frac{1}{x}$ melalui $\left(\frac{1}{x}, \frac{1}{y}\right) = (1, 5)$ dan $(3, 11)$ .

Cari (a) nilai $a$ dan $b$ , dan (b) nilai $y$ apabila $x = 6$ .

Show worked solution

(a) Pemboleh ubah terperangkap dalam pecahan, jadi ambil salingan kedua-dua belah. Kemudian pisahkan pecahan tunggal itu kepada dua sebutan:

\frac{1}{y} = \frac{ax + b}{x} = a + b\left(\frac{1}{x}\right)

Berbanding dengan $Y = mX + c$ , paksi menegak ialah $Y = \frac{1}{y}$ dan paksi mengufuk ialah $X = \frac{1}{x}$ . Kecerunan ialah $b$ dan pintasan ialah $a$ .

Cari kecerunan daripada dua titik:

b = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3

Gantikan titik $(1, 5)$ untuk mencari pintasan $a$ :

5 = 3(1) + a \;\Rightarrow\; a = 2

(b) Jadi $y = \frac{x}{2x + 3}$ . Gantikan $x = 6$ :

y = \frac{6}{2(6) + 3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}

Jawapan

$a = 2$ , $b = 3$ , dan $y = \frac{2}{5}$ apabila $x = 6$ . Semak melalui garis: pada $X = \frac{1}{6}$ , $Y = a + bX = 2 + 3\left(\frac{1}{6}\right) = 2.5$ , jadi $y = \frac{1}{2.5} = \frac{2}{5}$ , yang sepadan.

Q2[5 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = ax^{n}$ , dengan $a$ dan $n$ ialah pemalar. Suatu graf garis lurus $\lg y$ melawan $\lg x$ mempunyai kecerunan $\frac{1}{2}$ dan melalui titik $(\lg x, \lg y) = (2, 3)$ .

Cari (a) nilai $a$ dan $n$ , dan (b) nilai $x$ apabila $y = 3000$ .

Show worked solution

(a) Ambil $\lg$ pada kedua-dua belah supaya hubungan menjadi lurus:

\lg y = n\lg x + \lg a

Kecerunan ialah $n$ , jadi $n = \frac{1}{2}$ terus. Guna titik yang diberi $(2, 3)$ untuk mencari pintasan $\lg a$ , kemudian nyahkan logaritma:

3 = \tfrac{1}{2}(2) + \lg a \;\Rightarrow\; 3 = 1 + \lg a \;\Rightarrow\; \lg a = 2 \;\Rightarrow\; a = 100

(b) Jadi $y = 100x^{1/2} = 100\sqrt{x}$ . Tetapkan $y = 3000$ dan selesaikan untuk $x$ , asingkan punca, kemudian kuasa duakan kedua-dua belah:

100\sqrt{x} = 3000 \;\Rightarrow\; \sqrt{x} = 30 \;\Rightarrow\; x = 30^{2} = 900

Jawapan

$n = \frac{1}{2}$ , $a = 100$ , dan $x = 900$ apabila $y = 3000$ . Semak: $100\sqrt{900} = 100(30) = 3000$ , seperti dikehendaki.

Kecerunan pecahan bermakna punca, di sini punca kuasa dua, kerana $n = \frac{1}{2}$ .

Q3[5 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = ab^{x}$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Suatu graf garis lurus $\lg y$ melawan $x$ melalui $(0, 1)$ dan $(2, 7)$ .

Cari (a) nilai $a$ dan $b$ , dan (b) nilai $x$ yang mana $y = 10\,000\,000$ .

Show worked solution

(a) Ambil $\lg$ pada kedua-dua belah; eksponen $x$ turun sebagai pekali:

\lg y = (\lg b)x + \lg a

Titik $(0, 1)$ terletak pada paksi menegak, jadi ia memberi pintasan: $\lg a = 1 \Rightarrow a = 10$ . Cari kecerunan $\lg b$ daripada dua titik, kemudian nyahkan logaritma:

\lg b = \frac{7 - 1}{2 - 0} = \frac{6}{2} = 3 \;\Rightarrow\; b = 10^{3} = 1000

(b) Jadi $y = 10(1000)^{x} = 10 \times 10^{3x} = 10^{\,3x + 1}$ . Tulis sasaran sebagai kuasa sepuluh dan samakan indeks:

10^{\,3x + 1} = 10\,000\,000 = 10^{7} \;\Rightarrow\; 3x + 1 = 7 \;\Rightarrow\; x = 2

Jawapan

$a = 10$ , $b = 1000$ , dan $x = 2$ apabila $y = 10^{7}$ . Semak pada garis: pada $x = 2$ , $\lg y = 3(2) + 1 = 7$ , jadi $y = 10^{7}$ , yang sepadan dengan titik $(2, 7)$ .

Q4[5 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = px^{2} + qx$ , dengan $p$ dan $q$ ialah pemalar. Suatu graf garis lurus $\frac{y}{x}$ melawan $x$ melalui titik $\left(x, \frac{y}{x}\right) = (1, -4)$ dan $(4, 2)$ .

Cari (a) nilai $p$ dan $q$ , dan (b) nilai bukan sifar bagi $x$ apabila $y = 0$ .

Show worked solution

(a) Sebelah kanan mempunyai dua sebutan dalam $x$ , jadi bahagikan kedua-dua belah dengan $x$ ( $x \neq 0$ ), bukan mengambil logaritma:

\frac{y}{x} = px + q

Berbanding dengan $Y = mX + c$ , paksi menegak ialah $Y = \frac{y}{x}$ dan paksi mengufuk ialah $X = x$ , jadi kecerunan ialah $p$ dan pintasan ialah $q$ . Cari kecerunan daripada dua titik:

p = \frac{2 - (-4)}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2

Gantikan titik $(1, -4)$ untuk mencari pintasan $q$ :

-4 = 2(1) + q \;\Rightarrow\; q = -6

(b) Jadi $y = 2x^{2} - 6x$ . Tetapkan $y = 0$ dan faktorkan, jangan terus bahagikan dengan $x$ kali ini, kerana $x = 0$ juga punca sebenar:

2x^{2} - 6x = 0 \;\Rightarrow\; 2x(x - 3) = 0

Ini memberi $x = 0$ atau $x = 3$ ; soalan meminta nilai bukan sifar.

Jawapan

$p = 2$ , $q = -6$ , dan punca bukan sifar ialah $x = 3$ . Semak: pada $x = 3$ , $y = 2(3)^{2} - 6(3) = 18 - 18 = 0$ , seperti dikehendaki.

Punca $x = 0$ hilang sebaik sahaja anda bahagikan dengan $x$ untuk melinearkan, jadi ia perlu dicari semula dengan menyelesaikan persamaan asal secara terus.

Q5[5 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = ax + \frac{b}{x}$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Suatu graf garis lurus $xy$ melawan $x^{2}$ melalui titik $(x^{2}, xy) = (1, -1)$ dan $(4, 8)$ .

Cari (a) nilai $a$ dan $b$ , dan (b) nilai positif bagi $x$ apabila $xy = 23$ .

Show worked solution

(a) Dua sebutan itu ialah $ax$ dan $\frac{b}{x}$ , jadi darabkan kedua-dua belah dengan $x$ untuk menghapuskan pecahan:

xy = ax^{2} + b

Berbanding dengan $Y = mX + c$ , paksi menegak ialah $Y = xy$ dan paksi mengufuk ialah $X = x^{2}$ , jadi kecerunan ialah $a$ dan pintasan ialah $b$ . Cari kecerunan daripada dua titik:

a = \frac{8 - (-1)}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3

Gantikan titik $(1, -1)$ untuk mencari pintasan $b$ :

-1 = 3(1) + b \;\Rightarrow\; b = -4

(b) Jadi $xy = 3x^{2} - 4$ . Tetapkan $xy = 23$ dan selesaikan untuk $x^{2}$ , kemudian ambil punca kuasa dua positif:

3x^{2} - 4 = 23 \;\Rightarrow\; 3x^{2} = 27 \;\Rightarrow\; x^{2} = 9 \;\Rightarrow\; x = 3

Jawapan

$a = 3$ , $b = -4$ , dan nilai positif ialah $x = 3$ . Semak: pada $x = 3$ , $xy = 3(3)^{2} - 4 = 27 - 4 = 23$ , seperti dikehendaki.

Oleh sebab persamaan yang dijelmakan berdarjah dua dalam $x$ , ingat $x = -3$ turut menjadi penyelesaian, hanya punca positif diminta di sini.

Q6[5 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y^{2} = ax + b$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Suatu graf garis lurus $y^{2}$ melawan $x$ melalui titik $(1, 4)$ dan $(5, 16)$ .

Cari (a) nilai $a$ dan $b$ , dan (b) dua nilai yang mungkin bagi $y$ apabila $x = 8$ .

Show worked solution

(a) Pemboleh ubah $y$ muncul dalam bentuk kuasa dua, jadi tiada salingan atau logaritma diperlukan, plot $y^{2}$ terus melawan $x$ :

y^{2} = ax + b

Berbanding dengan $Y = mX + c$ , paksi menegak ialah $Y = y^{2}$ dan paksi mengufuk ialah $X = x$ , jadi kecerunan ialah $a$ dan pintasan ialah $b$ . Cari kecerunan daripada dua titik:

a = \frac{16 - 4}{5 - 1} = \frac{12}{4} = 3

Gantikan titik $(1, 4)$ untuk mencari pintasan $b$ :

4 = 3(1) + b \;\Rightarrow\; b = 1

(b) Jadi $y^{2} = 3x + 1$ . Gantikan $x = 8$ , kemudian ambil punca kuasa dua kedua-dua belah, pemboleh ubah kuasa dua sentiasa meninggalkan dua punca:

y^{2} = 3(8) + 1 = 25 \;\Rightarrow\; y = \pm 5

Jawapan

$a = 3$ , $b = 1$ , dan $y = 5$ atau $y = -5$ apabila $x = 8$ . Semak: $3(8) + 1 = 25 = 5^{2} = (-5)^{2}$ , jadi kedua-dua nilai memenuhi persamaan.

Mengkuasaduakan $y$ untuk melinearkan hubungan itu menyembunyikan tandanya, jadi susulan yang meminta $y$ sendiri, bukan $y^{2}$ , sentiasa mempunyai dua jawapan sah melainkan soalan mengehadkan tanda $y$ .

Q7[6 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = ab^{x^{2}}$ , dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar. Suatu graf garis lurus $\lg y$ melawan $x^{2}$ melalui titik $(1, 3)$ dan $(4, 9)$ .

Cari (a) nilai $a$ dan $b$ , dan (b) nilai positif bagi $x$ apabila $y = 10^{19}$ .

Show worked solution

(a) Pemboleh ubah $x$ berada dalam eksponen, dan berkuasa dua pula, jadi ambil $\lg$ pada kedua-dua belah dan biarkan pemboleh ubah mengufuk baharu ialah $x^{2}$ itu sendiri:

\lg y = (\lg b)x^{2} + \lg a

Berbanding dengan $Y = mX + c$ , paksi menegak ialah $Y = \lg y$ dan paksi mengufuk ialah $X = x^{2}$ , jadi kecerunan ialah $\lg b$ dan pintasan ialah $\lg a$ . Cari kecerunan daripada dua titik, kemudian nyahkan logaritma:

\lg b = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 \;\Rightarrow\; b = 10^{2} = 100

Gantikan titik $(1, 3)$ untuk mencari pintasan, kemudian nyahkan logaritma:

3 = 2(1) + \lg a \;\Rightarrow\; \lg a = 1 \;\Rightarrow\; a = 10

(b) Jadi $y = 10(100)^{x^{2}} = 10^{1 + 2x^{2}}$ . Tulis sasaran sebagai kuasa sepuluh dan samakan indeks:

10^{1 + 2x^{2}} = 10^{19} \;\Rightarrow\; 1 + 2x^{2} = 19 \;\Rightarrow\; x^{2} = 9 \;\Rightarrow\; x = 3

Jawapan

$a = 10$ , $b = 100$ , dan nilai positif ialah $x = 3$ . Semak: $1 + 2(3)^{2} = 1 + 18 = 19$ , jadi $y = 10^{19}$ , seperti dikehendaki.

Eksponen di sini ialah $x^{2}$ , bukan $x$ , jadi mencari semula $x$ pada akhirnya memerlukan punca kuasa dua selain persamaan indeks, satu lapisan tambahan berbanding hukum eksponen biasa.

Q8[5 marks]

Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh $y = p\sqrt{x} + \frac{q}{\sqrt{x}}$ , dengan $p$ dan $q$ ialah pemalar. Suatu graf garis lurus $y\sqrt{x}$ melawan $x$ melalui titik $(1, 8)$ dan $(4, 14)$ .

Cari (a) nilai $p$ dan $q$ , dan (b) nilai $y$ apabila $x = 36$ .

Show worked solution

(a) Dua sebutan itu mempunyai $\sqrt{x}$ dan $\frac{1}{\sqrt{x}}$ , jadi darabkan kedua-dua belah dengan $\sqrt{x}$ untuk menghapuskan pecahan:

y\sqrt{x} = px + q

Berbanding dengan $Y = mX + c$ , paksi menegak ialah $Y = y\sqrt{x}$ dan paksi mengufuk ialah $X = x$ , jadi kecerunan ialah $p$ dan pintasan ialah $q$ . Cari kecerunan daripada dua titik:

p = \frac{14 - 8}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2

Gantikan titik $(1, 8)$ untuk mencari pintasan $q$ :

8 = 2(1) + q \;\Rightarrow\; q = 6

(b) Jadi $y\sqrt{x} = 2x + 6$ . Gantikan $x = 36$ , kemudian bahagikan dengan $\sqrt{36}$ untuk mengasingkan $y$ :

y\sqrt{36} = 2(36) + 6 = 78 \;\Rightarrow\; 6y = 78 \;\Rightarrow\; y = 13

Jawapan

$p = 2$ , $q = 6$ , dan $y = 13$ apabila $x = 36$ . Semak: $y\sqrt{x} = 2(36) + 6 = 78$ , dan $13 \times \sqrt{36} = 13 \times 6 = 78$ , yang sepadan.

Mendarab dengan $\sqrt{x}$ dan bukan mengkuasaduakan mengekalkan hubungan itu linear dalam $x$ sendiri, jadi susulan hanyalah penggantian terus setelah $p$ dan $q$ diketahui.

Setiap penyelesaian bersandar pada disiplin dua bahagian yang sama: jelmakan dengan kemas menjadi $Y = mX + c$ dan namakan paksi, kemudian baca pemalar dan bawa ia ke dalam susulan. Susulan itulah tempat soalan sukar menguji sama ada anda benar-benar membina semula hubungan asal, salingan, punca, atau persamaan indeks, bukan berhenti pada garis lurus.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini menunjukkan bagaimana soalan Hukum Linear yang sukar melapiskan susulan di atas penjelmaan. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Apabila pemboleh ubah terperangkap dalam pecahan, ambil salingan kedua-dua belah, kemudian pisahkan pecahan kepada sebutan berasingan.
Bagi $y = \frac{x}{ax+b}$ , salingan memberi $\frac{1}{y} = b\left(\frac{1}{x}\right) + a$ , jadi plot $\frac{1}{y}$ melawan $\frac{1}{x}$ .
Kecerunan pecahan dalam hukum kuasa hanyalah punca: $n = \frac{1}{2}$ bermakna $y = a\sqrt{x}$ ; songsangkannya dengan mengasingkan punca dan mengkuasaduakan.
Bagi hukum eksponen, tulis semula sasaran sebagai kuasa sepuluh dan samakan indeks untuk menyelesaikan $x$ dengan tepat.
Sentiasa bina semula hubungan asal dengan pemalar anda, kemudian gantikan titik yang diberi untuk mengesahkannya.
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, penjelmaan yang kemas dan perbandingan yang betul memperoleh markah kaedah walaupun sebelum susulan selesai.

Bagaimana guru membantu

Soalan sukar jarang gagal pada penjelmaan semata-mata, ia gagal pada sambungan antara penjelmaan dan susulan, tempat langkah salingan atau indeks tergopoh. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami mengerjakan sambungan itu bersama anda, supaya anda nampak bagaimana pemalar yang anda baca daripada garis masuk terus ke dalam persamaan yang masih perlu diselesaikan.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah, bukan hanya caranya. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya melinearkan hubungan seperti

y = \frac{x}{ax+b}

Ambil salingan kedua-dua belah untuk mendapat $\frac{1}{y} = \frac{ax+b}{x}$ , kemudian pisahkan sebelah kanan kepada $a + b\left(\frac{1}{x}\right)$ . Kini ia garis lurus dalam $\frac{1}{y}$ dan $\frac{1}{x}$ , dengan kecerunan $b$ dan pintasan $a$ .

Apakah maksud kecerunan pecahan dalam hukum kuasa?

Ia bermakna indeks $n$ ialah pecahan, yang sepadan dengan punca. Kecerunan $\frac{1}{2}$ memberi $y = a\sqrt{x}$ .

Untuk mencari $x$ daripada nilai $y$ , asingkan punca dan kuasa duakan kedua-dua belah.

Bagaimana saya menyelesaikan

y = ab^{x}

untuk

x

setelah tahu

a

dan

b

Gantikan pemalar dan tulis kedua-dua belah sebagai kuasa tapak yang sama. Apabila $y = 10^{3x+1}$ dan sasarannya $10^{7}$ , samakan indeks: $3x+1 = 7$ , jadi $x = 2$ .

Mengapa susulan begitu penting dalam soalan sukar?

Susulan menyemak sama ada anda membina semula hubungan asal, bukan hanya garis lurus. Membaca kecerunan dan pintasan hanyalah separuh tugas; membawanya ke dalam salingan, punca, atau persamaan indeks yang memperoleh markah kemudian.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Hukum Linear, Contoh Kerja (KBAT)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?