Memahami taburan binomial dan normal

Bab ini memperkenalkan dua taburan kebarangkalian, dan kemahiran pertama hanyalah membezakannya. Soalan yang menentukannya ialah: adakah anda mengira sesuatu, atau mengukur sesuatu?

Jika anda mengira berapa kali sesuatu peristiwa berlaku dalam bilangan cubaan tetap, berapa daripada 10 biji benih bercambah, berapa daripada 5 lontaran masuk, anda berada dalam dunia taburan binomial, yang diskret (hasil nombor bulat). Jika anda mengukur kuantiti yang boleh mengambil sebarang nilai pada skala, dan nilai itu cenderung berkelompok di sekitar purata, tinggi, jisim, jangka hayat, anda berada dalam dunia taburan normal, yang selanjar.

Binomial terpakai apabila empat syarat dipenuhi: ada bilangan percubaan tetap $n$; setiap percubaan hanya ada dua hasil (panggil kejayaan dan kegagalan); kebarangkalian kejayaan $p$ sama setiap percubaan; dan percubaan adalah tak bersandar. Apabila persediaan itu padan, kebarangkalian mendapat tepat $r$ kejayaan ialah:

$$P(X=r)={}^{n}C_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}$$

Setiap bahagian ada maknanya. $p^{r}$ ialah peluang $r$ kejayaan berlaku; $(1-p)^{n-r}$ ialah peluang percubaan yang tinggal menjadi kegagalan; dan ${}^{n}C_{r}$ mengira berapa banyak tertib berbeza kejayaan itu boleh berlaku.

Sebagai satu contoh, katakan satu percubaan berjaya dengan kebarangkalian $p=0.2$ dan anda menjalankan $n=5$ percubaan. Kebarangkalian tepat 2 kejayaan ialah ${}^{5}C_{2}(0.2)^{2}(0.8)^{3}=10\times 0.04\times 0.512=0.2048$.

Dua nombor ringkasan berbaloi diketahui. Secara purata, bilangan kejayaan ialah min $np$, dan seberannya diukur oleh varians $np(1-p)$.

Untuk contoh kita, minnya $5\times 0.2=1$ kejayaan, dan variansnya $5\times 0.2\times 0.8=0.8$. Ini pantas dinyatakan dan sering ditanya terus.

Taburan normal ialah lengkung loceng simetri yang biasa. Ia diterangkan oleh dua nombor: min $\mu$, yang berada di tengah dan puncak, dan sisihan piawai $\sigma$, yang mengawal betapa lebar lengkung itu tersebar.

Kerana pemboleh ubah itu selanjar, kita tidak pernah menanya kebarangkalian nilai yang tepat; kita menanya kebarangkalian ia jatuh dalam julat, contohnya, bahawa satu item yang dipilih rawak mengukur lebih daripada suatu jumlah. Kebarangkalian itu ialah luas di bawah lengkung dalam julat itu.

Enjin yang menjadikan ini boleh dikendali ialah penyeragaman. Sebarang pemboleh ubah normal $X$ ditukar kepada pemboleh ubah normal piawai $Z$, yang mempunyai min 0 dan sisihan piawai 1, menggunakan:

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

Nilai $Z$ memberitahu anda berapa banyak sisihan piawai $X$ terletak daripada min. Katakan satu kuantiti tertabur normal dengan min $\mu=60$ dan sisihan piawai $\sigma=5$, dan anda mahu kebarangkalian ia melebihi 70.

Seragamkan: $Z=\frac{70-60}{5}=2$. Jadi soalan itu menjadi $P(Z>2)$, yang anda baca daripada jadual normal piawai (atau fungsi taburan kalkulator).

Jadual memberi luasnya, dan luas itu ialah kebarangkalian anda. Setiap masalah normal menyusut kepada ini: seragamkan, kemudian baca luasnya.

Kebanyakan markah yang hilang di sini datang daripada sebilangan kecil ralat yang boleh dijangka:

• Mengelirukan sisihan piawai dengan varians. Penyeragaman menggunakan $\sigma$, sisihan piawai; jika soalan memberi anda varians, ambil punca kuasa duanya dahulu. Mengelirukan kedua-duanya ialah ralat taburan normal paling lazim.
• Mengelirukan arah kebarangkalian. Jadual mungkin memberi luas ke kiri, $P(Z<z)$, atau ke kanan. Lakarkan lengkung loceng, lorekkan rantau yang anda benar-benar mahu, dan guna simetri ($P(Z<-z)=P(Z>z)$) dan bukan meneka.
• Menggunakan binomial apabila percubaan tidak tak bersandar atau $p$ berubah. Jika anda mengambil item tanpa gantian, $p$ beralih setiap kali, jadi binomial tidak lagi terpakai dengan tepat.
• Lupa bahawa min $=np$ dan varians $=np(1-p)$ adalah untuk binomial, bukan normal. Simpan rumus dua taburan itu dalam kotak mental berasingan.

Satu fikiran yang menenangkan: kerana Add Math SPM dinilai secara analitik, anda memperoleh markah kaedah untuk persediaan yang betul, menulis ungkapan binomial dengan $n$, $r$, dan $p$ yang betul, atau menyeragamkan dengan $Z$ yang betul, walaupun perpuluhan akhir tersasar sedikit. Lakaran jelas lengkung loceng, dengan luas yang dimahukan dilorek, benar-benar berbaloi markah dan mengelakkan ralat arah pada masa yang sama.

Bab ini memberi ganjaran kepada kepala yang jelas lebih daripada kelajuan mentah: pilih taburan yang betul, kekalkan sisihan piawai dan varians tepat, dan lakarkan luas yang anda cari. Apabila pelajar tersekat, ia hampir selalu salah satu daripada tiga itu, dan guru yang memerhati kerja anda boleh menunjuk tepat yang mana dalam satu masalah, kemudian membina semula sehingga ia terasa automatik.

Guru kami berpengalaman, dan kelas dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris, yang juga membantu dengan istilah Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam Bahasa Melayu dan bahasa Inggeris.

Jika anda ingin mencuba satu sesi, kelas pertama ialah kelas berbayar satu jam pada kadar guru, dari RM50 sejam, bergantung pada pengalaman guru, disebut harga melalui WhatsApp. Kami bermula dari tempat anda berada, sama ada rumus binomial atau membaca jadual normal, dan berkembang mengikut rentak anda sendiri, tanpa tekanan.