Pilih atur dan gabungan dalam pilihan harian

Setiap soalan pilih atur dan gabungan dalam Add Math sebenarnya bertanya satu perkara: berapa banyak cara sesuatu ini boleh berlaku? Yang menentukan formula mana perlu digunakan bukan saiz nombor yang terlibat, sebaliknya sama ada menyusun semula item yang sama yang dipilih menghasilkan keputusan yang benar-benar berbeza.

Pertimbangkan kelab badminton memilih tiga ahli untuk satu tugasan. Jika tugasan itu "pilih tiga pemain untuk mewakili kelab di kejohanan," tidak penting nama mana ditulis dahulu, kumpulan tiga orang itulah jawapannya, dan menyusun semula nama pada senarai tidak mengubah apa-apa.

Itu gabungan. Jika sebaliknya tugasan itu "pilih seorang kapten, naib kapten, dan simpanan," tiga nama yang sama kini penting dalam susunan tertentu, kapten bukan jawatan yang sama dengan simpanan, dan menukar dua nama menghasilkan keputusan yang benar-benar berbeza.

Itu pilih atur.

• Jika menyusun atau mengatur item yang dipilih itu penting, barisan, kod telefon, tempat pertama/kedua/ketiga, jawatan tertentu, ia pilih atur.
• Jika hanya item mana yang dipilih penting, bukan susunan antaranya, jawatankuasa, pasukan, set topping, ia gabungan.
• Sebarang soalan gabungan boleh ditukar menjadi soalan pilih atur dengan menambah arahan tambahan: "...kemudian susunkan mereka."

Kedua-dua formula dibina daripada tatatanda faktorial, jadi berbaloi selesa dengan $n!$ dahulu.

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$

Untuk menyusun $r$ objek yang dipilih daripada $n$ objek berbeza, di mana susunan penting:

$$^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$$

Untuk memilih $r$ objek daripada $n$ objek berbeza, di mana susunan tidak penting:

$$^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!} = \frac{^{n}P_{r}}{r!}$$

Bentuk kedua formula gabungan itu berbaloi diingati sendiri: gabungan hanyalah pilih atur dengan susunan berulang dibahagi keluar semula. Setiap kumpulan $r$ item yang dipilih boleh disusun dalam $r!$

susunan berbeza, dan $^{n}C_{r}$ mengira setiap kumpulan sedemikian hanya sekali.

Penggunaan perkataan dalam soalan biasanya petunjuk kukuh, walaupun berbaloi menyemak situasi sebenar berbanding memburu satu perkataan pencetus sahaja. "Susun," "atur," "bentuk kod," "cara berbeza beratur," dan sebarang sebutan tentang kedudukan atau jawatan tertentu menunjukkan pilih atur.

"Pilih," "bentuk pasukan," dan "bentuk kumpulan" menunjukkan gabungan, dengan syarat item itu kemudian tidak diberikan jawatan berbeza.

Dua soalan boleh menggunakan nombor yang hampir sama namun memerlukan formula berbeza. Memilih 3 buku daripada rak berisi 8 buku untuk dipamerkan dalam satu baris di tingkap kedai ialah pilih atur, kerana baris mempunyai kedudukan pertama, kedua, dan ketiga.

Memilih 3 buku daripada rak yang sama untuk dipinjamkan kepada seorang kawan ialah gabungan, kerana timbunan buku yang dipinjamkan tiada susunan yang melekat padanya.

Sekatan di dalam pengiraan

Sesetengah soalan menambah syarat, dua orang yang mesti duduk bersebelahan, item yang mesti disertakan, huruf yang tidak boleh menduduki kedudukan tertentu. Cara paling boleh dipercayai untuk melalui soalan ini biasanya salah satu daripada dua gerak: anggap item yang mesti kekal bersama sebagai satu blok tunggal dan susun blok itu bersama yang lain, atau kira jumlah susunan keseluruhan dan tolak yang melanggar syarat.

Sebuah kelab badminton sekolah mempunyai 9 ahli, semuanya dipertimbangkan untuk dua tugasan berasingan.

1. Memilih 4 ahli untuk membentuk jawatankuasa, tanpa sebarang ahli mempunyai jawatan tertentu, susunan tidak penting, jadi ini gabungan: $^{9}C_{4}$.
2. Memilih seorang kapten, naib kapten, dan setiausaha daripada 9 ahli yang sama, tanpa mana-mana ahli memegang dua jawatan, susunan penting, jadi ini pilih atur: $^{9}P_{3}$.

$$^{9}C_{4} = \frac{9!}{4!\,5!} = 126$$

$$^{9}P_{3} = \frac{9!}{6!} = 504$$

Perhatikan kedua-dua bahagian bermula daripada kumpulan 9 orang yang sama, namun jawapan kedua jauh lebih besar, kerana memberikan jawatan menghasilkan lebih banyak hasil yang boleh dibezakan berbanding sekadar memilih satu kumpulan.

Kebanyakan kesilapan pada topik ini datang daripada beberapa gelinciran berulang, bukannya kefahaman lemah tentang ideanya.

• Menggunakan $^{n}P_{r}$ apabila situasi tiada jawatan atau susunan tertentu, yang mengira berlebihan sebanyak faktor $r!$.
• Terlupa bahawa $0!=1$, yang penting apabila $r=n$.
• Menggantikan $n$ dan $r$ ke kedudukan yang salah dalam formula.
• Menganggap soalan "jawatankuasa dengan jawatan tertentu" sebagai gabungan sahaja, terlepas pandang bahawa jawatan memerlukan pilih atur.

Soalan pilih atur dan gabungan terbaca berbeza sebaik soalan "adakah susunan penting" menjadi automatik, tetapi untuk sampai ke situ biasanya memerlukan mengerjakan siri soalan bercampur dengan seseorang menyemak, secara langsung, formula mana yang sebenarnya diperlukan dan sebabnya. Seorang guru yang bekerja dengan anda satu-ke-satu boleh menangkap detik tepat soalan disalahtafsir sebagai gabungan sedangkan ia memerlukan pilih atur, dan menerangkan pembetulan di situ juga, bukan selepas itu.

Guru kami berpengalaman; kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM sendiri disediakan secara dwibahasa dalam Bahasa Melayu dan Inggeris.

Jika bab ini, atau teknik mengira yang membawa kepadanya, seperti kebarangkalian, merupakan titik tersekat, satu kelas percubaan berbayar selama satu jam pada kadar guru itu sendiri (dari RM50 sejam, bergantung pada pengalaman) ialah titik permulaan yang munasabah.