KBAT: Penaakulan Tentang Fungsi

Q: Apakah perbezaan antara fg(x) dan gf(x)?

Susunan penting. fg(x)fg(x)fg(x) bermaksud 'buat ggg dahulu, kemudian fff', manakala gf(x)gf(x)gf(x) bermaksud 'buat fff dahulu, kemudian ggg'. Keduanya biasanya memberi ungkapan berbeza, jadi menterbalikkan susunan ialah antara markah paling kerap hilang, sentiasa tulis g(f(x))g(f(x))g(f(x)) secara jelas sebelum memudahkan.

Q: Bolehkah persamaan yang melibatkan fungsi benar-benar tiada penyelesaian?

Ya. Apabila menyelesaikan gf(x)=1gf(x)=1gf(x)=1 mengecut kepada pernyataan mustahil seperti 3=23=23=2, maksudnya tiada nilai xxx yang berfungsi. Secara geometri nilai 111 ialah asimptot mengufuk bagi gfgfgf, graf menghampirinya tetapi tidak pernah menyentuhnya, jadi persamaan itu tiada penyelesaian nyata.

Q: Bolehkah saya dapat markah jika jawapan akhir saya salah?

Boleh. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Gubahan yang jelas, kekangan yang betul dan kerja yang jujur boleh memperoleh markah baik walaupun kesilapan kemudian mengubah nombor akhir.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan fungsi rutin memberi satu arahan jelas,'cari $fg(x)$ ' atau 'cari $f^{-1}(x)$ ', dan anda melaksanakan satu teknik sahaja. Soalan KBAT merangkai beberapa idea dan meminta anda menaakul tentang hasilnya.

Anda mungkin membina gubahan, memutuskan di mana ia tak tertakrif, menyongsangkan fungsi, kemudian menilai sama ada persamaan yang melibatkannya boleh diselesaikan langsung. Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: setiap langkah individu ialah kerja Tingkatan 4 yang biasa, tetapi anda menemuinya dalam susunan yang asing dan tiada siapa memberitahu yang mana perlu digunakan.

Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang memahami apa sebenarnya dilakukan oleh sesuatu fungsi, bagaimana input dipetakan kepada output, dan mengapa sesuatu nilai boleh dilarang, bukan pelajar yang hanya menghafal prosedur.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[7 marks]

Dua fungsi ditakrifkan oleh $f(x)=2x+3$ dan $g(x)=\frac{x}{x-1}$ , $x\neq 1$ . (a) Cari fungsi gubahan $gf(x)$ , dan nyatakan nilai $x$ yang menjadikan $gf(x)$ tak tertakrif.

(b) Cari fungsi songsang $f^{-1}(x)$ . (c) Seorang pelajar mendakwa bahawa persamaan $gf(x)=1$ mempunyai penyelesaian nyata.

Dengan menyelesaikan $gf(x)=1$ , tentukan sama ada dakwaan itu betul dan terangkan maksud hasil anda.

Show worked solution

Faham. Kita diberi fungsi linear $f$ dan fungsi nisbah $g$ yang tak tertakrif pada $x=1$ .

Bahagian (a) meminta $gf$ , kenakan $f$ dahulu, kemudian $g$ , dan nilai yang menjadikannya rosak. Bahagian (b) ialah songsang bagi fungsi linear.

Bahagian (c) menanya sama ada gubahan itu boleh sama dengan $1$ .

Rancang. Untuk $gf(x)$ , gantikan $f(x)=2x+3$ ke dalam $g$ .

Gubahan itu tak tertakrif di mana penyebutnya sifar, iaitu tepat di tempat $f(x)=1$ , input yang tidak boleh diterima $g$ . Untuk songsang, biar $y=f(x)$ dan jadikan $x$ sebagai perkara rumus.

Untuk bahagian (c), tetapkan $gf(x)=1$ dan selesaikan dengan jujur.

Laksana dan semak. (a) Gantikan $f(x)=2x+3$ sebagai input bagi $g$ :

gf(x)=g(2x+3)=\frac{2x+3}{(2x+3)-1}=\frac{2x+3}{2x+2}

Gubahan itu tak tertakrif apabila penyebut sifar, $2x+2=0$ , memberi $x=-1$ . (Inilah nilai yang menjadikan $f(x)=1$ , input yang tidak boleh diambil oleh $g$ .)

(b) Biar $y=2x+3$ . Jadikan $x$ perkara rumus, $x=\frac{y-3}{2}$ , maka

f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}

\frac{2x+3}{2x+2}=1 \;\Rightarrow\; 2x+3=2x+2 \;\Rightarrow\; 3=2

Pernyataan $3=2$ adalah mustahil, jadi tiada nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu. Maka dakwaan itu tidak betul: $gf(x)$ tidak pernah sama dengan $1$ .

Garis $y=1$ ialah asimptot mengufuk bagi $gf$ , gubahan itu semakin menghampiri $1$ apabila $x$ membesar, tetapi tidak pernah benar-benar mencapainya.

Semak. Menguji nilai besar, $x=100$ memberi $gf(100)=\frac{203}{202}\approx 1.005$ , hampir $1$ tetapi tidak sama, manakala $gf(0)=\frac{3}{2}$ .

Kedua-dua bacaan selaras dengan nilai yang menghampiri $1$ tanpa mencapainya, jadi kesimpulan itu kekal benar.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila soalan fungsi kelihatan bersimpul, langkah pertama yang boleh dipercayai ialah membaca tatatanda perlahan-lahan dan menetapkan susunan sebelum menyentuh algebra. $gf(x)$ bermaksud 'buat $f$ dahulu, kemudian $g$ ', jadi output $f$ menjadi input $g$ .

Tulis penggantian itu secara jelas, $g(f(x))$ , sebelum memudahkan, dan anda jarang terbalikkan susunan secara tidak sengaja. Seterusnya, perhatikan sebarang kekangan yang dibawa oleh setiap fungsi, kerana kekangan itu berpindah ke dalam gubahan.

Tanya: input apa yang dilarang bagi $g$ ? Di sini $g$ tidak boleh mengambil $1$ , jadi gubahan itu tak tertakrif di mana sahaja $f(x)=1$ .

Menamakan susunan dan kekangan di awal menukar soalan asing menjadi rangkaian langkah biasa, dan ia melindungi markah kaedah yang bergantung pada kerja seterusnya.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan penaakulan fungsi, pemeriksa mencari:

Susunan gubahan yang betul, $gf$ bermaksud gantikan $f$ ke dalam $g$ , satu markah yang kerap hilang kerana diterbalikkan.
Gubahan ditunjukkan sebagai satu ungkapan yang dipermudahkan, seperti $\frac{2x+3}{2x+2}$ .
Nilai terkecuali dinyatakan dengan sebab, penyebut sifar, atau $g$ tidak boleh menerima input itu.
Songsang dicari dengan kaedah sah (biar $y=f(x)$ , jadikan $x$ perkara rumus), dengan jawapan dalam sebutan $x$ .
Bahagian penaakulan dibawa sehingga percanggahan $3=2$ , kemudian kesimpulan jelas dibuat daripadanya.
Tafsiran hasil,'tiada penyelesaian; $y=1$ tidak pernah dicapai', bukan sekadar 'tiada jawapan'.

Bagaimana seorang guru membantu

Penaakulan dengan fungsi bertambah baik paling cepat apabila pelajar menerangkan pemikirannya dengan lantang dan disemak. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami meminta anda menyebut susunan sebelum menulisnya, menamakan setiap kekangan sebaik ia muncul, dan menyatakan dalam perkataan maksud sesuatu jawapan.

Kami memperlahankan saat pelajar biasanya tergesa, lompatan daripada percanggahan seperti $3=2$ kepada kesimpulan 'maka tiada penyelesaian', kerana tafsiran itu memperoleh markah. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Apakah perbezaan antara

fg(x)

dan

gf(x)

Susunan penting. $fg(x)$ bermaksud 'buat $g$ dahulu, kemudian $f$ ', manakala $gf(x)$ bermaksud 'buat $f$ dahulu, kemudian $g$ '.

Keduanya biasanya memberi ungkapan berbeza, jadi menterbalikkan susunan ialah antara markah paling kerap hilang, sentiasa tulis $g(f(x))$ secara jelas sebelum memudahkan.

Bagaimana saya menyatakan kekangan bagi fungsi gubahan?

Gubahan mewarisi setiap kekangan fungsi di dalamnya. Tanya di mana output fungsi dalam dilarang oleh fungsi luar.

Di sini $g$ tidak boleh mengambil input $1$ , jadi $gf(x)$ tak tertakrif di mana $f(x)=1$ , iaitu $x=-1$ , nilai sama yang menjadikan penyebut gubahan sifar.

Bolehkah persamaan yang melibatkan fungsi benar-benar tiada penyelesaian?

Ya. Apabila menyelesaikan $gf(x)=1$ mengecut kepada pernyataan mustahil seperti $3=2$ , maksudnya tiada nilai $x$ yang berfungsi.

Secara geometri nilai $1$ ialah asimptot mengufuk bagi $gf$ , graf menghampirinya tetapi tidak pernah menyentuhnya, jadi persamaan itu tiada penyelesaian nyata.

Bolehkah saya dapat markah jika jawapan akhir saya salah?

Boleh. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris.

Gubahan yang jelas, kekangan yang betul dan kerja yang jujur boleh memperoleh markah baik walaupun kesilapan kemudian mengubah nombor akhir.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026