Menyempurnakan kuasa dua, dibuat intuitif

Menyempurnakan kuasa dua ialah cara menulis semula ungkapan kuadratik supaya maklumat paling berguna, titik pusingan graf, terletak jelas di hadapan mata, bukannya terkubur di dalam $ax^{2}+bx+c$. Ditulis dalam bentuk kembang, kuadratik hampir tidak memberitahu apa-apa tentang graf pada pandangan pertama, walaupun semua maklumat itu sebenarnya sudah ada di dalamnya.

Ditulis sebagai $a(x+p)^{2}+q$, ia memberitahu segalanya yang anda perlukan dalam satu baris: titik pusingan berada di $(-p, q)$, dan tanda $a$ memberitahu sama ada titik itu ialah titik paling rendah pada graf atau paling tinggi. Inilah sebabnya teknik ini diajar seawal bab fungsi kuadratik, ia menjimatkan banyak masa berbanding melukis graf titik demi titik.

Idea di sebalik teknik ini mudah sebaik anda melihatnya. Kuasa dua sempurna seperti $(x+p)^{2}$ tidak pernah negatif, jadi ia mencapai nilai paling kecil yang mungkin, sifar, tepat pada satu titik, $x=-p$.

Tambah pemalar $q$ di atasnya dan keseluruhan ungkapan $a(x+p)^{2}+q$ mencapai nilai paling kecilnya, $q$, pada titik yang sama, apabila $a$ positif. Terbalikkan tanda $a$ dan kuasa dua itu masih mencecah sifar pada $x$ yang sama, tetapi kini ungkapan itu mencapai nilai paling besar di situ pula.

Mekanisme tunggal itulah yang berada di sebalik setiap soalan "cari minimum" atau "cari maksimum" yang dibina atas kuadratik.

• $a>0$: parabola membuka ke atas, dan $(-p,q)$ ialah titik minimum.
• $a<0$: parabola membuka ke bawah, dan $(-p,q)$ ialah titik maksimum.
• Walau apa pun, paksi simetri ialah garis mencancang $x=-p$.

Kaedah ini mempunyai susunan langkah yang tetap, dan berbaloi mempelajari susunan itu berbanding mencipta semula setiap kali anda bertemu kuadratik baharu. Mula daripada $f(x)=ax^{2}+bx+c$.

1. 1

   Faktorkan pekali pendahulu

   Keluarkan $a$ daripada dua sebutan pertama sahaja: $a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c$. Biarkan $c$ di luar kurungan buat masa ini.

2. 2

   Separuhkan pekali x

   Di dalam kurungan, ambil separuh daripada pekali $x$, namakan $p$, dan tulis semula kurungan sebagai $(x+p)^{2}-p^{2}$.

3. 3

   Darabkan semula dengan a

   Agihkan $a$ merentasi kedua-dua sebutan di dalam kurungan, memberi $a(x+p)^{2}-ap^{2}$.

4. 4

   Kumpulkan pemalar

   Gabungkan $-ap^{2}$ dengan $c$ yang ditinggalkan di luar untuk mendapat pemalar akhir $q$, meninggalkan bentuk lengkap $a(x+p)^{2}+q$.

Bagi kes lazim apabila $a=1$, keseluruhan kaedah tersusut kepada satu bentuk yang berbaloi dikenali pada pandangan, walaupun tanpa menghafalnya sebagai formula untuk dipetik:

$$x^{2}+bx = \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} - \left(\frac{b}{2}\right)^{2}$$

Separuhkan pekali $x$, kuasa duakan separuh itu, dan tolak semula kuasa dua tersebut. Setiap soalan menyempurnakan kuasa dua, sehebat mana pun ia disamarkan, dibina daripada satu gerak itu sahaja, diulang sebaik pekali pendahulu difaktorkan.

Menyempurnakan kuasa dua bukan helah satu-bab yang digunakan sekali sahaja lalu dilupakan. Ia muncul semula merentasi Add Math di tempat yang pada pandangan pertama tidak kelihatan seperti soalan fungsi kuadratik.

• Melukis graf, dengan titik pusingan dan arah parabola membuka, satu lakaran tepat hanya perlukan dua atau tiga titik, bukan jadual nilai penuh.
• Masalah maksimum dan minimum berbentuk cerita, luas terkurung, fungsi keuntungan, jarak yang dilalui sering tersusut kepada kuadratik, dan titik pusingan yang ditemui dengan menyempurnakan kuasa dua ialah jawapan yang diminta.
• Membuktikan kuadratik sentiasa positif atau sentiasa negatif, jika $a(x+p)^{2}+q$ mempunyai $a>0$ dan $q>0$, ungkapan itu tidak akan pernah sifar atau negatif, kerana $(x+p)^{2}\ge 0$ sentiasa.
• Menerbitkan formula kuadratik itu sendiri, dengan menyempurnakan kuasa dua pada persamaan am $ax^{2}+bx+c=0$.

Tetapkan $f(x)=0$ dan sempurnakan kuasa dua pada $ax^{2}+bx+c=0$, dan formula kuadratik terhasil sebagai akibat langsung, bukannya peraturan untuk dipercayai secara membuta tuli:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

Dilihat begini, diskriminan $b^{2}-4ac$ di bawah punca ganda dua bukanlah fakta berasingan untuk dihafal, ia hanyalah apa yang tinggal di bawah punca sebaik kuasa dua disempurnakan, dan tandanya menentukan sama ada persamaan mempunyai dua, satu, atau tiada punca nyata.

Berikut kaedah tersebut dijalankan sepenuhnya pada $f(x)=2x^{2}-8x+3$.

1. Faktorkan 2 daripada dua sebutan pertama: $f(x)=2(x^{2}-4x)+3$.
2. Separuhkan pekali $x$ di dalam kurungan ($-4$ menjadi $-2$) dan tulis semula: $x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$.
3. Gantikan semula: $f(x)=2\left[(x-2)^{2}-4\right]+3$.
4. Darabkan dengan 2 dan kumpulkan pemalar: $f(x)=2(x-2)^{2}-8+3=2(x-2)^{2}-5$.

$$f(x)=2(x-2)^{2}-5$$

Kerana $a=2$ positif, ini ialah titik minimum: titik paling rendah graf berada di $(2,-5)$, dan paksi simetri ialah garis $x=2$. Setiap bahagian ayat itu datang terus daripada bentuk kuasa dua tersempurna, tiada pembezaan, tiada jadual nilai.

Teknik ini pendek, dan kebanyakan markah yang hilang datang daripada segelintir gelinciran berulang, bukannya kekeliruan sebenar tentang ideanya.

• Menyeparuhkan pekali $x$ tetapi lupa mengkuasaduakan separuh itu juga, atau mengkuasaduakan pekali asal berbanding pekali yang telah diseparuhkan.
• Kehilangan tanda $a$ apabila $a$ negatif, lalu tersalah baca maksimum sebagai minimum akibatnya.
• Menulis titik pusingan sebagai $(p,q)$ berbanding $(-p,q)$, tanda bertukar kerana bentuk lengkap ialah $a(x+p)^{2}+q$, bukan $a(x-p)^{2}+q$.

Menyempurnakan kuasa dua ialah salah satu teknik Add Math yang terasa mekanikal beberapa kali pertama dan kemudian, sebaik bentuknya sudah selesa, menjadi hampir automatik. Bahagian yang biasanya memerlukan pasangan mata kedua bukanlah ideanya sendiri, sebaliknya menangkap dengan tepat di mana tanda atau pendaraban tertinggal pada sesuatu soalan, dan memahami sebabnya.

Bekerja satu-ke-satu, seorang guru boleh mengikuti kerja anda baris demi baris, mencari langkah tepat itu, dan menunjukkan tabiat yang mencegahnya pada kali seterusnya. Guru kami berpengalaman; kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM sendiri disediakan secara dwibahasa dalam Bahasa Melayu dan Inggeris.

Jika menyempurnakan kuasa dua, atau fungsi kuadratik secara lebih luas, merupakan titik tersekat, satu kelas percubaan berbayar selama satu jam pada kadar guru itu sendiri (dari RM50 sejam, bergantung pada pengalaman) ialah titik permulaan yang munasabah. Kami tidak menjanjikan gred tertentu, tetapi kami boleh membantu kaedah ini berhenti terasa seperti helah dan mula terasa seperti alat yang anda gunakan sendiri.