KBAT: Pemodelan Fungsi Gubahan

Q: Adakah fg(x) sama maksud dengan gf(x) dalam soalan pemodelan?

Biasanya tidak. fg(x)=f(g(x))fg(x)=f(g(x))fg(x)=f(g(x)) mengenakan ggg dahulu, manakala gf(x)=g(f(x))gf(x)=g(f(x))gf(x)=g(f(x)) mengenakan fff dahulu. Dalam situasi sebenar itulah beza antara mendiskaun sebelum atau selepas rebat, dan di sini ia menukar harga akhir sebanyak RM20 tetap. Sentiasa tulis fungsi dalam dahulu dan kekalkan susunan yang diterangkan cerita.

Q: Bolehkah saya masih dapat markah jika saya membina gubahan secara terbalik?

Boleh. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah dengan pemarkahan analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Rumus fungsi yang betul, penggantian yang sah dan kerja jujur boleh memperoleh markah walaupun susunan tergelincir, namun menamakan susunan dahulu ialah cara paling pasti untuk melindunginya.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan gubahan rutin memberi anda $f$ dan $g$ lalu menyuruh 'cari $gf(x)$ '. Soalan KBAT pemodelan menyembunyikan fungsi di dalam situasi, dua tawaran kedai, dua peringkat penukaran, dua mesin pada satu talian, dan meminta anda membina gubahan itu sendiri, kemudian membuat keputusan dengannya.

Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: gubahan itu sendiri ialah kerja Tingkatan 4 yang biasa, tetapi memilih proses mana yang bertindak dahulu, menjejaki unit, dan mentafsir hasil tidak dieja untuk anda. Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang melihat fungsi sebagai mesin yang bertindak ke atas input, supaya menyusun dua mesin membawa makna sebenar, bukan pelajar yang hanya menolak simbol.

Bungkusan yang asing, bukan algebra di dalamnya, itulah yang menyukarkan soalan.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[7 marks]

Sebuah kedai elektronik menawarkan dua promosi untuk komputer riba berharga senarai RM $x$ . Promosi A ialah rebat tunai tetap RM200, dimodelkan oleh $f(x)=x-200$ .

Promosi B ialah diskaun ahli 10%, dimodelkan oleh $g(x)=0.9x$ . Pelanggan boleh menggunakan kedua-duanya, dalam mana-mana susunan.

(a) Tuliskan harga akhir sebagai fungsi gubahan bagi setiap susunan: Promosi B diikuti A, dan Promosi A diikuti B. (b) Sebuah komputer riba disenaraikan pada RM3000.

Cari harga akhir bagi setiap susunan, dan nyatakan susunan mana yang patut dipilih pelanggan. (c) Tunjukkan bahawa satu susunan sentiasa lebih murah daripada satu lagi dengan jumlah tetap yang sama, tidak kira harga senarai, dan terangkan sebabnya dari segi promosi itu.

Show worked solution

Faham. Kita ada dua fungsi bagi harga ringgit: $f$ menolak rebat tetap, dan $g$ mendarab dengan $0.9$ untuk diskaun 10%.

Kedua-duanya mengambil ringgit kepada ringgit, jadi mana-mana boleh bertindak dahulu. Kita perlu membina kedua-dua gubahan, membandingkannya pada RM3000, kemudian membandingkannya secara am.

Rancang. 'B diikuti A' bermaksud kenakan $g$ dahulu, kemudian $f$ , iaitu $f(g(x))$ , ditulis $fg(x)$ .

'A diikuti B' bermaksud $g(f(x))$ , ditulis $gf(x)$ . Bina kedua-duanya, gantikan $x=3000$ , kemudian kira beza am $gf(x)-fg(x)$ .

Laksana dan semak. (a) B kemudian A mengenakan $g$ dahulu:

fg(x)=f(g(x))=f(0.9x)=0.9x-200

A kemudian B mengenakan $f$ dahulu:

gf(x)=g(f(x))=g(x-200)=0.9(x-200)=0.9x-180

(b) Gantikan $x=3000$ ke dalam setiap satu:

fg(3000)=0.9(3000)-200=2700-200=2500

gf(3000)=0.9(3000)-180=2700-180=2520

Jadi B-kemudian-A memberi RM2500 dan A-kemudian-B memberi RM2520. Pelanggan patut mengambil diskaun 10% dahulu dan rebat kemudian, membayar RM2500, RM20 lebih murah.

gf(x)-fg(x)=(0.9x-180)-(0.9x-200)=20

Bezanya ialah tetap RM20, tidak bergantung pada $x$ : sebutan $0.9x$ terhapus. Jadi B-kemudian-A sentiasa RM20 lebih murah.

Sebabnya, diskaun 10% yang dikenakan selepas rebat turut mendiskaunkan rebat itu sendiri, dan $10\%$ daripada RM200 ialah RM20. Mengenakan diskaun dahulu melindungi rebat penuh RM200; mengenakannya kemudian secara senyap mengecilkan rebat sebanyak RM20.

Semak. Cuba harga berbeza, $x=1500$ : $fg(1500)=0.9(1500)-200=1150$ dan $gf(1500)=1350-180=1170$ .

Bezanya sekali lagi RM20, mengesahkan hasil. (Model ini memerlukan $0.9x\ge 200$ , iaitu $x\ge \text{RM}223$ lebih kurang, supaya rebat tidak menolak harga di bawah sifar, benar bagi mana-mana komputer riba yang realistik.)

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila soalan menyembunyikan fungsi di dalam cerita, langkah pertama yang boleh dipercayai ialah menamakan setiap proses sebagai fungsi dengan rumusnya sendiri sebelum menggabungkan apa-apa. Tanya, 'apa yang tawaran ini lakukan kepada harga?'

Rebat tetap RM200 menolak, jadi $f(x)=x-200$ . Diskaun 10% mendarab dengan $0.9$ , jadi $g(x)=0.9x$ .

Tulis kedua-duanya secara jelas. Barulah tetapkan susunan yang diterangkan soalan, dan terjemahkan 'B diikuti A' kepada $f(g(x))$ , fungsi dalam bertindak dahulu.

Mengawasi unit melindungi anda di sini: kedua-dua tawaran mengambil ringgit kepada ringgit, jadi mana-mana susunan bermakna, tetapi anda tidak boleh menambah ringgit kepada bilangan barang atau kepada peratusan. Sebaik dua rumus di atas kertas dan susunan ditetapkan, gubahan itu hanya satu penggantian, dan setiap bahagian seterusnya berdiri di atas asas yang kukuh.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan pemodelan gubahan, pemeriksa mencari:

Setiap proses diterjemahkan kepada rumus fungsi yang betul, tolak untuk rebat, $\times 0.9$ untuk diskaun 10%.
Susunan dibaca dengan betul,'B kemudian A' ditulis sebagai $f(g(x))$ , dengan fungsi dalam dikenakan dahulu.
Kedua-dua gubahan dipermudahkan kepada satu ungkapan, seperti $0.9x-200$ dan $0.9x-180$ .
Penggantian RM3000 yang betul dan keputusan jelas dinyatakan, ambil diskaun dahulu.
Beza am dikira, $gf(x)-fg(x)=20$ , ditunjukkan tidak bergantung pada $x$ .
Tafsiran dalam perkataan, mengapa mengenakan peratusan kemudian menghakis rebat sebanyak RM20.

Bagaimana seorang guru membantu

Soalan pemodelan memberi ganjaran kepada pelajar yang menterjemah dengan teliti kemudian menerangkan, dan kedua-dua tabiat tumbuh paling cepat dengan maklum balas. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami meminta anda mentakrifkan setiap fungsi dalam perkataan sebelum menulis simbol, menyebut dengan lantang proses mana bertindak dahulu, dan menyemak unit di setiap sambungan.

Kami berlama-lama pada tafsiran, mengapa susunan menukar harga sebanyak RM20 tetap, kerana ayat itu memperoleh markah penaakulan. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Adakah

fg(x)

sama maksud dengan

gf(x)

dalam soalan pemodelan?

Biasanya tidak. $fg(x)=f(g(x))$ mengenakan $g$ dahulu, manakala $gf(x)=g(f(x))$ mengenakan $f$ dahulu.

Dalam situasi sebenar itulah beza antara mendiskaun sebelum atau selepas rebat, dan di sini ia menukar harga akhir sebanyak RM20 tetap. Sentiasa tulis fungsi dalam dahulu dan kekalkan susunan yang diterangkan cerita.

Bagaimana saya menjejaki unit apabila merangkai fungsi?

Semak bahawa unit output fungsi dalam sepadan dengan input yang dijangka fungsi luar. Kedua-dua tawaran di sini memetakan ringgit kepada ringgit, jadi mana-mana susunan sah.

Jika satu fungsi menukar ringgit kepada bilangan barang, anda tidak boleh menolak ringgit daripadanya, ketakpadanan unit ialah tanda biasa gubahan dibina secara terbalik.

Mengapa susunan yang lebih murah menjimatkan jumlah sama pada setiap harga?

Kerana diskaun peratusan yang dikenakan selepas rebat tetap turut mendiskaunkan rebat itu. Sepuluh peratus daripada rebat RM200 ialah RM20, jadi mengenakan diskaun kemudian sentiasa berkos RM20 lebih, tidak kira harga senarai.

Algebra menunjukkannya dengan jelas: $gf(x)-fg(x)=20$ , dengan sebutan $x$ terhapus.

Bolehkah saya masih dapat markah jika saya membina gubahan secara terbalik?

Boleh. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah dengan pemarkahan analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris.

Rumus fungsi yang betul, penggantian yang sah dan kerja jujur boleh memperoleh markah walaupun susunan tergelincir, namun menamakan susunan dahulu ialah cara paling pasti untuk melindunginya.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

KBAT: Pemodelan dengan Fungsi Gubahan