Salah Kelas Titik Pegun

Q: Bolehkah saya kenal maksimum daripada minimum hanya melalui nilai y?

Tidak. Nilai yyy yang lebih besar tidak menjadikan sesuatu titik itu maksimum, sifatnya bergantung pada bagaimana lengkung berkelakuan di sekitarnya, bukan pada ketinggiannya. Anda mesti menguji sama ada tanda dydx\frac{dy}{dx}dxdy pada kedua-dua belah, atau tanda d2ydx2\frac{d^{2}y}{dx^{2}}dx2d2y pada titik itu.

Q: Bagaimana jika tanda kecerunan sama pada kedua-dua belah?

Maka titik pegun itu ialah titik lengkok balas, bukan titik pusingan. Contohnya, jika dydx\frac{dy}{dx}dxdy positif sebelum dan selepas titik itu, lengkung terus menaik menerusi satu ketika rata sekejap.

Kesilapan itu

Mencari titik pegun hanyalah separuh daripada tugas: $\frac{dy}{dx}=0$ menentukan lokasinya, tetapi anda masih perlu memutuskan sama ada ia maksimum, minimum, atau titik lengkok balas. Tiga salah kelas adalah lazim.

Yang pertama ialah menamakan sifatnya terus daripada nilai $y$ , "yang ini lebih tinggi, jadi ia tentu maksimum", tanpa sebarang ujian. Yang kedua ialah melangkau pengelasan sama sekali lalu kehilangan markah itu.

Yang ketiga, dan paling berterusan, ialah menterbalikkan ujian terbitan pertama (perubahan tanda): membaca kecerunan yang menjadi positif-kemudian-negatif sebagai minimum, sedangkan bentuk menaik-kemudian-menurun itu sebenarnya sebuah puncak. Ia menggoda kerana perkataan "maksimum" dan "positif" terasa berkait, dan kerana di bawah tekanan masa gambar rajah tanda diisi daripada ingatan, bukan daripada bentuk lengkung.

Akibatnya titik pusingan dilabel dengan sifat bertentangan, dan markah untuk menentukan sifat itu terlepas walaupun kerja kecerunan tadi sempurna.

Baris yang salah, kemudian betulnya

Bagi $y=x^{3}-3x^{2}+4$ , $\frac{dy}{dx}=3x^{2}-6x=3x(x-2)=0$ memberi titik pegun pada $x=0$ dan $x=2$ . Uji tanda $\frac{dy}{dx}$ pada setiap belah:

Selang	Uji x	Tanda dy/dx
x < 0	x = -1	3(-1)(-3) = +9 (+)
0 < x < 2	x = 1	3(1)(-1) = -3 (−)
x > 2	x = 3	3(3)(1) = +9 (+)

Salah, "pada $x=0$ kecerunan menjadi $+$ kemudian $-$ , jadi ia minimum." Itu menterbalikkan corak.

Betul, pada $x=0$ kecerunan positif kemudian negatif: lengkung menaik kemudian menurun, jadi ia maksimum, pada $(0,4)$ . Pada $x=2$ kecerunan negatif kemudian positif: lengkung menurun kemudian menaik, jadi ia minimum, pada $(2,0)$ .

Cara membetulkannya

1
Cari setiap titik pegun
Selesaikan $\frac{dy}{dx}=0$ untuk semua nilai $x$ . Pengelasan hanya terpakai pada titik-titik ini.
2
Pilih titik ujian di sekitarnya
Pilih satu $x$ sedikit di bawah dan satu sedikit di atas setiap titik pegun, tanpa melepasi titik pegun jiran.
3
Baca tanda, bukan saiznya
Gantikan ke dalam $\frac{dy}{dx}$ dan rekod hanya sama ada ia positif atau negatif pada setiap belah.
4
Padankan bentuk dengan sifat
Menaik kemudian menurun ( $+$ kemudian $-$ ) ialah maksimum; menurun kemudian menaik ( $-$ kemudian $+$ ) ialah minimum; tanda sama pada kedua-dua belah ialah titik lengkok balas.
5
Nyatakan titik itu sepenuhnya
Gantikan $x$ pegun semula ke dalam $y$ untuk memberi koordinatnya, kemudian namakan sifatnya.

Satu baris untuk mengingatinya

Naik-kemudian-turun puncak, turun-kemudian-naik lembah

Kecerunan positif kemudian negatif bermakna lengkung mendaki kemudian jatuh, sebuah puncak, jadi maksimum. Kecerunan negatif kemudian positif bermakna ia menurun kemudian menaik, sebuah lembah, jadi minimum.

Latihan tempat kesilapan bersembunyi

Q1[6 marks]

Cari titik-titik pegun bagi lengkung $y=2x^{3}-3x^{2}-12x+5$ dan tentukan sifat setiap satu menggunakan ujian terbitan pertama.

Show worked solution

Beza dan samakan hasilnya dengan sifar:

\frac{dy}{dx}=6x^{2}-6x-12=6(x^{2}-x-2)=6(x-2)(x+1)=0

Jadi titik pegun berada pada $x=-1$ dan $x=2$ . Uji tanda $\frac{dy}{dx}=6(x-2)(x+1)$ pada setiap belah:

Uji x	6(x-2)(x+1)	Tanda
x = -2	6(-4)(-1) = +24	(+)
x = 0	6(-2)(1) = -12	(−)
x = 3	6(1)(4) = +24	(+)

Pada $x=-1$ kecerunan menjadi $+$ kemudian $-$ : menaik kemudian menurun, jadi maksimum. Nilai $y$ -nya ialah $y=2(-1)^{3}-3(-1)^{2}-12(-1)+5=-2-3+12+5=12$ , memberi titik maksimum $(-1,12)$ .

Pada $x=2$ kecerunan menjadi $-$ kemudian $+$ : menurun kemudian menaik, jadi minimum. Nilai $y$ -nya ialah $y=2(2)^{3}-3(2)^{2}-12(2)+5=16-12-24+5=-15$ , memberi titik minimum $(2,-15)$ .

Jadi $(-1,12)$ ialah maksimum dan $(2,-15)$ ialah minimum. Menilai hanya melalui nilai $y$ secara kebetulan sepadan di sini, tetapi ujian tandalah yang membuktikannya, dan ia kaedah yang bertahan apabila lengkung hanya mempunyai satu titik pusingan.

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Guru kami menggantikan tekaan dengan rutin terkunci: selesaikan $\frac{dy}{dx}=0$ , uji tanda pada setiap belah, dan sebut bentuknya dengan kuat, "naik kemudian turun, puncak", sebelum menulis perkataan maksimum atau minimum. Dalam kelas satu-dengan-satu, kami menangkap saat corak terbalik dan menambatnya semula dengan lakaran ringkas bukit dan lembah, supaya gambar, bukan ingatan, yang menentukan sifatnya.

Kerana kertas memberi markah kaedah, gambar rajah tanda yang jelas memperoleh markah walaupun sesuatu nilai tergelincir kemudian. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Untuk mengasah pengelasan dengan kemas, hubungi kami di WhatsApp bagi mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bolehkah saya kenal maksimum daripada minimum hanya melalui nilai y?

Tidak. Nilai $y$ yang lebih besar tidak menjadikan sesuatu titik itu maksimum, sifatnya bergantung pada bagaimana lengkung berkelakuan di sekitarnya, bukan pada ketinggiannya.

Anda mesti menguji sama ada tanda $\frac{dy}{dx}$ pada kedua-dua belah, atau tanda $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ pada titik itu.

Corak kecerunan yang mana ialah maksimum?

Positif kemudian negatif. Lengkung menaik sehingga ke titik pegun dan kemudian jatuh, sebuah puncak, jadi ia maksimum.

Negatif kemudian positif ialah lembah dan memberi minimum.

Bagaimana jika tanda kecerunan sama pada kedua-dua belah?

Maka titik pegun itu ialah titik lengkok balas, bukan titik pusingan. Contohnya, jika $\frac{dy}{dx}$ positif sebelum dan selepas titik itu, lengkung terus menaik menerusi satu ketika rata sekejap.

Ujian terbitan pertama atau kedua yang lebih baik?

Kedua-duanya sah. Ujian terbitan pertama (perubahan tanda) sentiasa berfungsi, walaupun apabila terbitan kedua sifar.

Ujian terbitan kedua lebih pantas apabila ia terpakai. Pilih mana yang dapat anda lakukan tanpa menterbalikkan konvensyen.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Tersalah kelaskan titik pegun