KBAT: Logaritma Pelbagai Langkah

Q: Bagaimana saya mengesan kuadratik tersembunyi dalam soalan logaritma?

Cari ungkapan berulang. Jika blok seperti log⁡2x\log_2 xlog2x muncul dua kali, biar uuu mewakilinya. Persamaan seperti u+1u=52u+\frac{1}{u}=\frac{5}{2}u+u1=25 menjadi kuadratik sebaik sahaja anda menghapuskan pecahan, dan pemfaktoran menyelesaikannya.

Q: Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk soalan begini?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Menukar asas, menggantikan, menyelesaikan kuadratik dan menyemak kesahan masing-masing memperoleh markah, jadi susun setiap langkah.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan logaritma rutin mengenakan satu hukum sekali sahaja, kembangkan $\log ab$ , atau selesaikan $\log_3(2x+1)=2$ . Soalan KBAT pelbagai langkah merangkaikan beberapa idea dan menyembunyikan strukturnya: ia mungkin menggabungkan hukum hasil darab, hasil bahagi atau kuasa dengan penukaran asas, dan selalunya menyorok kuadratik di sebalik penggantian.

Itulah pemikiran aras tinggi, Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: setiap hukum sudah biasa, tetapi anda mesti memutuskan yang mana untuk digunakan, dalam susunan apa, dan mengecam bentuk tersembunyi, contohnya bahawa $\log_x 2$ bersamaan $\tfrac{1}{\log_2 x}$ . Tiada apa-apa pada kertas mengumumkan 'ini kuadratik'.

Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang melihat bentuk persamaan, bukan sekadar permukaannya.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cubalah sebelum membaca penyelesaian.

Q1[6 marks]

Selesaikan persamaan $\log_2 x + \log_x 2 = \dfrac{5}{2}$ , dengan memberi setiap nilai $x$ dalam bentuk tepat.

Show worked solution

Faham. Persamaan ini mencampurkan dua asas berbeza: $\log_2 x$ berasas $2$ , manakala $\log_x 2$ berasas $x$ .

Keduanya tidak boleh ditambah terus. Kita perlukan satu pemboleh ubah, jadi tugas pertama ialah menulis kedua-dua sebutan dengan asas yang sama.

Rancang. Guna hukum penukaran asas $\log_x 2=\dfrac{\log_2 2}{\log_2 x}=\dfrac{1}{\log_2 x}$ .

Biar $u=\log_2 x$ ; persamaan menjadi $u+\dfrac{1}{u}=\dfrac{5}{2}$ , sebuah kuadratik tersembunyi. Selesaikan untuk $u$ , kemudian dapatkan semula $x$ , dan semak kedua-dua jawapan adalah sah.

Laksana dan semak. Menggantikan $u=\log_2 x$ :

u+\frac{1}{u}=\frac{5}{2}

Darabkan setiap sebutan dengan $2u$ (perhatikan $u\neq 0$ , kerana $\log_2 x=0$ akan menjadikan $\log_x 2$ tak tertakrif):

2u^{2}+2=5u \;\Rightarrow\; 2u^{2}-5u+2=0

Faktorkan kuadratik itu:

(2u-1)(u-2)=0 \;\Rightarrow\; u=\tfrac{1}{2} \;\text{atau}\; u=2

Kembali kepada $x$ melalui $u=\log_2 x$ , jadi $x=2^{\,u}$ :

u=\tfrac{1}{2}\Rightarrow x=2^{1/2}=\sqrt{2}\, \qquad u=2\Rightarrow x=2^{2}=4

Kedua-dua nilai adalah sah, kerana asas logaritma mesti positif dan bukan $1$ : $\sqrt{2}>0$ , $\sqrt{2}\neq 1$ , dan $4>0$ , $4\neq 1$ . Jadi $x=\sqrt{2}$ atau $x=4$ .

Semak. Bagi $x=4$ : $\log_2 4=2$ dan $\log_4 2=\tfrac{1}{2}$ , memberi $2+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}$ .

Bagi $x=\sqrt{2}$ : $\log_2\sqrt{2}=\tfrac{1}{2}$ dan $\log_{\sqrt{2}}2=2$ , memberi $\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{5}{2}$ . Kedua-duanya memenuhi persamaan asal.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila soalan logaritma kelihatan berbelit, langkah pertama yang boleh dipercayai ialah menjadikan semuanya asas yang sama. Perhatikan sebutan dalam asas berbeza atau pemboleh ubah yang berada dalam asas, dan guna hukum penukaran asas untuk menyatukannya, itu sahaja sudah meleraikan kebanyakan masalah pelbagai langkah.

Seterusnya, cari blok yang berulang. Jika ungkapan yang sama, seperti $\log_2 x$ , muncul lebih daripada sekali, biar satu huruf mewakilinya; selalunya persamaan itu kemudian mendedahkan dirinya sebagai kuadratik yang boleh difaktorkan.

Barulah selepas itu anda selesaikan. Akhirnya, rancang untuk menyemak: logaritma membawa syarat tersembunyi, hujahnya mesti positif dan asas mesti positif dan bukan $1$ , jadi anda mungkin perlu menolak jawapan yang melanggarnya.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan logaritma pelbagai langkah, pemeriksa mencari:

Penggunaan hukum penukaran asas yang betul untuk meletakkan semua sebutan dalam satu asas, contohnya $\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}$ .
Penggantian yang jelas seperti $u=\log_2 x$ , yang mendedahkan kuadratik tersembunyi.
Kuadratik dibentuk dengan betul, $2u^{2}-5u+2=0$ , dan diselesaikan melalui pemfaktoran atau formula.
Kedua-dua nilai penggantian dibawa kembali kepada $x$ , bukan hanya satu.
Jawapan dikekalkan dalam bentuk tepat, termasuk surd seperti $\sqrt{2}$ , bukan perpuluhan bulat.
Semakan kesahan bahawa setiap $x$ mengekalkan setiap logaritma tertakrif, dengan mana-mana punca tak sah ditolak.

Bagaimana seorang guru membantu

Halangan yang menghentikan pelajar jarang sekali algebranya, ia melihat bahawa satu sebutan menyorok salingan atau bahawa satu penggantian mendedahkan kuadratik. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami melatih mata itu: kami berlatih 'asas sama dahulu', kemudian memburu blok berulang untuk digantikan, supaya langkah menjadi automatik.

Kami juga melatih semakan kesahan akhir, kerana jawapan yang hilang atau punca yang tidak ditolak merugikan markah yang sudah pun diperoleh oleh kerja tadi. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya menangani dua asas logaritma berbeza dalam satu persamaan?

Guna hukum penukaran asas untuk menulis semula semuanya dalam satu asas. Kes khas yang berguna ialah $\log_x 2=\frac{\log_2 2}{\log_2 x}=\frac{1}{\log_2 x}$ , yang menukar persamaan asas campuran kepada persamaan satu pemboleh ubah.

Bagaimana saya mengesan kuadratik tersembunyi dalam soalan logaritma?

Cari ungkapan berulang. Jika blok seperti $\log_2 x$ muncul dua kali, biar $u$ mewakilinya.

Persamaan seperti $u+\frac{1}{u}=\frac{5}{2}$ menjadi kuadratik sebaik sahaja anda menghapuskan pecahan, dan pemfaktoran menyelesaikannya.

Perlukah saya menyemak jawapan logaritma saya?

Ya. Hujah logaritma mesti positif, dan asas mesti positif dan bukan $1$ .

Selepas menyelesaikan, uji setiap nilai terhadap syarat ini dan tolak mana-mana yang melanggarnya, tetapi kekalkan jawapan surd yang sah seperti $\sqrt{2}$ dalam bentuk tepat.

Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk soalan begini?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Menukar asas, menggantikan, menyelesaikan kuadratik dan menyemak kesahan masing-masing memperoleh markah, jadi susun setiap langkah.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

KBAT: Masalah Logaritma Pelbagai Langkah