KBAT: Persamaan Serentak Konteks

Q: Persamaan mana patut saya gantikan daripada, linear atau tak linear?

Sentiasa susun semula persamaan linear dan gantikan ke dalam yang satu lagi. Di sini menjadikan y=17−xy=17-xy=17−x perkara rumus dan memasukkannya ke dalam xy=66xy=66xy=66 memberi satu kuadratik yang bersih. Menggantikan daripada persamaan tak linear biasanya menghasilkan pecahan atau sebutan tambahan dan mengundang kesilapan.

Q: Kedua-dua punca memberi segi empat tepat yang sama, adakah itu kesilapan?

Tidak. x=11, y=6x=11,\,y=6x=11,y=6 dan x=6, y=11x=6,\,y=11x=6,y=11 menerangkan satu segi empat tepat berukuran 11 m kali 6 m; kedua-dua punca hanya bertukar sisi mana anda panggil panjang dan lebar. Garis panduan bahawa panjang mesti melebihi lebar lebih 4 m kemudian menyuruh anda ambil panjang 11 m dan lebar 6 m.

Q: Bagaimana diskriminan menunjukkan sesuatu itu mustahil?

Diskriminan b2−4acb^{2}-4acb2−4ac memberitahu sama ada kuadratik ada penyelesaian nyata. Untuk luas 80 dengan perimeter 34, ia 289−320=−31289-320=-31289−320=−31, iaitu negatif, jadi x2−17x+80=0x^{2}-17x+80=0x2−17x+80=0 tiada punca nyata, dan tiada segi empat tepat sedemikian wujud. Diskriminan negatif ialah cara kemas untuk membuktikan senario tidak boleh berlaku.

Q: Bolehkah saya masih dapat markah jika hanya menemui satu dimensi?

Boleh. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Persamaan yang betul, penggantian yang sah dan satu nilai yang diselesaikan boleh memperoleh sebahagian besar markah sebelum anda selesai memadan dan mentafsir.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan sistem rutin memberi anda satu persamaan linear dan satu tak linear lalu menyuruh 'selesaikan secara serentak'. Soalan KBAT memberi anda taklimat reka bentuk, perimeter, luas, satu peraturan tentang dimensi, dan menjangka anda menulis kedua-dua persamaan itu sendiri, menyelesaikannya, kemudian menilai jawapan terhadap situasi.

Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: penggantian dan rumus kuadratik ialah kerja Tingkatan 4 biasa, tetapi memilih pemboleh ubah, membentuk pasangan persamaan, dan memutuskan punca mana yang bermakna (atau sama ada sebarang penyelesaian wujud) ialah langkah yang tiada siapa eja. Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang boleh mengaitkan sistem persamaan dengan bentuk atau senario di sebaliknya, dan yang membaca diskriminan sebagai pernyataan tentang sama ada sesuatu mungkin langsung, bukan sekadar nombor dalam rumus.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[8 marks]

Seorang pereka landskap merancang sebuah kolam pantulan berbentuk segi empat tepat. Untuk muat di laman, perimeternya mesti 34 m, dan permukaan air mesti meliputi 66 m $^{2}$ .

(a) Dengan mengambil panjang sebagai $x$ m dan lebar sebagai $y$ m, bentukkan dua persamaan dan selesaikannya secara serentak untuk mencari dimensi yang mungkin. (b) Satu garis panduan menghendaki panjang melebihi lebar lebih daripada 4 m.

Nyatakan dimensi yang memenuhinya, dengan justifikasi. (c) Pereka itu tertanya-tanya sama ada kolam dengan perimeter 34 m yang sama boleh sebaliknya mengurung 80 m $^{2}$ .

Dengan menaakul tentang diskriminan, tentukan sama ada ini mungkin.

Show worked solution

Faham. Perimeter memberi persamaan linear dalam $x$ dan $y$ ; luas memberi yang tak linear.

Kita selesaikannya bersama, memilih dimensi yang memenuhi garis panduan, kemudian menguji sama ada 80 m $^{2}$ boleh dicapai dengan perimeter yang sama.

Rancang. Daripada perimeter, $2(x+y)=34\Rightarrow x+y=17$ .

Daripada luas, $xy=66$ . Gantikan $y=17-x$ ke dalam persamaan luas untuk mendapat satu kuadratik, kemudian selesaikan.

Laksana dan semak. (a) Dua persamaan itu ialah:

x+y=17 \qquad\text{dan}\qquad xy=66

Gantikan $y=17-x$ ke dalam $xy=66$ :

x(17-x)=66 \;\Rightarrow\; 17x-x^{2}=66 \;\Rightarrow\; x^{2}-17x+66=0

Faktorkan: $(x-11)(x-6)=0$ , jadi $x=11$ atau $x=6$ . Lebar sepadan ialah $y=17-11=6$ atau $y=17-6=11$ .

Bagaimanapun, kolam itu berukuran 11 m kali 6 m.

(b) Garis panduan menghendaki panjang $-$ lebar $>4$ . Dengan panjang 11 m dan lebar 6 m, $11-6=5>4$ ✓, jadi panjangnya 11 m dan lebarnya 6 m.

(Umpukan panjang 6, lebar 11 akan menjadikan panjang lebih pendek daripada lebar, jadi ditolak sebagai pelabelan panjang dan lebar.)

x^{2}-17x+80=0

Uji diskriminan $b^{2}-4ac$ :

(-17)^{2}-4(1)(80)=289-320=-31<0

Diskriminan negatif, jadi persamaan tiada penyelesaian nyata: tiada segi empat tepat dengan perimeter 34 m boleh mengurung 80 m $^{2}$ . Ia mustahil.

Semak. Bagi perimeter tetap, luas terbesar ialah segi empat sama: sisi $17\div 2=8.5$ m memberi luas $8.5^{2}=72.25$ m $^{2}$ .

Kerana $66<72.25$ , kolam dalam (a) mudah dicapai, manakala $80>72.25$ melebihi maksimum, selaras dengan diskriminan negatif.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila soalan sistem bersembunyi di sebalik senario, langkah pertama yang boleh dipercayai ialah menamakan dua anu itu dengan jelas dan menukar setiap maklumat kepada satu persamaan. Di sini 'panjang $x$ , lebar $y$ ' ialah pilihannya; perimeter menjadi $x+y=17$ dan luas menjadi $xy=66$ .

Perhatikan persamaan yang mana linear, itulah yang perlu disusun semula, kerana menjadikan $y$ perkara rumus dan menggantikannya sentiasa mengecutkan pasangan itu kepada satu kuadratik. Tahan diri daripada bermula dengan persamaan tak linear; menggantikan daripadanya lebih berselerak dan mengundang ralat.

Sebaik anda ada satu kuadratik dalam $x$ , selebihnya biasa: faktorkan atau guna rumus, kemudian padankan setiap $x$ dengan $y$ -nya. Menamakan pemboleh ubah dan memilih persamaan linear untuk digantikan menukar taklimat asing menjadi rutin yang telah anda latih berkali-kali.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan konteks persamaan serentak, pemeriksa mencari:

Dua persamaan betul dibentuk daripada ayat, $x+y=17$ (linear) dan $xy=66$ (tak linear).
Penggantian daripada persamaan linear untuk mencapai satu kuadratik, $x^{2}-17x+66=0$ .
Kaedah penyelesaian sah, memfaktorkan $(x-11)(x-6)=0$ atau rumus kuadratik.
Kedua-dua punca dipadankan dengan nilai sepadan, dan dimensi dinyatakan sebagai 11 m kali 6 m.
Garis panduan dikenakan dengan sebab, panjang melebihi lebar sebanyak 5 m, iaitu lebih daripada 4 m.
Hujah diskriminan bagi bahagian (c): $289-320=-31<0$ , oleh itu tiada penyelesaian nyata dan 80 m $^{2}$ mustahil.

Bagaimana seorang guru membantu

Soalan konteks sistem bertambah baik paling cepat apabila pelajar berlatih menterjemah ayat kepada persamaan kemudian mempertahankan setiap jawapan. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami meminta anda mentakrifkan dua pemboleh ubah sebelum menulis apa-apa, menggantikan daripada persamaan linear sebagai tabiat, dan menyebut dalam perkataan mengapa sesuatu punca disimpan atau ditolak.

Kami luangkan masa pada diskriminan sebagai ujian ya-atau-tidak untuk kebolehcapaian, kerana di situlah markah KBAT berada. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Persamaan mana patut saya gantikan daripada, linear atau tak linear?

Sentiasa susun semula persamaan linear dan gantikan ke dalam yang satu lagi. Di sini menjadikan $y=17-x$ perkara rumus dan memasukkannya ke dalam $xy=66$ memberi satu kuadratik yang bersih.

Menggantikan daripada persamaan tak linear biasanya menghasilkan pecahan atau sebutan tambahan dan mengundang kesilapan.

Kedua-dua punca memberi segi empat tepat yang sama, adakah itu kesilapan?

Tidak. $x=11,\,y=6$ dan $x=6,\,y=11$ menerangkan satu segi empat tepat berukuran 11 m kali 6 m; kedua-dua punca hanya bertukar sisi mana anda panggil panjang dan lebar.

Garis panduan bahawa panjang mesti melebihi lebar lebih 4 m kemudian menyuruh anda ambil panjang 11 m dan lebar 6 m.

Bagaimana diskriminan menunjukkan sesuatu itu mustahil?

Diskriminan $b^{2}-4ac$ memberitahu sama ada kuadratik ada penyelesaian nyata. Untuk luas 80 dengan perimeter 34, ia $289-320=-31$ , iaitu negatif, jadi $x^{2}-17x+80=0$ tiada punca nyata, dan tiada segi empat tepat sedemikian wujud.

Diskriminan negatif ialah cara kemas untuk membuktikan senario tidak boleh berlaku.

Bolehkah saya masih dapat markah jika hanya menemui satu dimensi?

Boleh. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris.

Persamaan yang betul, penggantian yang sah dan satu nilai yang diselesaikan boleh memperoleh sebahagian besar markah sebelum anda selesai memadan dan mentafsir.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

KBAT: Persamaan Serentak dalam Konteks