Nombor Indeks Soalan Latihan

Q: Bagaimana saya menggabungkan indeks merentas tiga tahun berbeza?

Darab kedua-dua indeks dan bahagi dengan 100100100. Jika indeks bagi 2021 berasaskan 2018 ialah 120120120 dan bagi 2024 berasaskan 2021 ialah 115115115, maka indeks bagi 2024 berasaskan 2018 ialah 120×115100=138\frac{120\times115}{100}=138100120×115=138.

Q: Indeks terhasil kurang daripada 100, adakah saya tersilap?

Belum tentu. Indeks kurang daripada 100100100 hanya bermaksud harga atau kos jatuh berbanding tahun asas; contohnya, 909090 ialah penurunan 10%10\%10%. Hanya risau jika arahnya bercanggah dengan harga yang diberi, harga semasa yang lebih tinggi mesti memberi indeks melebihi 100100100.

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan di bawah meningkat kesukarannya merentas seluruh bab, daripada satu indeks harga hingga indeks gubahan yang dibina daripada beberapa item berpemberat dan rantai pelbagai tahun. Beri diri anda kira-kira empat hingga tujuh minit bagi setiap soalan dan kerjakan di atas kertas dahulu, menulis setiap baris seperti dalam peperiksaan sebenar, nyatakan rumus, gantikan nombor, kemudian nyatakan jawapan sebagai indeks tulen atau harga dalam ringgit.

Tahan keinginan untuk mengintai.

Hanya selepas anda benar-benar menyiapkan jawapan penuh barulah anda buka penyelesaian dan nilai diri baris demi baris. Apabila kerja anda berbeza dengan kerja kami, berhenti pada baris tepat tempat kedua-duanya mula bercapah; langkah tunggal itulah yang hampir selalu menyebabkan markah hilang.

Oleh sebab Add Math dinilai secara analitik, menyatakan rumus yang betul dan menggantikan dengan betul masih memperoleh markah kaedah walaupun aritmetik akhir tergelincir, jadi tulis rumus sebelum anda mengira.

Sebelum bermula, pegang erti sebenar nombor indeks: tahun asas ditetapkan kepada $100$ , jadi indeks melebihi $100$ menunjukkan kenaikan dan indeks kurang daripada $100$ menunjukkan penurunan. Indeks $125$ ialah kenaikan $25\%$ dan $90$ ialah penurunan $10\%$ .

Indeks gubahan berkelakuan sama bagi seluruh bakul item. Mengingati perkara ini membolehkan anda menyemak hampir setiap jawapan: jika anda tahu harga naik, indeks kurang daripada $100$ ialah isyarat bahawa ada sesuatu yang tersilap.

Enam soalan latihan

Q1[2 marks]

Pada suatu tahun, harga satu kilogram tepung ialah RM40. Tiga tahun kemudian harganya naik kepada RM50.

Dengan mengambil tahun terdahulu sebagai tahun asas, cari indeks harga tepung bagi tahun kemudian.

Show worked solution

Indeks harga membandingkan harga semasa dengan harga tahun asas dan menskalakannya supaya tahun asas berada pada $100$ . Nyatakan takrif dahulu, kemudian tentukan harga yang mana ialah asas:

I=\frac{P_{1}}{P_{0}}\times100

Tahun terdahulu ialah asas, jadi harganya $P_{0}=40$ ; tahun kemudian memberi harga semasa $P_{1}=50$ . Gantikan dan permudahkan:

I=\frac{50}{40}\times100=125

Jawapan

Indeks harga ialah $125$ . Oleh sebab ia melebihi $100$ , harga telah naik, di sini sebanyak $25\%$ ; sebagai semakan, $40\times1.25=50$ , iaitu harga kemudian yang diberi.

Q2[3 marks]

Indeks harga suatu bahan mentah bagi tahun 2023 berasaskan tahun 2020 ialah $125$ . Harganya pada tahun 2023 ialah RM60.

Cari harganya pada tahun 2020.

Show worked solution

Guna takrif yang sama, tetapi baca soalan dengan teliti: kali ini harga semasa diketahui dan harga tahun asas pula yang perlu dicari:

I=\frac{P_{1}}{P_{0}}\times100

Gantikan $I=125$ dan $P_{1}=60$ . Darab kedua-dua belah dengan $P_{0}$ dan bahagi dengan $125$ untuk menjadikan $P_{0}$ perkara rumus:

125=\frac{60}{P_{0}}\times100 \;\Rightarrow\; P_{0}=\frac{60\times100}{125}=48

Jawapan

Harga pada tahun 2020 ialah RM48. Semak: $\frac{60}{48}\times100=125$ , yang sepadan dengan indeks yang diberi, dan harga asas lebih rendah daripada harga semasa, tepat seperti yang dituntut oleh indeks melebihi $100$ .

Q3[4 marks]

Suatu minuman dibuat daripada tiga bahan A, B dan C. Indeks harga mereka bagi tahun ini berasaskan tahun lepas ialah $110$ , $120$ dan $130$ masing-masing, dengan pemberat $2$ , $3$ dan $5$ .

Cari indeks gubahan bagi minuman itu untuk tahun ini berasaskan tahun lepas.

Show worked solution

Indeks gubahan bukan purata biasa, indeks harga setiap bahan diberi pemberat mengikut kepentingannya, kemudian digabungkan. Nyatakan rumus min berpemberat:

\bar{I}=\frac{\sum I_{i}w_{i}}{\sum w_{i}}

Darab setiap indeks dengan pemberatnya, jumlahkan tiga hasil darab untuk membentuk pengangka, dan jumlahkan tiga pemberat untuk membentuk penyebut:

\bar{I}=\frac{110(2)+120(3)+130(5)}{2+3+5}=\frac{220+360+650}{10}

\bar{I}=\frac{1230}{10}=123

Jawapan

Indeks gubahan ialah $123$ . Ia mesti terletak antara indeks terkecil $110$ dan terbesar $130$ ; oleh sebab $C$ membawa pemberat terberat, min ditarik ke arah $130$ , jadi nilai ini munasabah.

Q4[4 marks]

Indeks gubahan bahan-bahan yang digunakan oleh sebuah kedai roti bagi tahun 2024 berasaskan tahun 2021 ialah $125$ . Kedai roti itu membelanjakan RM8000 untuk bahan-bahan ini pada tahun 2021.

Cari kos jangkaan bagi bahan yang sama pada tahun 2024.

Show worked solution

Indeks gubahan berkelakuan seperti indeks harga tunggal bagi keseluruhan bakul bahan, jadi ia menghubungkan dua jumlah kos dengan cara yang sama seperti indeks harga menghubungkan dua harga. Tulis hubungan itu:

\bar{I}=\frac{C_{1}}{C_{0}}\times100

Gantikan indeks gubahan $\bar{I}=125$ dan kos tahun asas $C_{0}=8000$ , kemudian selesaikan untuk kos kemudian $C_{1}$ :

125=\frac{C_{1}}{8000}\times100 \;\Rightarrow\; C_{1}=\frac{125\times8000}{100}=10000

Jawapan

Kos jangkaan pada tahun 2024 ialah RM10 000. Semak: $\frac{10000}{8000}\times100=125$ , iaitu indeks gubahan yang diberi, kenaikan $25\%$ berbanding perbelanjaan 2021.

Q5[5 marks]

Tiga item P, Q dan R mempunyai indeks harga $105$ , $115$ dan $125$ dengan pemberat $3$ , $x$ dan $2$ . Indeks gubahan ialah $114$ .

Cari nilai $x$ .

Show worked solution

Ini ialah rumus indeks gubahan yang dijalankan secara songsang: anda diberi nilai gubahan dan mesti memperoleh semula pemberat yang hilang. Tulis rumus dengan $x$ dibiarkan di tempatnya dan samakan dengan $114$ :

\bar{I}=\frac{105(3)+115x+125(2)}{3+x+2}=114

Permudahkan pengangka dan penyebut, kemudian darab kedua-dua belah dengan $(5+x)$ untuk menghapuskan pecahan, ini menjadikan masalah satu persamaan linear yang mudah:

\frac{315+115x+250}{5+x}=114 \;\Rightarrow\; 565+115x=114(5+x)

Kembangkan sebelah kanan dan kumpulkan sebutan $x$ di satu belah dan nombor di belah yang lain:

565+115x=570+114x \;\Rightarrow\; 115x-114x=570-565 \;\Rightarrow\; x=5

Jawapan

$x=5$ . Semak: pengangka $=565+115(5)=1140$ , penyebut $=5+5=10$ , jadi $\bar{I}=\frac{1140}{10}=114$ , iaitu nilai yang diberi.

Q6[6 marks]

Indeks harga suatu komoditi bagi tahun 2021 berasaskan tahun 2018 ialah $120$ . Indeks harga bagi tahun 2024 berasaskan tahun 2021 ialah $115$ .

(a) Cari indeks harga bagi tahun 2024 berasaskan tahun 2018. (b) Diberi harga pada tahun 2018 ialah RM250, cari harga pada tahun 2024.

Show worked solution

(a) Anda tidak boleh sekadar menambah kedua-dua indeks, kerana setiap satu ialah angka berasaskan $100$ dan bukan harga mentah. Untuk merantai asas 2018 melalui 2021 dan seterusnya ke 2024, darab kedua-dua indeks dan bahagi dengan $100$ :

I_{2018,2024}=\frac{I_{2018,2021}\times I_{2021,2024}}{100}

I_{2018,2024}=\frac{120\times115}{100}=\frac{13800}{100}=138

(b) Kini anggap indeks gabungan ini sebagai indeks harga biasa, dengan harga 2018 sebagai harga asas $P_{0}=250$ , dan selesaikan untuk harga 2024:

138=\frac{P_{2024}}{250}\times100 \;\Rightarrow\; P_{2024}=\frac{138\times250}{100}=345

Jawapan

(a) Indeks bagi tahun 2024 berasaskan tahun 2018 ialah $138$ . (b) Harga 2024 ialah RM345.

Semak langkah demi langkah: $250\times1.20=300$ pada 2021, kemudian $300\times1.15=345$ pada 2024, jawapan yang sama dicapai melalui jalan yang berbeza.

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Add Math dinilai secara analitik, bermakna markah dilekatkan pada langkah, bukan hanya pada nombor akhir. Apabila menyemak skrip sendiri, berikan markah kepada diri anda seperti seorang pemeriksa: cari rumus yang betul ditulis sebelum sebarang nombor, penggantian dengan setiap nilai di kedudukan yang betul, dan angka akhir yang bermakna seperti yang diminta soalan.

Kerjakan senarai semak di bawah bagi setiap soalan, dan jujur tentang baris tepat tempat markah diperoleh atau hilang.

Markah rumus: adakah anda menulis $I=\frac{P_{1}}{P_{0}}\times100$ atau $\bar{I}=\frac{\sum I_{i}w_{i}}{\sum w_{i}}$ sebelum menggantikan?
Markah penggantian: adakah harga asas dan harga semasa berada di kedudukan yang betul, tahun asas di bawah, tahun semasa di atas?
Markah kerja: bagi indeks gubahan, adakah anda mendarab setiap indeks dengan pemberatnya, menjumlahkan, kemudian membahagi dengan jumlah pemberat dan bukan dengan bilangan item?
Markah jawapan: adakah indeks akhir dibiarkan sebagai nombor tulen, dan sebarang harga dinyatakan dalam ringgit dengan saiz yang munasabah?
Jika nombor akhir anda salah tetapi rumus dan penggantian betul, berikan diri anda markah kaedah, itulah tepat yang dilakukan oleh pemeriksa sebenar.

Bagaimana guru membantu

Menilai diri sendiri amat berkuasa, tetapi sukar untuk melihat titik buta sendiri. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat markah tergelincir, membahagi dengan bilangan item dan bukan jumlah pemberat, meletakkan harga semasa di bawah, atau terlupa membahagi dengan $100$ semasa merantai indeks merentas tahun, dan membetulkan tabiat itu serta-merta.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Apakah perbezaan antara indeks harga dan indeks gubahan?

Indeks harga membandingkan harga satu item dengan harga tahun asasnya menggunakan $I=\frac{P_{1}}{P_{0}}\times100$ . Indeks gubahan menggabungkan beberapa indeks harga menjadi satu angka dengan mengambil min berpemberatnya, $\bar{I}=\frac{\sum I_{i}w_{i}}{\sum w_{i}}$ , supaya item yang lebih penting dikira lebih berat.

Adakah pemberat mesti berjumlah 100?

Tidak. Pemberat boleh menjadi sebarang nombor positif, nisbah seperti $2:3:5$ berfungsi sama baik seperti peratusan.

Yang penting ialah anda membahagi dengan jumlah pemberat, bukan dengan bilangan item.

Bagaimana saya menggabungkan indeks merentas tiga tahun berbeza?

Darab kedua-dua indeks dan bahagi dengan $100$ . Jika indeks bagi 2021 berasaskan 2018 ialah $120$ dan bagi 2024 berasaskan 2021 ialah $115$ , maka indeks bagi 2024 berasaskan 2018 ialah $\frac{120\times115}{100}=138$ .

Indeks terhasil kurang daripada 100, adakah saya tersilap?

Belum tentu. Indeks kurang daripada $100$ hanya bermaksud harga atau kos jatuh berbanding tahun asas; contohnya, $90$ ialah penurunan $10\%$ .

Hanya risau jika arahnya bercanggah dengan harga yang diberi, harga semasa yang lebih tinggi mesti memberi indeks melebihi $100$ .

Adakah jawapan akhir yang salah menyebabkan saya hilang setiap markah?

Tidak. Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, menyatakan rumus yang betul dan menggantikan dengan betul masih memperoleh markah kaedah walaupun aritmetik tergelincir.

Sentiasa tulis baris rumus dahulu.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Nombor Indeks, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?