Menjadikan taburan kebarangkalian masuk akal

Dalam bab-bab sebelum ini, pemboleh ubah seperti $x$ hanya mewakili nombor yang anda selesaikan. Dalam bab ini, pemboleh ubah rawak mewakili hasil berangka bagi satu eksperimen kebarangkalian, sesuatu yang tidak dapat anda ketahui lebih awal, hanya boleh anda huraikan nilai-nilai yang mungkin.

Baling tiga syiling dan kira bilangan bahagian kepala, hasilnya boleh jadi 0, 1, 2 atau 3; bilangan itu ialah pemboleh ubah rawak, biasanya ditulis $X$.

Add Math membahagikan pemboleh ubah rawak kepada dua kumpulan. Pemboleh ubah rawak diskret hanya boleh mengambil nilai berasingan yang boleh dikira, anda boleh senaraikannya dengan koma, seperti $X = \{x : x = 0, 1, 2, 3\}$ untuk contoh syiling tadi, atau bilangan item rosak dalam satu kelompok, atau bilangan tekaan betul dalam satu kuiz.

Pemboleh ubah rawak selanjar diukur pada satu skala dan bukan dikira, dan nilai-nilainya memenuhi satu selang, seperti $X = \{x : x \text{ ialah ketinggian seorang murid dalam cm}, 140 < x < 180\}$. Ketinggian, masa, dan jisim adalah selanjar; apa sahaja yang anda kira dengan jari adalah diskret.

Sebaik anda ada pemboleh ubah rawak, taburan kebarangkalian hanyalah pemadanan setiap nilai yang boleh diambilnya dengan kebarangkalian nilai itu berlaku, ditunjukkan sebagai jadual, atau sebagai graf dengan bar atau titik untuk setiap nilai. Apa jua bentuknya, kebarangkalian merentasi semua nilai mesti berjumlah tepat 1, kerana sesuatu dalam ruang sampel pasti berlaku.

Semakan tunggal itu, adakah kebarangkalian berjumlah 1, berbaloi dilakukan pada hampir setiap soalan taburan yang anda temui.

Taburan binomial muncul apabila empat syarat berlaku bersama: bilangan percubaan tetap $n$, setiap percubaan hanya mempunyai dua hasil (panggil ia kejayaan dan kegagalan), percubaan-percubaan itu tidak bersandar antara satu sama lain, dan kebarangkalian kejayaan $p$ kekal sama pada setiap percubaan. Meneka jawapan dalam kuiz aneka pilihan, menyemak item pada barisan pengeluaran untuk saiz kelompok tetap, atau membaling bilangan tetap lontaran bola keranjang dengan kadar kejayaan tetap, semuanya sepadan dengan corak binomial, dengan $X$ mengira bilangan kejayaan.

$$P(X=r) = {}^{n}C_{r}\, p^{r} q^{\,n-r}$$

Di sini $q = 1-p$ ialah kebarangkalian kegagalan, dan ${}^{n}C_{r}$ mengira bilangan susunan berbeza yang boleh diambil oleh $r$ kejayaan itu antara $n$ percubaan. Katakan seorang murid meneka 5 soalan aneka pilihan, setiap satu dengan 4 pilihan, jadi $p=\frac{1}{4}$ dan $q=\frac{3}{4}$.

Kebarangkalian mendapat tepat 2 betul ialah $P(X=2) = {}^{5}C_{2}\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{3} = 10 \times \frac{1}{16} \times \frac{27}{64} \approx 0.264$.

Kerana ia satu taburan, min, varians, dan sisihan piawai juga berbaloi diketahui: min $=np$, varians $=npq$, sisihan piawai $=\sqrt{npq}$. Ini tiada dalam senarai rumus yang diberi, jadi berbaloi dihafal.

Min lebih baik dibaca sebagai purata jangkaan, bukan hasil yang pasti, jika syiling saksama dibaling 20 kali, min bilangan kepala ialah 10, tetapi mana-mana set 20 balingan sebenar mungkin sahaja jatuh pada 8, 11, atau 13.

$$\text{min} = np,\qquad \text{varians} = npq$$

Taburan normal menghuraikan data selanjar yang berkelompok secara simetri di sekitar satu nilai pusat, skor peperiksaan, ketinggian dalam populasi besar, atau ralat pengukuran selalunya berkelakuan begini. Diplotkan sebagai graf, ia membentuk bentuk loceng yang biasa dikenali: puncak pada min $\mu$, menurun secara sekata pada kedua-dua belah, dengan serakan dikawal oleh sisihan piawai $\sigma$.

$\sigma$ kecil memberi loceng yang tinggi dan sempit; $\sigma$ besar memberi loceng yang lebar dan rata.

Kerana $X$ selanjar di sini, anda tidak boleh senaraikan nilai berasingan dan menjumlahkan kebarangkaliannya seperti yang anda buat untuk taburan binomial. Sebaliknya, kebarangkalian dibaca sebagai luas di bawah keluk, luas antara dua nilai $X$ ialah kebarangkalian hasil jatuh antara keduanya, dan jumlah luas di bawah keseluruhan keluk ialah tepat 1, sama seperti kes diskret.

Setiap taburan normal ada min dan sisihan piawainya sendiri, yang bermakna pengiraan luas berbeza untuk setiap soalan, kecuali untuk satu jalan pintas. Mana-mana taburan normal boleh ditukar kepada taburan normal piawai, yang sentiasa mempunyai min 0 dan sisihan piawai 1, menggunakan skor piawai:

$$Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$$

$Z$ memberitahu anda berapa banyak sisihan piawai $X$ berada di atas atau di bawah min. Katakan skor peperiksaan bertaburan normal dengan min $\mu=65$ dan sisihan piawai $\sigma=8$, dan anda mahu $P(X>75)$.

Seragamkan dahulu: $Z = \frac{75-65}{8}=1.25$. Kemudian guna fungsi taburan normal kalkulator anda (atau jadual normal piawai, jika soalan menyediakannya) untuk membaca $P(Z>1.25)$, yang bernilai lebih kurang $0.106$, sekitar 10.6% peluang mendapat skor melebihi 75.

Arah songsang sama pentingnya: anda diberi kebarangkalian dan diminta cari $Z$ yang sepadan, kemudian kerja ke belakang untuk cari $X$, $\mu$, atau $\sigma$. Menyusun semula $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ kepada $X = \mu + Z\sigma$ menangani arah itu.

Apa jua arah soalan, melakar keluk loceng ringkas dan melorekkan kawasan yang anda perlukan, walaupun secara kasar, memudahkan anda melihat sama ada anda perlu tambah, tolak, atau guna pelengkap $1-P(\cdot)$.

Ia membantu untuk melihat pembacaan dan pengiraan berfungsi bersama dalam satu soalan. Katakan satu kuiz mempunyai 8 soalan aneka pilihan, setiap satu dengan 4 pilihan, dan seorang murid meneka setiap jawapan.

Apakah kebarangkalian mendapat sekurang-kurangnya 2 betul? Ini binomial dengan $n=8$, $p=\frac{1}{4}$, dan $q=\frac{3}{4}$, dan "sekurang-kurangnya 2" bermaksud $X \ge 2$.

Menjumlahkan $P(X=2)$ sehingga $P(X=8)$ bermakna tujuh pengiraan berasingan. Pelengkapnya jauh lebih pendek: $P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$.

Kira dua sebutan mudah dahulu, $P(X=0) = \left(\frac{3}{4}\right)^{8} \approx 0.1001$, dan $P(X=1) = {}^{8}C_{1}\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^{7} \approx 0.2670$.

$$P(X \ge 2) = 1 - 0.1001 - 0.2670 \approx 0.633$$

Jadi seorang peneka semata-mata mempunyai kira-kira 63% peluang mendapat sekurang-kurangnya dua betul, hasil yang terasa munasabah sebaik anda melihatnya, dan contoh baik mengapa peraturan pelengkap biasanya jalan yang lebih pantas. Perhatikan disiplinnya: namakan taburan, tulis ungkapan pelengkap sepenuhnya, kemudian barulah capai kalkulator.

Walaupun satu perpuluhan tergelincir, baris kaedah sudah memperoleh markahnya.

Ketelitian yang sama berbaloi dalam arah bertentangan. Jika soalan sebaliknya memberitahu anda bahawa hanya 15% pelajar teratas mendapat markah melebihi satu nilai tertentu dan meminta nilai itu, anda akan membaca kebarangkalian dahulu, cari $Z$ yang sepadan daripada kalkulator (di sini $Z \approx 1.04$), dan barulah gantikan ke dalam $X = \mu + Z\sigma$.

Membaca sebelum mengira ialah tabiat yang menghalang soalan-soalan ini daripada terurai.

Kedua-dua contoh ini berkongsi rangka kerja yang sama: kenal pasti taburan yang terlibat, tuliskan ungkapan penuh dengan tatatanda yang betul, kemudian barulah biarkan kalkulator membuat aritmetik. Apabila rangka itu menjadi tabiat, soalan taburan yang kelihatan menakutkan pada pandangan pertama bertukar menjadi hanya beberapa baris kerja yang kemas dan boleh diramal, dan itulah tepatnya yang dicari oleh pemeriksa apabila mereka memberikan markah kaedah.

Soalan taburan sama banyak tentang membaca dengan teliti seperti mengira. Beberapa frasa menentukan ketaksamaan mana yang anda perlukan:

• "Sekurang-kurangnya" 2 bermaksud $X \ge 2$, termasuk 2 itu sendiri.
• "Lebih daripada" 2 bermaksud $X > 2$, tidak termasuk 2.
• "Tidak lebih daripada" atau "paling banyak" 2 bermaksud $X \le 2$.
• "Tepat" 2 bermaksud $X = 2$, satu nilai tunggal, bukan julat.

Peraturan pelengkap berbaloi digunakan selalu: $P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)$ hampir selalu lebih pantas daripada menjumlahkan $P(X=1)$ hingga $P(X=n)$ satu demi satu, terutamanya untuk $n$ yang besar.

Kerana Add Math SPM dinilai secara analitik, ungkapan yang disusun dengan betul memperoleh markah kaedah walaupun perpuluhan akhir tersasar sedikit. Menulis $P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$ dengan jelas, sebelum menyentuh kalkulator, melindungi kebanyakan markah walaupun pada hari aritmetik yang kurang lancar.

Taburan kebarangkalian ialah bab di mana matematiknya jarang menjadi bahagian yang sukar, kebanyakan pelajar boleh menggantikan nilai ke dalam rumus. Yang menjatuhkan orang ialah pembacaan: diskret atau selanjar, sekurang-kurangnya atau lebih daripada, dan sama ada kalkulator ditetapkan untuk memberi luas taburan normal dan bukan satu nilai titik.

Seorang guru yang memerhati anda menyelesaikan masalah secara langsung dapat mengesan dengan tepat yang mana anda tertinggal, jauh lebih pantas daripada skema markah sahaja boleh jelaskan. Guru kami berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian dalam bahasa Inggeris, yang juga membina keselesaan dengan istilah Inggeris yang digunakan sepanjang bab ini, manakala kertas SPM sendiri disediakan secara dwibahasa dalam Bahasa Melayu dan bahasa Inggeris.

Jika anda ingin mencuba satu sesi, kelas pertama ialah kelas berbayar satu jam pada kadar guru, dari RM50 sejam, bergantung pada pengalaman guru, disebut harga melalui WhatsApp. Kami bertemu anda di mana sahaja anda berada dalam bab ini, sama ada pembahagian diskret/selanjar atau menyeragamkan taburan normal, dan membina ke luar mengikut rentak anda sendiri.